2024年中考数学几何模型24专题专题09 正方形中的对称、折叠问题含解析

2024年中考数学几何模型专题09正方形中的对称、折叠问题正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．一、典例精析（2019·兰州）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则A． B． C． D．【长度的计算——勾股定理】（2019·青岛）如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若AD=4，则的长为．【对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分】（2019·天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为．（2019·上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是．【构造对称——将军饮马问题】（2019·陕西）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为．（2019·安徽）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是A．0 B．4 C．6 D．8二、中考真题演练1．（2020•资阳）如图，在边长为4的正方形中，点是边上的一点，将沿翻折得到，连接，使，则的长是A．1 B． C． D．2．（2021•牡丹江）如图，正方形的边长为3，为边上一点，．将正方形沿折叠，使点恰好与点重合，连接，，，则四边形的面积为A． B． C．6 D．53．（2020•广东）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为A．1 B． C． D．24．（2021•东营）如图，正方形纸片的边长为12，点是上一点，将沿折叠，点落在点处，连接并延长交于点．若，则的长为．5．如图，边长为1的正方形中，点为的中点．连接，将沿折叠得到，交于点，求的长．专题09正方形中的对称、折叠问题正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．一、典例精析（2019·兰州）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则A． B． C． D．【分析】由题意可得：DF⊥EC，易证△DOM≌△COE，∴OM=OE=DE-DO=．故选D．【长度的计算——勾股定理】（2019·青岛）如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若AD=4，则的长为．【分析】∵E点是CD中点，∴，∴，由折叠可知AG=AB=4，∴，设CF=x，则，，在Rt△EFG中，，在Rt△CEF中，，∴，解得：．∴CF的长为．【对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分】（2019·天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为．【分析】易证△ADE≌△BAF，∴AF=DE=5，BF=13，记AE与BF交点为H，，又，∴，，∴．故GE的长为．

（2019·上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是．【分析】如图，点F如图所示，连接BF、DF、EF、AF，记AF与BE交点为H，由对称可知AF⊥BE，点H是AF中点，又点E是AD中点，∴EH是△DF边所对的中位线，∴EH∥DF，∴∠EDF=∠AEB，∴tan∠EDF=tan∠AEB=2．【构造对称——将军饮马问题】（2019·陕西）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为．【分析】作点M关于BD的对称点，根据对称性可知在AB上且，连接，则，∴，当、N、P共线时，此时，取到最大值．∵，∴∽△ABC，即是等腰直角三角形，∴，故PM-PN的最大值为2．（2019·安徽）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是A．0 B．4 C．6 D．8【分析】可以先考虑一边上点P的数量，再由对称性得所有点P的个数．考虑在AD上任取一点P，所得PE+PF的最小值和最大值．先求PE+PF最小值：作点E关于直线AD的对称点，连接、，则PE+PF=，当、P、F共线时，取到最小值，此时，显然>9，∴在AD上存在两个点P使得PE+PF=9，在正方形的边上有8个这样的点P，故本题选D．二、中考真题演练1．（2020•资阳）如图，在边长为4的正方形中，点是边上的一点，将沿翻折得到，连接，使，则的长是A．1 B． C． D．解：过点作于点，并延长交于点，，，设，则，，将沿翻折得到，，，，，，，，，，，，，，．故选：．2．（2021•牡丹江）如图，正方形的边长为3，为边上一点，．将正方形沿折叠，使点恰好与点重合，连接，，，则四边形的面积为A． B． C．6 D．5解：设，，正方形的边长为3，，，由折叠可得，，，在中，，即，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，故选：．3．（2020•广东）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为A．1 B． C． D．2解：四边形是正方形，，，，将四边形沿折叠，点恰好落在边上，，，，，设，则，，，解得．故选：．4．（2021•东营）如图，正方形纸片的边长为12，点是上一点，将沿折叠，点落在点处，连接并延长交于点．若，则的长为．解：设与交于点，将沿折叠，点落在点处，，，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案为：．5．如图，边长为1的正方形中，点为的中点．连接，将沿折叠得到，交于点，求的长．解：延长交于，连接．四边形是正方形，，，，，由翻折的性质可知，，，，点是的中点，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，．专题10将军饮马模型（一）对称问题一、什么是将军饮马？如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）中考真题演练1．（2021•青海）如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是．2．（2020•永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是．3．（2021•西藏）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为A． B． C． D．4．（2021•绥化）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是A． B． C． D．5．（2019•黑龙江）如图，正方形的边长为4，点是对角线上一动点，点是边的中点，则的最小值为．6．（2021•西宁）如图，是等边三角形，，是的中点，是边上的中线，是上的一个动点，连接，，则的最小值是．7．（2021•毕节市）如图，在菱形中，，，为的中点，为对角线上的任意一点，则的最小值为．8．（2020•宜宾）如图，四边形中，，，，，，是边上的动点，则的最小值是．9．（2020•毕节市）如图，已知正方形的边长为4，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是．10．（2020•内江）如图，在矩形中，，，若点、分别是线段、上的两个动点，则的最小值为．专题10将军饮马模型（一）对称问题一、什么是将军饮马？如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）中考真题演练1．（2021•青海）如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是．解：正方形是轴对称图形，点与点是关于直线为对称轴的对称点，连接，，，，连接交于点，点为上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点运动到点时，，的最小值为的长度，四边形为正方形，，，，，的最小值是10．故答案为：10．2．（2020•永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是．解：分别作关于射线、射线的对称点与点，连接，与、分别交于、两点，此时周长最小，最小值为的长，连接，，，、分别为，的垂直平分线，，，且，，，，过作，可得，，，，，则周长的最小值是．故答案为：．3．（2021•西藏）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为A． B． C． D．解：作点关于的对称点，连接交于点，，，的最小值为的长，过点作于点，，，，，，，在△中，，，，，，，在中，，的最小值为，故选：．4．（2021•绥化）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是A． B． C． D．解：作关于的对称点，延长、交于点，，，，当、、共线且与垂直时，长度最小，即求的长，即作于，在中，，故选：．5．（2019•黑龙江）如图，正方形的边长为4，点是对角线上一动点，点是边的中点，则的最小值为．解：如图，连接交于点，因为四边形是正方形，所以点和关于对称，所以，所以，根据两点之间线段最短，可知：的最小值即为的长，在中，，，根据勾股定理，得．所以的最小值为．故答案为：．6．（2021•西宁）如图，是等边三角形，，是的中点，是边上的中线，是上的一个动点，连接，，则的最小值是．解：连接，，是等边三角形，是中线，，，是的垂直平分线，，，即当点、、三点共线时，最小值为的长，点是的中点，，，，最小值为：，故答案为：．7．（2021•毕节市）如图，在菱形中，，，为的中点，为对角线上的任意一点，则的最小值为．解：如图，连接，，．四边形是菱形，，在和中，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，的最小值为．故答案为：．8．（2020•宜宾）如图，四边形中，，，，，，是边上的动点，则的最小值是．解：延长到，使，连接交于．则就是的和的最小值．，，，，，△，，，，，，，，，的最小值是，故答案为．9．（2020•毕节市