人教版七年级数学下册专题01平行线的判定与性质重难点题型专训(原卷版+解析)

专题01平行线的判定与性质重难点题型专训【题型目录】题型一平行公理的应用题型二“三线八角”判定直线平行题型三平行线判定的综合题型四平行线性质的综合题型五根据平行线的性质求角度题型六平行线的性质在生活中的实际应用题型七平行线的判定与性质综合（折叠问题）题型八平行线的判定与性质综合（旋转问题）【经典例题一平行公理的应用】【例1】(2023春·山东泰安·七年级校考期中）给出下列说法：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫作两点间的距离；③两点之间，线段最短；④若，则点B是线段AC的中点；⑤同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥平行于同一直线的两条直线互相平行．其中正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式训练】【变式1】(2023·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（

）个（1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】(2023春·黑龙江牡丹江·七年级校考期中）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；（4）三条直线两两相交，有三个交点；（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的有________个【变式3】（2023春·七年级单元测试）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②；(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有个．【经典例题二“三线八角”判定直线平行】知识点：同位角、内错角和同旁内角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。知识点：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【例2】(2023秋·八年级课时练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④【变式训练】【变式1】(2023秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(

)A． B． C． D．【变式2】(2023秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）【变式3】(2023秋·八年级课时练习）台球运动中，如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻的另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线与平行吗？证明你的判断．【经典例题三平行线判定的结合】【例3】(2023春·河北张家口·七年级统考期中）如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（

）时，．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【变式训练】【变式1】(2023春·山东青岛·七年级青岛经济技术开发区第四中学校考阶段练习）如图，在四边形中，点在上，连接，下列说法正确的是（

）.A．因为，所以B．因为，所以C．因为，所以D．因为，所以【变式2】(2023秋·全国·八年级专题练习）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．【变式3】(2023秋·全国·八年级专题练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．【经典例题四平行线性质的综合】【例4】(2023秋·全国·八年级专题练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（

）度时，与平行．A．16 B．60 C．66 D．114【变式训练】【变式1】(2023春·广西河池·七年级统考期末）如图，，点在的上方，连接，，是延长线上的一点，连接，已知，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】(2023春·江西九江·七年级统考期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个发射点，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为________．【变式3】(2023秋·吉林长春·七年级校考期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？【解决问题】分两种情况进行探究，请结合下图探究这两个角的数量关系．（1）如图1，，，试证：；（2）如图2，，，试证：；【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为_____________；【拓展应用】（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数．（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为_____________．【经典例题五根据平行线的性质求角度】【例5】（2023春·七年级单元测试）如图，直线分别与直线相交于点，已知，平分交直线于点，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】(2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式2】(2023春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若，则______°；（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）【变式3】(2023秋·吉林长春·七年级校考期末）已知，点E在上，点F在DC上，点G为射线上一点．(1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线，又∵，∴①∵，∴∠②．∵，∴③（④）∴．(2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由．(3)【应用拓展】如图3，平分，交于点H，且，直接写出的度数为°．【经典例题六平行线的性质在生活中的实际应用】【例6】(2023春·全国·七年级期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°【变式训练】【变式1】(2023春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（）．A． B． C． D．【变式2】(2023春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．【变式3】(2023秋·全国·八年级专题练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【经典例题七平行线的判定与性质综合（折叠问题）】【例7】(2023春·浙江杭州·七年级校考期中）一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【变式训练】【变式1】(2023春·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②【变式2】(2023春·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【变式3】(2023秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．【经典例题八平行线的判定与性质综合（旋转问题）】【例8】(2023秋·八年级课时练习）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（）A．当α＝15°时，DC∥ABB．当OC⊥AB时，α＝45°C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行【变式训练】【变式1】(2023春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【变式2】(2023春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．【变式3】(2023春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：______；(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．【培优检测】1．(2023春·内蒙古包头·七年级统考期中）在下列说法中，正确的有（

）个．①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②已知、的两边分别平行，那么；③垂直于同一条直线的两条直线平行；

④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．A．3 B．2 C．1 D．02．(2023春·福建宁德·七年级统考期末）如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断的是（

）A． B．C． D．3．(2023春·贵州安顺·七年级统考期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°4．(2023春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E=∠A+∠C;③如图3，ABCD，则∠A+∠E－∠1=180°；④如图4，ABCD，则∠A=∠C+∠P．以上结论正确的个数是(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．(2023秋·浙江·八年级开学考试）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（

）A．129° B．72° C．51° D．18°6．(2023春·江苏·七年级专题练习）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．17．(2023秋·八年级单元测试）如图，添加一个你认为合适的条件______使．8．(2023春·山东潍坊·七年级统考期中）在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是_____________．9．(2023春·河北邯郸·七年级校考期中）如图，，，垂足为A，交于点，点在射线上．（1）若平分，则______．（2）若，在直线上取一点，连接，过点作，交直线于点，若，则______．10．(2023秋·八年级课时练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________．11．(2023春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．12．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，点、分别为直线和上的点，点为两条平行线间的一点，连接和，过点作的平分线交直线于点，过点作，垂足为，若，则________．13．(2023春·浙江绍兴·七年级校联考期末）如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______．14．(2023春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当时，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为_____．三、解答题15．(2023春·辽宁沈阳·七年级校考期中）有两个与，保持不动，且的一边，另一边DE与直线OB相交于点F．若，，解答下列问题：(1)如图，当点E、O、D在同一条直线上，即点O与点F重合，求的度数．(2)当点E、O、D不在同一条直线上，直接写出的度数_______．16．(2023春·广东江门·七年级校联考期中）如图，直线，直线与，分别交于点M，N，分别是与的平分线，交于点F，过点N作交于点G．(1)若，则___________；(2)求证：；(3)连接，在上取一点H，使，作的平分线交于点P，求的度数．17．(2023秋·八年级单元测试）如图1，已知直线，点A为直线上一点，点B为直线上一点，且，点C是直线上一动点，且点C在点B右侧，过点C作交直线于点D，连接．(1)若平分，请直接写出的度数；(2)作，交直线于点E，平分．（说明：解答过程用数字表示角）①如图2，若点E，F都在点B的右侧，求的度数．②在点C的运动过程中，是否存在这样的情形，使成立？若存在，求出的度数：若不存在，请说明理由．18．(2023秋·全国·八年级专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；问题迁移(2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．19．(2023秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：，为之间一点，连接，得到．求证：．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点作，则有∵∴∴∴请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：(1)直线，直线和直线、分别交于两点，点分别在直线、上，猜想：如图②，若点在线段上，，，求的度数．(2)拓展：如图③，若点在直线上，连接、，直接写出之间的数量关系．20．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．(1)如图1，若，求的度数；(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．专题01平行线的判定与性质重难点题型专训【题型目录】题型一平行公理的应用题型二“三线八角”判定直线平行题型三平行线判定的综合题型四平行线性质的综合题型五根据平行线的性质求角度题型六平行线的性质在生活中的实际应用题型七平行线的判定与性质综合（折叠问题）题型八平行线的判定与性质综合（旋转问题）【经典例题一平行公理的应用】【例1】(2023春·山东泰安·七年级校考期中）给出下列说法：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫作两点间的距离；③两点之间，线段最短；④若，则点B是线段AC的中点；⑤同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥平行于同一直线的两条直线互相平行．其中正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据直线公理、平行线公理以及垂线公理得①过两点有且只有一条直线；③两点之间，线段最短；⑤同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥平行于同一直线的两条直线互相平行正确；②连接两点的线段叫做两点间的距离；④若，则点是线段的中点错误．【详解】解：①过两点有且只有一条直线；③两点之间，线段最短；⑤在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．⑥平行于同一直线的两条直线互相平行．①③⑤⑥正确；②连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；④若且三点共线，则点是线段的中点；②④错误．故选：C．【点睛】本题考查了平行公理、直线的性质、两点间的距离以及垂线的性质，解题的关键是基础知识要熟练掌握．【变式训练】【变式1】(2023·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（

）个（1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据平行线的定义与判定、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解．【详解】（1）若ab，bd，则ad，故原说法正确；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；（3）在同一平面内，两条直线不相交就平行，故原说法错误；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了平行公理，平行线的性质定义，垂线的性质，关键是熟练掌握课本内容．【变式2】(2023春·黑龙江牡丹江·七年级校考期中）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；（4）三条直线两两相交，有三个交点；（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的有________个【答案】1【分析】根据各小题的描述情况，判断各小题的正误，即可得到答案．【详解】解：（1）∵两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；（2）∵平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（2）正确；（3）∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故（3）不正确；（4）∵三条直线两两相交，也可能是交于同一个点，故（4）不正确；（5）∵若ab，bc，则ac，故（5）不正确，正确的只有（2）一个选项，故答案为：1．【点睛】本题主要考察了平面内直线的位置关系，平行公理的应用、直线相交交点个数问题，解题的关键在于画出题意所示的直线位置图，以此判断说法的正误．【变式3】（2023春·七年级单元测试）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②；(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有个．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】（1）根据网格作图即可；（2）根据网格作图即可；（3）根据网格作图即可.【详解】（1）解：作图如下：（2）解：作图见（1）（3）如图：故符合题意的点F有6个.故答案为：6【点睛】本题考查了直线、射线、线段及平行公理的应用，解题的关键是准确作出图形.【经典例题二“三线八角”判定直线平行】知识点：同位角、内错角和同旁内角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。知识点：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【例2】(2023秋·八年级课时练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④【答案】B【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．【详解】解：①∵∠1＝∠3，∴ab，∵∠4＝∠5，∴bc，∴ac，符合题意；②∵2+3=，∴ab，∵3=4，3=7，∴4=7，∴bc，∴ac，符合题意；③∵1=2，1＋2＝180°，∴1=2=90°，∴a⊥l，∵5=6，5＋6＝180°，∴5=6=90°，∴c⊥l，∴ac，符合题意；④由4=5可得bc，但是由2=3，无法推出ab，故无法得出ac，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．【变式训练】【变式1】(2023秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，∠5和∠2是内错角，如果度量出，根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，所以答案为：A．【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．【变式2】(2023秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）【答案】①④⑤【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合题意；∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合题意；∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故③不符合题意；过点C作CEm，∴∠3=∠4，∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，∴∠1=∠5，∴ECn，∴mn，故④符合题意；∵∠ABC=∠2-∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，∴mn，故⑤符合题意；故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3】(2023秋·八年级课时练习）台球运动中，如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻的另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线与平行吗？证明你的判断．【答案】，理由见解析【分析】通过计算同旁内角互补即可证明结论．【详解】解：，理由如下：∵，∴．同理：．∵，∴．∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，将实际问题转化成几何问题是解答本题的关键．【经典例题三平行线判定的结合】【例3】(2023春·河北张家口·七年级统考期中）如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（

）时，．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【答案】C【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．【详解】解：如图（2），当∠ACB'=42°时，∵，∴∠ACB'=∠A．∴CB'∥AB．如图（2），当∠ACB'=138°时，∵∠A=42°，∴∴CB'∥AB．综上可得，当或时，CB'∥AB．故选：C【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．【变式训练】【变式1】(2023春·山东青岛·七年级青岛经济技术开发区第四中学校考阶段练习）如图，在四边形中，点在上，连接，下列说法正确的是（

）.A．因为，所以B．因为，所以C．因为，所以D．因为，所以【答案】C【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.观察各个选项中角的数量关系（相等或互补）、位置关系是否符合上述三个定理，即可判断所给选项是否正确.【详解】A.因为和是同旁内角，所以根据不能得到，故A选项错误；B.因为和不是同位角也不是内错角，所以根据不能得到，故B选项错误；C.因为和是同旁内角，所以根据可以得到，故本选项正确；D.和虽然是同位角，但根据只可以得出，故本选项错误.故本题选C.【点睛】本题考查平行线的判定定理，在这里①判断两条直线是否平行，是根据角的数量关系（相等或互补）和位置关系去判定的，只有同时满足两种关系，才可根据定理判断平行；②完整的定理前面有一句两直线被第三条直线所截，找准截线和被截线很关键（例如D选项和是同位角，它们的被截线是AB和DE）.【变式2】(2023秋·全国·八年级专题练习）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：当秒时，，解得：t=2；当时，，解得：t=14；当时，木棒a停止运动，当时，，解得：t=-10；（不合题意，舍去）当时，或，解得：t=50或t=110；综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案为：2或14或50或110【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．【变式3】(2023秋·全国·八年级专题练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．【答案】(1)30°(2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由见解析(3)当∠BCD＝120°或60°时，；理由见解析【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；（2）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于120°或60°时，．【详解】（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°∵∠BCD=150°，∴∠ACE=180°-150°=30°．（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°（3）当∠BCD＝120°或60°时，．如图1所示，根据同旁内角互补，两直线平行，当∠B＋∠BCD＝180°时，，∴此时∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，当∠BCD＝∠B＝60°时，．综上所述，∠BCD=60°或120°.【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，并且能够准确识图，是解题的关键．【经典例题四平行线性质的综合】【例4】(2023秋·全国·八年级专题练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（

）度时，与平行．A．16 B．60 C．66 D．114【答案】C【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【详解】解：∵，都与地面l平行，∴，∴，∴，∵，，∴，∴当时，．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式训练】【变式1】(2023春·广西河池·七年级统考期末）如图，，点在的上方，连接，，是延长线上的一点，连接，已知，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质，可以计算出∠GCF和∠GCB的度数，然后即可计算出∠BCF的度数．【详解】解：过点C作GCAB，如图所示：∵ABED，∴ABEDGC，∴∠GCB＋∠ABC＝180°，∠GCF＋∠EFC＝180°，∵∠CFD＝50°，∠ABC＝130°，∴∠GCF＝130°，∠GCB＝50°，∴∠BCF＝∠GCF−∠GCB＝130°−50°＝80°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2】(2023春·江西九江·七年级统考期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个发射点，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为________．【答案】12【分析】根据当时，，建立等式即可求解．【详解】解：设旋转时间为秒后，，由题意得：，，解得：，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，解题的关键是根据时，得出．【变式3】(2023秋·吉林长春·七年级校考期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？【解决问题】分两种情况进行探究，请结合下图探究这两个角的数量关系．（1）如图1，，，试证：；（2）如图2，，，试证：；【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为_____________；【拓展应用】（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数．（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为_____________．【答案】【提出问题】相等或互补【解决问题】（1）证明见解析；（2）证明见解析【得出结论】相等或互补【拓展应用】（3）当一个角为时，另一个角为；当一个角为时，另一个角为；（4）相等或互补【分析】“提出问题”：根据题意，分两种情况，数形结合讨论即可得到答案；“解决问题”：（1）由图可知，利用平行线性质，即可得证；（2）由图可知，利用平行线性质，即可得证；“得出结论”：由【提出问题】【解决问题】可知，若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系：相等或互补；“拓展应用”：（3）根据题意，设一个角为，则另一个角为，根据若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为相等或互补，列方程求解即可得到答案；（4）根据题意，分两种情况，作出图形，数形结合即可得到答案．【详解】解：“提出问题”分两种情况，如图所示：或，即若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系：相等或互补；“解决问题”（1）如图所示：，，，，；（2）如图所示：，，，，；“得出结论”由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为相等或互补，故答案为：相等或互补；“拓展应用”（3）设一个角为，则另一个角为，若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为相等或互补，或，解得或，当一个角为时，另一个角为；当一个角为时，另一个角为；（4）如图所示：由图可知或，同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为相等或互补，故答案为：相等或互补．【点睛】本题考查几何综合，考查了平行线的性质，探究应用类题型，读懂题意，分析情况，熟练掌握相关几何性质求证即可得到答案．【经典例题五根据平行线的性质求角度】【例5】（2023春·七年级单元测试）如图，直线分别与直线相交于点，已知，平分交直线于点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质推出，利用补角的定义即可得出答案．【详解】解：如下图，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义以及邻补角等知识，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．【变式训练】【变式1】(2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．【详解】解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．【变式2】(2023春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若，则______°；（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）【答案】

270

【分析】（1）过点M作MPAB，则ABCDMP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQAB，则ABCDNQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【详解】解：（1）过点M作MPAB，∵ABCD，∴ABCDMP，∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，∵∠M=∠1+∠2=90°，∴∠MEB+∠MFD=90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．故答案为：270；（2）过点N作NQAB，∵ABCD，∴ABCDNQ，∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，∴∠ENF=∠EMF=n°．故答案为：n°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【变式3】(2023秋·吉林长春·七年级校考期末）已知，点E在上，点F在DC上，点G为射线上一点．(1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线，又∵，∴①∵，∴∠②．∵，∴③（④）∴．(2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由．(3)【应用拓展】如图3，平分，交于点H，且，直接写出的度数为°．【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等(2)．理由见解析(3)【分析】（1）由，可得，由，可得，则；（2）如图所示，过点G作直线，同理可得，，则．（3）如图所示，过点G作直线，过点H作直线，得到，由，得到，再由，可得，再由平分，即可得到，则．【详解】（1）过点G作直线，又∵，∴（平行于同一条直线的两条直线平行），∵，∴（两直线平行，内错角相等），∵，∴（两直线平行，内错角相等），∴．故答案为：；；；两直线平行，内错角相等．（2）如图所示，过点G作直线，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）如图所示，过点G作直线，过点H作直线，又∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．【经典例题六平行线的性质在生活中的实际应用】【例6】(2023春·全国·七年级期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°【答案】A【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）．【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（图a），∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．【变式训练】【变式1】(2023春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．【详解】∵王村沿北偏东方向到李村∴∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西方向到张村∴∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为故选：B．【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．【变式2】(2023春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．【答案】140°或40°【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．【详解】解：如下图：当AB与CB′在AC同侧时，当CB′∥AB时，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°当AB与CB"在AC异侧时，当CB"∥AB时，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．【变式3】(2023秋·全国·八年级专题练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【答案】(1)ABCD，理由见解析(2)65或115(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值．【详解】（1）解：ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=25°，∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：65或115；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若ABCD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时ABCD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；③当40s＜t≤80s时，如下图，有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；④当80s＜t≤120s时，如下图，若ABCD，则∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴当t=100s时，ABCD；综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．【经典例题七平行线的判定与性质综合（折叠问题）】【例7】(2023春·浙江杭州·七年级校考期中）一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【答案】B【分析】将围巾展开，利用折叠的性质和平行线的性质推导即可．【详解】解：如图，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，则∠DAB=x+8°，∵CDAB，∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，∵DFCG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，即2x+2（x+8°）=180°，解得x=41°，∴∠DAB+2∠ABC=（x+8°）+2x=131°．故选：B．【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，根据∠FDC+∠FDM=180°列方程是解题的关键．【变式训练】【变式1】(2023春·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②【答案】A【分析】先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，即可判断①③；再利用平行线的性质可得、的度数，即可判断②；再根据折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，即可判断④【详解】解：∵四边形ABCD是长方形∴由折叠的性质可得故①正确故③正确故②正确又由折叠的性质可得：故④正确故选：A【点睛】本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．【变式2】(2023春·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【答案】【分析】设∠CDE=x，∠DCE=y，由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行线性质可得∠ADF=180°-m，则∠ADC=180°-m+2x，由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度数．【详解】解：设∠CDE=x，∠DCE=y，由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°-m，∴∠ADC=180°-m+2x，由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质及角的有关计算，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．【变式3】(2023秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连续两次利用定理“两直线平行，内错角相等”即可求证；（2）先利用求出，再利用求出，最后利用关系式求解即可．【详解】（1）解：证明：∵，∴．∵，∴，∴．（2）∵，∠2＝54°∴．根据折叠的性质知：，∴．又∵，即，∴，∴．【点睛】本题考查平行的性质，折叠的性质，掌握平行的性质和折叠前后对应的角相等是解题的关键．【经典例题八平行线的判定与性质综合（旋转问题）】【例8】(2023秋·八年级课时练习）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（）A．当α＝15°时，DC∥ABB．当OC⊥AB时，α＝45°C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行【答案】A【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正确；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B错误；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况，故C错误；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，故D错误；故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【变式训练】【变式1】(2023春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设灯旋转的时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，灯先转动2秒，灯才开始转动，，即，由题意，分以下三种情况：①如图，当时，，，，，，即，解得，符合题设；②如图，当时，，，，，，即，解得符合题设；③如图，当时，，，同理可得：，即，解得，不符题设，舍去；综上，灯旋转的时间为1秒或秒，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．【变式2】(2023春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．【答案】5秒或95秒【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．【详解】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，要使，则∠ACD＝∠BAC，即120°−(3t)°＝110°−t°，解得t＝5；如图②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∠DCF＝360°−(3t)°−60°＝300°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，要使，则∠DCF＝∠BAC，即300°−(3t)°＝110°−t°，解得t＝95；如图③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∠DCF＝(3t)°−(180°−60°＋180°)＝(3t)°−300°，∠BAC＝t°−110°，要使，则∠DCF＝∠BAC，即(3t)°−300°＝t°−110°，解得t＝95，此时∠BAC＝t°−110°＜0°，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．故答案为：5秒或95秒．【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．【变式3】(2023春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：______；(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．【答案】(1)60(2)秒或秒(3)或【分析】（1）设，则，根据，可列出关于x的等式，解出x即可求解；（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得；（3）分类讨论当时和当时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．（1）设，则，∵，即，∴，∴．故答案为：60；（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，由题意可知，．当时，如图，，．，，．，解得；当时，如图，，．，，．∵，∴，，解得

．综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为秒，当时，过点作，，，，，，，，又，∴，解得：，∴，此时与共线，不符合题意；当时，同的图可得，则，解得：；如图中，当时，同可知．因为此时，，解得：．综上可知，t的值为100或140．故答案为：100或140．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理及推论，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【培优检测】1．(2023春·内蒙古包头·七年级统考期中）在下列说法中，正确的有（

）个．①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②已知、的两边分别平行，那么；③垂直于同一条直线的两条直线平行；

④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】利用平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义逐项判断即可．【详解】解：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此①错误；、的两边分别平行时，或，因此②错误；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，因此③错误；从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故④错误；故选：D．【点睛】本题考查平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件．2．(2023春·福建宁德·七年级统考期末）如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平行线的判定对每一项分别进行分析即可得出答案．【详解】解：A、，，故本选项正确，符合题意；B、，，故本选项错误，不符合题意；C、由，无法得到，故本选项错误，不符合题意；D、，，故本选项错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查直线平行的判定方法，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的判定.3．(2023春·贵州安顺·七年级统考期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°【答案】D【分析】过点B作BEAD，利用平行线的性质可得∠ABE＝110°，从而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行线的性质，即可解答．【详解】解：过点B作BEAD，∴∠A＝∠ABE＝110°，∵∠ABC＝140°，∴∠EBC＝∠ABC−∠ABE＝30°，∵ADCF，∴BECF，∴∠C＝180°−∠EBC＝150°，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．(2023春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E=∠A+∠C;③如图3，ABCD，则∠A+∠E－∠1=180°；④如图4，ABCD，则∠A=∠C+∠P．以上结论正确的个数是(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．【详解】解：①过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；②过点E作直线，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；③过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；④如图，过点P作直线，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．5．(2023秋·浙江·八年级开学考试）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（

）A．129° B．72° C．51° D．18°【答案】C【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．【详解】解：当时，如图1所示，过点G作，∵，∴，∴∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，∴当时，如图2所示，过点G作，同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，∴∠PHG=150°-2∠ABM，∴，综上所述，或，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．6．(2023春·江苏·七年级专题练习）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．