2024年中考数学几何模型24专题专题22 最值之瓜豆原理含解析

2024年中考数学几何模型专题22最值之瓜豆原理一、轨迹之直线例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．典例精析1．（2019•宿迁）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．2．（2021•新泰市模拟）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为A．2 B． C． D．3．（2021•无棣县模拟）如图，正方形的边长为7，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．4．（2020•东台市一模）如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为．5．（2020•兰溪市模拟）如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为．6．（2020•清江浦区一模）如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为．7．（2020•市中区一模）如图，正方形的边长为8，为的四等分点（靠近点的位置），为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．8．（2020•邗江区校级一模）如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为．轨迹之圆例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．典例精析1．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为．2．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是．3．如图，的半径为2，到定点的距离为5，点在上，点是线段的中点，若在上运动一周．（1）点的运动路径是一个圆；（2）始终是一个等边三角形，直接写出长的取值范围．（1）思路引导要证点运动的路径是一个圆，只要证点到定点的距离等于定长，由图中的定点、定长可以发现，．4．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为．5．已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．（1）求证：与相切；（2）连接，若，，求的长；（3）若，，点是任意一点，点是弦的中点，当点在上运动一周，则点运动的路径长为．6．若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．①点的轨迹是圆（填“线段”或者“圆”；②的最小值是；（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为．7．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．（1）求抛物线解析式；（2）若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点的坐标；（3）如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于、两点在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使、、三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围．专题22最值之瓜豆原理一、轨迹之直线例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）典例精析1．（2019•宿迁）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动将绕点旋转，使与重合，得到从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上作，则即为的最小值作，可知四边形为矩形，则故答案为．2．（2021•新泰市模拟）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为A．2 B． C． D．解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于．四边形是矩形，，，，，在和中，，，，点的在射线上运动，当时，的值最小，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，的最小值为，故选：．3．（2021•无棣县模拟）如图，正方形的边长为7，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．解：为等边三角形，，把绕点顺时针旋转得到，如图，延长交于，过点作，过点作，，，，即点在过点且垂直于的线段上，易得四边形为矩形，，，，，．的最小值为．故答案为．4．（2020•东台市一模）如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为．解：点，，，，动点在线段上，，，，为主动点，为从动点，为定点，由“瓜豆原理”得运动路径与运动路径之比等于，点运动的路径长为，故答案为：6．5．（2020•兰溪市模拟）如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为．解：，，点在上运动时，，，为主动点，为从动点，为定点，由“瓜豆原理”，在上运动，则在垂直的直线上运动，当时，如答图：过作于，交于，则直线即为的运动轨迹，的长为，两点间距离的最小值，，，，，，，，，而，，，在中可得，，中可得，故答案为：．6．（2020•清江浦区一模）如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为．解：如图1，过点作于点，于点，连接，根据题意知，，．．．又是等腰直角三角形，且，．在与中，，．，．点在所在的直线上运动．为边上的一个动点，如图2，当点与点重合时，点的位置如图所示．当点与点重合时，记点的位置为．点的运动轨迹为线段．过点作于点．．正方形的边长为2，．．故答案是：．7．（2020•市中区一模）如图，正方形的边长为8，为的四等分点（靠近点的位置），为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动将绕点旋转，使与重合，得到从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上作，则即为的最小值作，可知四边形为矩形，则，故答案为：5．8．（2020•邗江区校级一模）如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为．解：如图取的中点，连接，，，延长交于，作于．四边形是菱形，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，在中，，，，，的最小值为，故答案为．轨迹之圆例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．典例精析1．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为．解：，，，，连接，，是直径，，即，取，的中点和，连接，，，在中，，为、的中点，，，在中，点、为、的中点，，，，即，点在以为直径的半圆上，，点的运动路径长为，故答案为：．2．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是．解：如图，连接、，将△绕点逆时针旋转，得线段，连接、，，，为正三角形，为正三角形，，，，，在与中，，，，即为动点运动的路径，当点在上运动一周时，点运动的路径长是，3．如图，的半径为2，到定点的距离为5，点在上，点是线段的中点，若在上运动一周．（1）点的运动路径是一个圆；（2）始终是一个等边三角形，直接写出长的取值范围．（1）思路引导要证点运动的路径是一个圆，只要证点到定点的距离等于定长，由图中的定点、定长可以发现，．（1）解：连接、，取的中点，连接，如图1所示：则是的中位线，，点到点的距离固定为1，在上运动一周，点运动的路径是以点为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接并延长交于点、，如图2所示：是等边三角形，点是线段的中点，，，，当点运动到点位置时，点运动到点位置，最短，，，；当点运动到点位置时，点运动到点位置，最长，，，；长的取值范围是．4．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为．解：如图，作，使得，，则，，，，，，，，，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上，，的最大值为，故答案为．5．已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．（1）求证：与相切；（2）连接，若，，求的长；（3）若，，点是任意一点，点是弦的中点，当点在上运动一周，则点运动的路径长为．（1）证明：如图1中，连接．，，，在和中，，，，是切线，，，，，是的切线．（2）如图1中，设，则，，，，，，，，，在中，．（3）如图2中，连接，取的中点，连接．，，，，定长，当点在上运动一周，则点运动的路径是以为圆心为半径的圆，点运动的路径长为．故答案为．6．若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．①点的轨迹是圆（填“线段”或者“圆”；②的最小值是；（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为．解：（1）①连接、，如图1所示：是等腰直角三角形，，，由旋转的性质得：，，，在和中，，，，即点到点的距离等于定长，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；②是等腰直角三角形，，，当点在线段上时，最小；故答案为：；（2）以为边长作等边，连接、，如图2所示：和是等边三角形，，，，，在和中，，，，当、、三点共线时，有最大值；（3）如图3所示：点的轨迹是以为直径的一个圆，则，，则是梯形的中位线，，连接，则，，，，△是等腰直角三角形，，，；故答案为：．7．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．（1）求抛物线解析式；（2）若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点的坐标；（3）如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于、两点在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使、、三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围．解：（1）令，则，，令，则，，将点，代入，得，，；（2）设，令，则，解得或，，，，的面积等于面积的，，解得或，或；（3）将点绕点顺时针旋转到，连接，，，，，，，，，，，，在以为圆心，2为半径的圆上运动，，，，，，，的最大值为，的最小值为，． 专题23最值之费马点问题一、方法突破皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．二、典例精析1．在中，若其内部的点满足，则称为的费马点．如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，，则的面积为．2．如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为．3．如果点是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则点叫的费马点．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．若点是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则．4．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．（1）如果点为锐角的费马点，且．①求证：；②若，，则．（2）已知锐角，分别以、为边向外作正和正，和相交于点．如图（2）①求的度数；②求证：点为的费马点．5．已知点是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则点叫的费马点．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．若点是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则．三、真题演练1．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．（1）若点是等边三角形三条中线的交点，点（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点为锐角的费马点，且．求证：；（3）已知锐角，分别以、为边向外作正和正，和相交于点．如图（2）①求的度数；②求证：点为的费马点．2．阅读下列材料，完成后面相应的任务：费马，1601年8月17日年1月12日），生于法国南部图卢兹附近的波蒙德罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，（三个内角均小于的三条边的张角都等于，即满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点，后来人们把这个点称为“费马点”．下面是“费马点”的证明过程：如图2，将绕着点逆时针旋转得到△，使得落在外，则△为等边三角形，，于是，．任务：（1）材料中，判定△为等边三角形的依据是．（2）请你完成剩余的部分．（3）如图，为锐角三角形，以为一边作等边，是的外接圆，连接交于点，求证：是的费马点．3．（1）知识储备①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）．（3）知识应用①判断题（正确的打，错误的打ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长．4．皮埃尔德费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论．定义：若一个三角形的最大内角小于，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为，此时该点叫做这个三角形的费马点．例如，如图1，点是的费马点．请结合阅读材料，解决下列问题：已知：如图2，锐角．（1）尺规作图，并标明字母．①在外，以为一边作等边．②作的外接圆．③连接交于点．（2）求证：（1）中的点是的费马点．5．【问题情境】如图1，在中，，，，则的外接圆的半径值为．【问题解决】如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．【问题解决】如图3，正方形是一个边长为的隔离区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动岗哨，到、的张角为，即，点、为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个岗哨的距离和最小，试求的最小值．（保留根号或结果精确到，参考数据，．6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点在的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值，以及取得最小值时，线段的长．7．已知抛物线的对称轴为，与交于点，与轴负半轴交于点，作平行四边形并将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．（1）求抛物线的解析式和点、的坐标；（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分△的周长；（3）若点为内一点，直接写出的最小值（结果可以不化简）以及直线的解析式．8．如图是所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点．（1）当是等边三角形时，作尺规法作出费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）（2）已知：是等腰直角三角形，，．四边形是正方形，在上，在上，是的费马点．求：点到的距离．（3）已知：锐角，分别以，为边向外作正和正，和相交于点．①求的度数；②求证：点为的费马点．专题23最值之费马点问题一、方法突破皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．二、典例精析1．在中，若其内部的点满足，则称为的费马点．如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，，则的面积为．解：如图，延长交于，，，，为的费马点，，，，，中，，，，，，中，，，，的面积为．故答案为：．2．如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为．解：设，则，，，当时，最小，此时点离最近，，点是和的交点，，过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，此时最小，在等腰中，，，，故，解得：，则，故，同法可得，则，点到点、点、点的距离之和的最小值为，故答案为．3．如果点是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则点叫的费马点．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．若点是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则．解：如图：过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，在等腰中，，，，故，解得：，则，故，同法可得则．故答案为．4．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．（1）如果点为锐角的费马点，且．①求证：；②若，，则．（2）已知锐角，分别以、为边向外作正和正，和相交于点．如图（2）①求的度数；②求证：点为的费马点．（1）证明：①，，，又，，②解：，，，；故答案为：；（2）解：①与都为等边三角形，，，，，即，在和中，，，，，；②证明：方法一：，，，，．，，，，点为的费马点．方法二：由①知：，，由①知：，，，，共圆，，，，点为的费马点．5．已知点是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则点叫的费马点．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．若点是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则．解：如图：等腰中，，过点作于点，过、分别作，则，故，解得：，则，故，则．故答案为：．三、真题演练1．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．（1）若点是等边三角形三条中线的交点，点（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点为锐角的费马点，且．求证：；（3）已知锐角，分别以、为边向外作正和正，和相交于点．如图（2）①求的度数；②求证：点为的费马点．解：（1）如图1所示：，是的中线，平分．同理：平分，平分．为等边三角形，，．．同理：，．是的费马点．故答案为：是．（2），，，又，．（3）如图2所示：①与都为等边三角形，，，，，即，在和中，，，，；②证明：，，，．，，，，点为的费马点．2．阅读下列材料，完成后面相应的任务：费马，1601年8月17日年1月12日），生于法国南部图卢兹附近的波蒙德罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，（三个内角均小于的三条边的张角都等于，即满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点，后来人们把这个点称为“费马点”．下面是“费马点”的证明过程：如图2，将绕着点逆时针旋转得到△，使得落在外，则△为等边三角形，，于是，．任务：（1）材料中，判定△为等边三角形的依据是．（2）请你完成剩余的部分．（3）如图，为锐角三角形，以为一边作等边，是的外接圆，连接交于点，求证：是的费马点．解：（1）由题知判定依据的是顶角为等腰三角形是等边三角形；（2）补充如下：当，，，四点在同一直线上时有最小值为的长度，，，△为等边三角形，则当，，，四点在同一直线上时，，，，满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点；（3）如右图，连接，，为等边三角形，，又是的外接圆，，，同理可得，，即点是的“费马点”．3．（1）知识储备①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）．（3）知识应用①判断题（正确的打，错误的打ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长．（1）①证明：在上取一点，使，连接，是等边三角形，，又，是正三角形，，，，又，，，，；（4分）（2）①如图2，得：，当、、共线时，的值最小，线段的长度即为的费马距离，故答案为：；（6分）②过和分别向外作等边三角形，连接，，交点即为．（过或作外接圆视作与图2相同的方法，不得分）．（8分）（3）①ⅰ．；ⅱ．当三角形有一内角大于或等于时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点（10分）故答案为：，，，；②解：将沿点逆时针旋转到△，如图5，过作，交的延长线于，连接，易得：，，，，，，△是正三角形，，的最小值为，的最小值为，，，，在同一直线上，即，（12分）设正方形的边长为，，，，在△中，，，得：，，在△中，由勾股定理得：，解得：（舍去）正方形的边长为2．（14分）4．皮埃尔德费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论．定义：若一个三角形的最大内角小于，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为，此时该点叫做这个三角形的费马点．例如，如图1，点是的费马点．请结合阅读材料，解决下列问题：已知：如图2，锐角．（1）尺规作图，并标明字母．①在外，以为一边作等边．②作的外接圆．③连接交于点．（2）求证：（1）中的点是的费马点．解：根据作图步骤，作出图形，如图1所示：（2）如图2，连接，，由作图知，，是等边三角形，，四边形是圆内接四边形，，，，，，，，点是的