2024年中考数学几何模型24专题专题15 圆中的相似含解析

2024年中考数学几何模型专题15圆中的相似一、方法突破基本相似模型（1）射影定理如图，AB是直径，CD⊥AB．则：；；．（2）母子型相似如图，若∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB．．（3）圆幂定理等其他相似图常见问法（1）线段求值；（2）证明乘积关系，如证或；（3）乘积求值，如求的值；（4）比例求值，如求的值；解题关键如何找到恰当的相似解决问题？利用圆周角定理等尽可能找相等角，两组角相等即可证全等；若有相等线段转化线段，问题中的线段可能并非相似三角形中的线段；确定相等线段、角之后，猜想可能存在的相似并证明．

二、典例精析（2018·徐州）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为．

（2019·莱芜区）如图，已知是的直径，，为圆上一点，且，连接，，，与交于点．（1）求证：为的切线；（2）若，求的值．

（2018·大庆）如图，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，作直径，过点的切线交的延长线于点，作于点，连接．（1）求证：平分；（2）求证：；（3）当且时，求劣弧的长度．（2018·百色）已知为的直径，为的切线，切点为，分别过，两点作的垂线，垂足分别为，，的延长线与相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．（2019·温州）如图，在中，，点在边上，且，过，，三点的交于另一点，作直径，连结并延长交于点，连结，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当，时，求的直径长．（2018·菏泽）如图，内接于，，，过点作，与的平分线交于点，与交于点，与交于点．（1）求的度数；（2）求证：；（3）求证：是的切线．（2018·盐城）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、．将沿翻折后得到．（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使．求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长．（2019·鞍山）如图，在中，，是上一点，过，，三点的交于点，连接ED、EC，点是线段上的一点，连接，其中．（1）求证：是的切线．（2）若是的中点，，，求的长．三、中考真题演练1．（2021•宁夏）如图，在中，点是边上一点，以为直径的半圆经过点，点是弦上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点，且．（1）求证：直线与半圆相切；（2）若已知，求的值．2．（2021•陕西）如图，是的切线，为切点，弦，连接并延长，与交于点，与交于点，连接并延长，与交于点，连接．（1）求证：；（2）若，，求线段的长．3．（2021•西宁）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）已知，，求的长．4．（2021•淮安）如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的直径．5．（2021•抚顺）如图，在中，，，连接，，过点作，交的延长线于点，与的延长线相交于点，与相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，求线段的长．6．（2021•毕节市）如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．7．（2021•泰州）如图，在中，为直径，为上一点，，为常数，且．过点的弦，为上一动点（与点不重合），，垂足为．连接、．（1）若．①求证：；②求的值；（2）用含的代数式表示，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的，对于点的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的度数．8．（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形中，，过点作于，延长交的外接圆于点，过点作于，，的延长线交于点．（1）判断是否平分，并说明理由；（2）求证：①；②．9．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径和的长．10．如图，是直径，弦，垂足为点．弦交于点，点在延长线上，且．（1）求证：为切线；（2）若，，，求的长．11．（2021•湖北）如图，为直径，为上一点，于点，交于点，与的延长线交于点，平分．（1）求证：是的切线；（2）若，，求和的长．12．（2021•本溪）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．（1）求证：是的切线；（2）若，，，求的长．13．（2021•深圳）如图，为的弦，，为的三等分点，．（1）求证：；（2）若，，求的长．14．（2021•绥化）如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若弦垂直于，垂足为，，，求的半径；（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．15．（2021•衢州）如图，在中，，与相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连结．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．16．（2021•济宁）如图，点在以为直径的上，点是的中点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．17．（2021•恩施州）如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长．18．（2021•罗湖区）如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边和量角器的直径在一条直线上，，，开始的时候，现在三角板以的速度向右移动．（1）当与重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当与半圆相切时，求；（3）如图3，当和重合时，求证：．19．（2021•泸州）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．（1）求证：；（2）若，于点，，，求的值．20．（2021•日照）如图，的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且．连接、相交于点，若，．（1）求对角线的长；（2）求证：为矩形． 专题15圆中的相似一、方法突破基本相似模型（1）射影定理如图，AB是直径，CD⊥AB．则：；；．（2）母子型相似如图，若∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB．．（3）圆幂定理等其他相似图常见问法（1）线段求值；（2）证明乘积关系，如证或；（3）乘积求值，如求的值；（4）比例求值，如求的值；解题关键如何找到恰当的相似解决问题？利用圆周角定理等尽可能找相等角，两组角相等即可证全等；若有相等线段转化线段，问题中的线段可能并非相似三角形中的线段；确定相等线段、角之后，猜想可能存在的相似并证明．

二、典例精析（2018·徐州）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为．【分析】由，易证△BPA∽△BAQ，∴∠BAQ=∠BPA=90°，即AQ⊥AB，当点P与点C重合时，此时AQ的长即为点Q运动路径长，此时AQ=AB=4．

（2019·莱芜区）如图，已知是的直径，，为圆上一点，且，连接，，，与交于点．（1）求证：为的切线；（2）若，求的值．【分析】（1）∵AB是直径，∴AD⊥BD，∵AD∥OC，∴OC⊥BD，连接OD，易证△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD是圆O的切线．（2）记OC与BD交点为H，易证，设AD=a，则，代入得：，解得：，∴．

（2018·大庆）如图，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，作直径，过点的切线交的延长线于点，作于点，连接．（1）求证：平分；（2）求证：；（3）当且时，求劣弧的长度．【分析】（1）∵AF⊥PF，OC⊥PF，∴AF∥OC，∴∠FAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OAC，∴AC平分∠FAB．（2）易证△ACF≌△ACE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCP=90°，∴∠BCE=∠BCP，延长CE与BD交于点Q，易证CQ=CP，在Rt△BCQ中，根据射影定理可得：，∴．（3）易证△AEC∽△DCP，∴，∴，，∴，△OBC是等边三角形，∴∠BOD=120°，∴，故弧BD的长为．（2018·百色）已知为的直径，为的切线，切点为，分别过，两点作的垂线，垂足分别为，，的延长线与相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）∵AD是直径，∴∠AMD=90°，又∠ABM=∠DCM=90°，易证△ABM∽△MCD．（2）∵AB=5，，∴DC=3，易证△EDC∽△EOM，∴，设ED=x，代入得：，解得：x=12，易证（切割线定理），∴，∴．故ME的长度为．（2019·温州）如图，在中，，点在边上，且，过，，三点的交于另一点，作直径，连结并延长交于点，连结，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当，时，求的直径长．【分析】（1）连接AE，∵∠BAC=90°，∴CF是圆O的直径，又CA=CE，∴AE⊥CF，∵AD是直径，∴AE⊥DE，∴CF∥DG，又∠DCA=∠CAF=90°，∴∠DCA+∠CAF=180°，∴CD∥AB，∴四边形DCFG是平行四边形．（2）易证CD=GF=AF，∴DC:BG=3:2，易证△EGB∽△EDC，∴，∴CE=6，CA=6，AB=8，CD=3，∴AD=，故圆O的直径长为．（2018·菏泽）如图，内接于，，，过点作，与的平分线交于点，与交于点，与交于点．（1）求的度数；（2）求证：；（3）求证：是的切线．【分析】（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=72°，∴∠BAD=108°，∵∠BAC=36°，∠CAF=∠CBF=36°，∴∠DAF=36°．（2）易证△AEF∽△DEA，∴，∴．（3）∵△AEF∽△DEA，∴∠EAD=∠EFA=72°，连接OA、OB、OC，易证△AOB≌△AOC（SSS），∴∠COA=∠BOA=18°，∴∠OAD=18°+72°=90°，∴OA⊥AD，∴AD是圆O的切线．（2018·盐城）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、．将沿翻折后得到．（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使．求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长．【分析】（1）连接OC、OD，则OD=OC=r，∴点D在圆O上．（2）∵AD=AC，∴，∴△ADB∽△ABE，∴∠ABE=∠ADB=90°，∴BE⊥AB，∴BE是圆O的切线．（3）连接CD，则CD⊥AB，垂足记为H，∵BD=BC=2，AD=AC=4，且，∴DE=1，，，∴，设EF=x，易证△FEB∽△FDC，∴，∴，解得：，故EF的长为．（2019·鞍山）如图，在中，，是上一点，过，，三点的交于点，连接ED、EC，点是线段上的一点，连接，其中．（1）求证：是的切线．（2）若是的中点，，，求的长．【分析】（1）连接BD、DE，∵∠BCD=90°，∴BD是直径，∵∠DCE+∠BCE=90°，∠FDE=∠DCE，∠EDB=∠ECB，∴∠FDE+∠EDB=90°，∴∠FDB=90°，即FD⊥DB．∴DF是圆O的切线．（2）过点F作FH⊥AC交AC于H点，易证△FHD∽△DCB，设FH=x，则，解得：，又∠A=30°，∴，∴，解得：，，∴．∴DF的长为．三、中考真题演练1．（2021•宁夏）如图，在中，点是边上一点，以为直径的半圆经过点，点是弦上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点，且．（1）求证：直线与半圆相切；（2）若已知，求的值．【解答】（1）证明：如图，连接．，，，，，，，，，，是半径，是的切线．（2）解：连接．是直径，，，，，，，，，，，，．2．（2021•陕西）如图，是的切线，为切点，弦，连接并延长，与交于点，与交于点，连接并延长，与交于点，连接．（1）求证：；（2）若，，求线段的长．【解答】（1）证明：延长交于点，是的切线，，，，为的直径，，；（2），，，，，，，即，解得：，，，，四边形为矩形，，．3．（2021•西宁）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）已知，，求的长．【解答】（1）证明：是的直径，，即，，，，，，，，即，，又是的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，，，．4．（2021•淮安）如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的直径．【解答】（1）证明：连接，如图，，为的中点，，，又，，而，，即，，与相切；（2）由（1）得，，，，，，，，，，，，直径的长为．5．（2021•抚顺）如图，在中，，，连接，，过点作，交的延长线于点，与的延长线相交于点，与相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，求线段的长．【解答】解：（1）如图，连接，，，又，，，，、是等边三角形，，四边形是菱形，，又，，是的切线；（2）由（1）得，，，在中，，，，，在中，由勾股定理得，，，，，又，，，，即．6．（2021•毕节市）如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：点是的内心，平分，平分，，，又与所对弧为，．，，即，故．（2）解：，，，①，，，设，由（1）可得，则①式化为，解得：，（不符题意，舍去），则．7．（2021•泰州）如图，在中，为直径，为上一点，，为常数，且．过点的弦，为上一动点（与点不重合），，垂足为．连接、．（1）若．①求证：；②求的值；（2）用含的代数式表示，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的，对于点的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的度数．【解答】解：（1）①连接，如图：即，，，，，是中点，又，是的垂直平分线，，即是等边三角形，；②连接，如图：是直径，，，，，，，，，由①知：，，；（2）连接、，如图：是直径，，，又，，，，，，，，与（1）中②同理，可得：，；（3）由（2）得，，即，，若是定值，则的值与无关，当时，的定值为1，此时与重合，如图：，，是等腰直角三角形，，，，故存在半径为1的，对的任意位置，都有是定值1，此时为．8．（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形中，，过点作于，延长交的外接圆于点，过点作于，，的延长线交于点．（1）判断是否平分，并说明理由；（2）求证：①；②．【解答】解：（1）平分，理由如下：，，又，，，，，平分，（2）①由（1）知：平分，，，，在和中，，，，②由（1）知，，，，，，，，，，，，，，，，，即．9．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径和的长．【解答】（1）证明：连接，是的直径，，即，平分，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：如图，设的半径为，则，，在中，由勾股定理得：，，解得：，的半径为15；，，，，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，，，，，，，，即，．10．如图，是直径，弦，垂足为点．弦交于点，点在延长线上，且．（1）求证：为切线；（2）若，，，求的长．【解答】（1）证明：连接，如图，，，，，，，，，，，是半径，为切线；（2）解：连接，过点作，垂足为，如图，是直径，，，，，，，在中，，，在中，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，的长为5．11．（2021•湖北）如图，为直径，为上一点，于点，交于点，与的延长线交于点，平分．（1）求证：是的切线；（2）若，，求和的长．【解答】（1）证明：连接，平分．，又，，，又，，，，即，是的切线；（2）解：连接交于点，为直径，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，．12．（2021•本溪）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．（1）求证：是的切线；（2）若，，，求的长．【解答】证明：（1）连接，，，在中，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：连接，，，，，，是的直径，，在中，，，在中，，，，，，，，是的切线，，，，，，，，，．13．（2021•深圳）如图，为的弦，，为的三等分点，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：，，，为的三等分点，，，，（2）解：由（1）知，，，，，，即，解得，．14．（2021•绥化）如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若弦垂直于，垂足为，，，求的半径；（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．【解答】（1）证明：如图1，连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：如图2，连接，，且为的直径，，，设的半径为，则，，，，，在中，根据勾股定理得，，，，即的半径为1；（3）如图3，作的平分线交于，在中，，，，，，设，在中，，，，，由（2）知，的半径为1，，，，，，，，或（舍，，连接，为的直径，，，，，，，，，，．15．（2021•衢州）如图，在中，，与相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连结．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．【解答】解：（1）证明：连接，如图，，．，．与相切于点，．．．在和中，，．．是的切线．（2）由（1）得：，，．．，，，，．．在中，．16．（2021•济宁）如图，点在以为直径的上，点是的中点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【解答】解：（1）证明：为直径，，又为中点，为中点，故，，．，，又，，，又，．，，．又为半径，故是的切线．（2），由（1）得，又，．，，．，即，．．故的半径为．17．（2021•恩施州）如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：，，，，，为的切线；（2）解：作于，，，，，即，，，，，，，，即，，，，，，．18．（2021•罗湖区）如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边和量角器的直径在一条直线上，，，开始的时候，现在三角板以的速度向右移动．（1）当与重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当与半圆相切时，求；（3）如图3，当和重合时，求证：．【解答】（1）解：由题意可得：，；（2）解：如图2，连接与切点，则，又，，；（3）证明：如图3，连接，，，为直径，，，，又，，，．19．（2021•泸州）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．（1）求证：；（2）若，于点，，，求的值．【解答】（1）证明：如图1，连接，是的切线，，，，，是的直径，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，即．20．（2021•日照）如图，的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且．连接、相交于点，若，．（1）求对角线的长；（2）求证：为矩形．【解答】（1）解：是直径，，，又，，．（2）证明：，是平行四边形，为矩形．专题16圆中求阴影部分的面积一、方法突破求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．二、典例精析类型1公式法求面积1．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为A． B． C． D．类型2和差法求面积2．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为3时，则阴影部分的面积为（）A．18﹣π B．π﹣9 C．π﹣9 D．π﹣183．如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则阴影部分的面积为．4．如图，，，，为上一点，，以为圆心，以为半径的圆与相切于点，与相交于点，连接、，则图中阴影部分的面积是．5．如图，分别以边长为2的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知是的内切圆，则阴影部分面积为．类型3整体思想求面积6．如图，分别以五边形的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为A． B． C． D．7．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是A． B． C． D．8．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．类型4利用等积转化法求面积9．如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于A． B． C． D．10．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为A． B． C． D．11．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，是的直径，、是的弦，且，，，．则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．12．如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为．13．如图，是半圆内一点，直径的长为，，，将绕圆心逆时针旋转至△，点在上，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为A． B． C． D．三、中考真题演练1．如图，已知的半径为1，是直径，分别以点、为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于、两点，则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．2．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为A． B． C． D．3．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心是的中点，且扇形绕着点旋转，半径、交于点，半径、交于点，则图中阴影面积等于A． B． C． D．4．如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，2为半径作圆弧，再分别以，为圆心，1为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．5．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．6．如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为A． B． C． D．7．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点，若的半径为，，则阴影部分的面积为A． B． C． D．8．如图，直线与坐标轴交于、两点，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时针旋转，边扫过区域（阴影部分）面积的最大值是A． B． C． D．9．如图，，，两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为．（结果保留10．如图，作的任意一条直径，分别以、为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点、和、，顺次连接、、、、、，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为．11．如图，在中，为的中点，以为圆心，长为半径画弧交对角线于点，若，，，则扇形的面积为．12．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别是，的中点，则图中阴影部分面积的最大值是．13．如图，等腰直角三角形中，，．分别以点、点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点、、，则图中阴影部分的面积为．14．如图，正方形的边长为2，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点，那么图中阴影部分的面积为．15．如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点，以为圆心、长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是．16．如图，将绕点顺时针旋转得到△，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为． 专题16圆中求阴影部分的面积一、方法突破求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．二、典例精析类型1公式法求面积1．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为A． B． C． D．【分析】连接，根据圆周角定理得出为圆的直径，解直角三角形求出，根据扇形面积公式求出即可．【解答】解：连接，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，即，为直径，即，（扇形的半径相等），，，阴影部分的面积是，故选：．类型2和差法求面积2．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为3时，则阴影部分的面积为（）A．18﹣π B．π﹣9 C．π﹣9 D．π﹣18【分析】连接OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：如图，连接OC，∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝＝6，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积＝﹣×（3）2＝π﹣9．故选：C．3．如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则阴影部分的面积为．【分析】连接半径和弦，根据直径所对的圆周角是直角得：，可得和的长，所以图中弓形的面积为扇形的面积与面积的差，因为，所以的面积是面积的一半，可得结论．【解答】解：连接、，是的直径，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，故答案为：．4．如图，，，，为上一点，，以为圆心，以为半径的圆与相切于点，与相交于点，连接、，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．【解答】解：，，，，是等边三角形，，，扇形的面积为：为半径的圆与相切于点，，，，，由勾股定理可知：的面积为：的面积为：，阴影部分面积为：故答案为：5．如图，分别以边长为2的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知是的内切圆，则阴影部分面积为．【分析】连接，作于，如图，利用等边三角形的性质得，，再根据三角形内切圆的性质得为的半径，，再计算出，，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分面积进行计算．【解答】解：连接，作于，如图，为等边三角形，，，是的内切圆，为的半径，，点为等边三角形的外心，，在中，，，阴影部分面积．故答案为．类型3整体思想求面积6．如图，分别以五边形的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为A． B． C． D．【分析】圆心角之和等于边形的内角和，由于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．【解答】解：边形的内角和，圆形的空白部分的面积之和．所以图中阴影部分的面积之和为：．故选：．7．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是A． B． C． D．【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和（大圆的面积正六边形的面积）即可得到结果．【解答】解：6个月牙形的面积之和，故选：．8．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．【分析】恒星的面积边长为2的正方形面积半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为，恒星的面积．故答案为．类型4利用等积转化法求面积9．如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于A． B． C． D．【分析】连接，如图，利用等边三角形的性质得，，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．【解答】解：连接，如图，为等边三角形，，，图中阴影部分的面积．故选：．10．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】要求阴影部分的面积，由图可知，阴影部分的面积等于扇形的面积，根据已知条件可以得到扇形的面积，本题得以解决．【解答】解：，，又弦，，，，故选：．11．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，是的直径，、是的弦，且，，，．则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．【分析】作直径，连接、、、，根据勾股定理求得的长，证明，则，然后根据三角形的面积公式证明，，则，即可求解．【解答】解：作直径，连接、、、．是圆的直径，，则，又，，，，，，，．故选：．12．如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形的面积之和减去半圆的面积．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：，故答案为：．13．如图，是半圆内一点，直径的长为，，，将绕圆心逆时针旋转至△，点在上，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为A． B． C． D．【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．【解答】解：，△是绕圆心逆时针旋转得到的，，△，，，，，，，，，，阴影部分面积；故选：．三、中考真题演练1．如图，已知的半径为1，是直径，分别以点、为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于、两点，则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．【分析】连接、，如图，先判断为等边三角形，则，由于，所以图中阴影部分的面积，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【解答】解：连接，如图，由作法可知，为等边三角形，，，图中阴影部分的面积．故选：．2．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】根据矩形的性质得出，，求出，再分别求出扇形和矩形、的面积，即可得出答案．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，，，，阴影部分的面积．故选：．3．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心是的中点，且扇形绕着点旋转，半径、交于点，半径、交于点，则图中阴影面积等于A． B． C． D．【分析】根据扇形的面积公式求出面积，再过点作，作，垂足分别为、，然后证明与全等，从而得到中间空白区域的面积等于以为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．【解答】解：两扇形的面积和为：，过点作，作，垂足分别为、，则四边形是矩形，点是的中点，平分，，矩形是正方形，，，，在与中，，，中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，空白区域的面积为：，图中阴影部分的面积两个扇形面积和个空白区域面积的和．故选：．4．如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，2为半径作圆弧，再分别以，为圆心，1为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形减去直角三角形的面积之差．【解答】解：连接，，如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，由题意可得：，经过点，且，．点，分别为，的中点，，，．弓形弓形．阴影部分的面积等于弓形的面积．．故选：．5．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可．【解答】解：根据题意可知，则，设，，，，即，，故选：．6．如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】连接，延长，交于，根据菱形的性质得出是等边三角形，进而通过三角形全等证得，从而求得、，利用即可求得．【解答】解：连接，延长，交于，在菱形中，，，，，是等边三角形，，在和中，，，，，，为等腰直角三角形，，在中，，，，故选：．7．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点，若的半径为，，则阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】连接，，先通过直径所对是圆周角是直角，证出，从而得出，再通过计算即可．【解答】解：连接，为直径，，，，，，，，，，，，，，，作于，在中，，，，，．故选：．8．如图，直线与坐标轴交于、两点，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时