重难点14 导数压轴小题十四大题型（解析版）-2024年高考数学重难点题型突破（新高考）

重难点专题14导数压轴小题十四大题型汇总

题型1恒成立问题之直接求导型.......................................................1

题型2恒成立问题之分离参数型.......................................................7

题型3恒成立问题之隐零点型........................................................13

题型4恒成立问题之洛必达法则......................................................19

题型5恒成立问题之两个函数问题...................................................24

♦类型1同变量型.............................................................25

♦类型2不同变量型..........................................................31

♦类型3函数相等型..........................................................35

题型6恒成立问题之构造函数........................................................40

题型7零点问题....................................................................45

题型8同构问题....................................................................52

题型9整数解问题..................................................................58

题型10函数凹凸性问题.............................................................66

题型11倍函数问题.................................................................71

题型12二次型函数问题.............................................................79

题型13嵌套函数问题...............................................................89

题型14切线放缩法.................................................................96

题型1恒成立问题之直接求导型

，」則重点

无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：

L移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点.

2.讨论点的寻找是关键.

3.一些题型，可以适当的借助端点值来”压缩”参数的讨论范围

【例题1]（2023春•四川绵阳高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知aeR,设函

数f⑺=fL若关于，的不等式/■⑶＞。在xeR上恒成立，贝必的取值范

围为()

A.[0,1]B.[1,2]C.[0,e]D.[l,e]

【答案】D

【分析】由函数解析式，在X<1时应用二次函数性质及恒成立有f(x)min=2(a-1)>0得

a>l,再利用导数研究f(X)在X>1的最小值，结合不等式恒成立只需保证f(X)min>0，即

可求出参数范围.

【详解】当X<1时的开口向上且对称轴X=|>1，此时〃x)min=/(I)=2(a-1),

要使f(X)20,则aN。；

当x>1时尸。)=?，显然a=1时>。恒成立，即f(x)在(1,+8)上递增，

所以f(X)min=/(l)=1>0,满足题设；

若a>1,则(l,a)上/(x)<0,即/(%)递减，(a,+8)上/(%)>0,即递增；

所以/'(x)min=f(a)=a-alna,要使/'(x)>0,则a-alna>0,即Ina<1,

所以a<e；

综上，a的取值范围为

故选：D

【点睛】关键点点睛：根据分段函数解析式，结合二次函数性质、导数研究不同定义域下最

小值，由不等式恒成立，保证最小值都非负即可.

【变式1-1]1.(2023春•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)对正实数a

有f⑺=1+1-alnx-ln^>0在定义域内恒成立，则a的取值范围为()

A.(0,1]B.[l,e2]C.(0,e2]D.(0,+oo)

【答案】C

【分析】利用导数研究f(x)单调性，得极小值/Xx。)=a*+沏-21na+2),将问题转化为

-+%0>21na-2在(0,+8)上恒成立，再应用导数硏究左侧的最小值，即可求解.

XO

【详解】由题设尸(X)=ex+1-坦a>0,x>0，令g(x)=/''(x)很軻(x)=ex+1+^>0,

所以g(x)=((X)在(0,+8)上递增,显然%趋向0时/(X)趋向-8，/(a)=ea+1-1>0,

故比0e(0,+8)使尸(&)=0,即e^o+i=—,则lnx()=Ina-(x+1),

xo0

所以,在(0,%)上/(x)<0,/(乃递减；在(而,+8)上/(%)>0,/(为递增;

Xo+1

故/(X)>/(&)=e-alnx0-ln^=a(--+x0-21na+2),

要fO)>0在(0,+8)上恒成立,则丄+x0-21na+2>0,BP^-+x0>21na-2恒成立，

XQXQ

令y=：+x且x6(0,+oo),则y，=I-妥，故x6(0,1)时y<0,Xe(1,+8)时/>o,

所以XG(0,1)上'递减,xG(1,+8)上了递增，则y>y\x=1=2,

且当%o=1时，0=Ina—2=>a=e2,

综上，21na-2<ymin=2,可得0<a4e?.

故选：C

【变式1-1]2.(2022秋•安徽六安•高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习)若不等式

e*T-znx-2n-3》0对VxeR恒成立，其中加*0,则巴的最大值为()

771

A.--B.-In3eC.In3eD.—

22

【答案】A

【分析】先求导，研究函数的单调性，根据参数不同的取值，分类讨论，求得函数的最小值，

再利用分离参数，构造新函数，求最值，可得答案.

【详解】令/(久)=e*T-mx-2n-3,求导得f'(x)=ex-1-m,

当山<0时，易知函数f(x)单调递增，函数值域为R,则不合题意；

当m>0时，令/''(%)=0,解得x=Inm+1,可列下表：

X(—co,Inm+1)Inm+1(Inm+1,4-00)

f'M—0+

/(x)/极小值7

则f(x)min=/(Inm4-1)=m—m(lnm4-1)-2n—3>0,

可得U--Inm———

m22m

1.33-m

令g(%)=-"nm-/，求导得g'(%)---1----=----

2m2m22m2

令g，(m)=0,可得m=3,可得下表

X(0,3)3(3,+oo)

g'M+0—

g(x)/极大值/

则g(m)max=g(3)=-沙3-言，则齢-|ln3e,

故选：A.

【变式1-1]3.(2023春•四川南充•高三闽中中学校考阶段练习)一般地，对于函数y=/(t)

和t=g(x)复合而成的函数y=/(g(x)),它的导数与函数y=/(t),t=g(x)的导数间的关

系为%'="•歯.若关于%的不等式e。、>x+人对于任意xGR恒成立狈吟的最大值为()

A.-2B.1C.-2D.e

【答案】C

【分析】构造函数/(X)=eax-x-b,利用导数研究/(X)的最小值，由此列不等式，再利

用构造函数法，结合导数来求得的最大值.

a

【详解】依题意e。*>x+b恒成立，即eg_x-b>0恒成立,

设/(x)=eax-x-b,f'M=aeax-1,

设g(x)=aeg-1,贝!Jg'(x)=a2eax>0,所以〃(x)在R上单调递增,

当aW0时，/(x)=ae〃-1<o,/(x)在R上递减，没有最小值，不符合题意.

Ina

当a>0时,由/''(x)=aeax-1=0解得无=-

a，

所以f(x)在区间(一8,-詈)，/(x)<O,f(x)递减；

在区间(-*+8)J3>0/(X)递增.

所以f(x)的最小值是/(一等)=e-lna+等一b=等一6,

依题意可知止-6丄0,

a

an>,1+lna口口匕，1+lna

即b<------,即-<——,

aaaz

1+lnx,、八、

设h(x)=(x>0),

x-2x(l+lnx)_-l-21nx

h'M

所以九(均在区间>0,九(支)递增;

在区间(e»+8),"(x)<0,九(久)递减，

l+】n(e-2)

所以Mx)的最大值为％(e4)=e

e-1-2'

所以*的最大值为*

a2

故选：C

【点睛】利用导数求解不等式问题，首先将不等式转化为一边为0的形式，然后利用构造函

数法，结合导数来研究所构造函数的单调性、极值、最值等性质，从而对问题进行求解.

【变式1-114.(2023•安徽合肥•合肥市第七中学校考三模)已知函数代工)=me，-X-n-

l(m,ne/?),若/■(%)>一1对任意的XeR恒成立，则nm的最大值是()

A.e-2B.-e-2C.e-1D.-e-1

【答案】B

【分析】讨论m<0,m>0利用导数得出mQnm+1)>mn构造函数/i(m)-mflnin+1),

由导数得出h(m)min，逬而得出win的最大值.

［详解］/(x)-mex-x-n-1,f'(x)-mex-1,

当m<0时，/(x)<0恒成立，则/'(%)单调递减,f(0)=m-n-1,显然/'(x)>-1不恒

成立；

当m>0时，x€(-8,-Inm)时，尸(x)<0,函数f(%)单调递减；

xe(-lnm,+8)时，/(x)>0,函数/(x)单调递增，

"(x)min=f(Tnm)=Inm-n,

■./(x)>—立，.1Inm—n+1>0,.'.m(\nm+1)>mn,

令/i(zn)=m(\nm+1),zn>0,h'(jn)=Inm+2,

mG(0,e12)时,h'(m)<0;mG(e『+8)时,h'(m)>0.

h(m)在区间(0,e-2)上单调递减，在区间(e-2,+8)上单调递增，

・•朮(m)min=h(e-2)--e-2,即mn的最大值是一e-2.

故选：B.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于，将不等式的恒成立问题转化为最值问题得出

m(lnm+1)>mn,再由导数得出/i(m)min?mn-

【变式1-1]5.(2022春•安徽滁州•高三校考阶段练习)已知函数f⑺=0-a-1)峭+b,

若存在beR,对于任意久G[1,2],都有〃动<|,则实数a的取值范围是.

【答案】(1，言)

【分析】设g(x)=(x-a-l)e*,问题转化为对于任意％G[1,2],都有g(x)max-5(x)min<e,

利用导数研究g(x)的最值，建立关于a的不等式即可求解.

【详解】设g(x)=(x-a-l)ex,

由b的任意性，结合题意可知，对于任意x6[1,2],-|<f(x)<：,

即g(x)max—g(x)min<‘,

又g'(x)=(X-a)e"易知函数g(x)在(-8,a)单调递减,在(a,+8)上单调递增，

①当a<1时，g(K)在［L2］上单调递增，

2

则9(x)max=5(2)=(1-a)e,g(x)min=g(l)=-ae

故g(x)max-g(x)min=(1-a)e2+ae<e,解得a>1,此时无解.

②当a>2时，g(x)在［1,2］上单调递减，

则g(%)max=9(1)=-ae,g(x)min=g(2)=(1-a)e2

故g(x)maxmm=-ae-(1-a)e2<e,解得24a<二

③当1<a<2时,g(x)在“’"L上单调递减,在a2］上单调递增,

则g(%)mln=g(a)=一〃，9(x)max=max{g(l),g(2”

故只需g(l)-g(a)=ea-ae<e且g(2)-g(a)=e"+(1-a)e2<e

记函数m(a)=-ae-e,则M(a)=ea-e>0,函数m(a)在(1,2)上递增,

则m(a)<m(2)=e2-3e=e(e-3)<0,

记函数九(a)=ea+(1—a)e2—e则n，(a)=ea—e2<0,

函数几(a)在(1,2)上递减,则几(a)<n(l)=e14-0-e=0

故当1vQv2时，g(l)-g(Q)ve且g(2)-g(a)V然恒成立，满足题意，

综上所述，实数a的取值范围为(1,畳)，

故答案为：(1,憲)

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，查了不等式的恒成立问题，考查

分类讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

题型2恒成立问题之分离参数型

屮卜均重点

分离参数是属于“暴力计算”型方法，分离参数：将参数提取到单独的一側，然后通过求解

函数的最值来求解参数的取值范围.

1.分离参数思维简单，不需过多思考；

2.参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂

3.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶..等等求导.

【例题2】(2023春•江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)若关于x的不等式

e«3k-x)<2x+3对任意的xe(0,+8)恒成立，则整数k的最大值为()

A.-1B.0C.1D.3

【答案】B

【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.

【详解】因为e'(3k-x)<2%+3对于任意xS(0,+8)恒成立,

等价于3k〈等+X对于任意Xe(0,+8)恒成立,

令/'(X)=+X,XG(0,4-00),贝(]/0)=1

令g(x)=ex-2x-1,xG(0,+co),贝!|g，(x)=ex-2,

当x6(0,ln2)时，g<x)<0,当x€(ln2,+8)时，g<x)>0,

所以g(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+8)上单调递增，

又g(0)=0,g(l)=e-3<0,g(2)=e2-5>0,

所以g(x)在(1,2)有且仅有一个根租,满足1。-2x0-1=0,即e&=2q+1,

当xe(O,Xo)时，g(x)<o,即尸(x)<0,函数/(X)单调递减,

x£(&,+8)时,g(x)>0,即/(x)>0,函数/(x)单调递增,

所以/'(X)min=f(&)=+x0=+&=&+5^7+l=&+(+占+]

由对勾函数可知1+1+|<久o+[d—\+[v2+l+(,即?</(x0)V-f

3乙XQ+-N33b

o8

-f6z

因为3k</(Xg),即k<厶言,9c

当k=1■时，不等式为e*(3-x)<2%+3,因为e(3-1)>2+3,不合题意；

所以整数k的最大值为0.

故选：B

【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：

若f(%)在区间。上有最值，则

(1)立：V%eD,f(x)>0=/(久)min>0；VxGD,f(x)<0Qf(x)max<0；

(2)能成立：3xeD,f(x)>0=f(*)max>0；3xGD,f(x)<0Q/(x)min<0.

【变式2-1J1.(2022秋•四川内江•高三威远中学校校考阶段练习)已知不等式尤e，+i-x2

Inx+2m+3对Vx£(0,+8)恒成立,则m取值范围为()

A.m<-1C,m<-2D.m>-2

【答案】A

【分析】将问题转化为%e"+i-x-InxN2?n+3对V%6(0,+8)恒成立，构造函数f(%)=

xe^-x-lnx,进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.

【详解】不等式％e"+i-久工In%+2m+3对Vx€(0,+8)恒成立,gp%ex+1—%—Inx>

2m+3对V%G(0,+8)恒成立，令/'(%)=xex+1—x—lnx(x>0),/'(%)=(%+l)ex+1—

l-i=(x+l)(e^+1-i),而gQ)=ex+i在(0,+8)单调递增(增+增)，且

g⑴=e2-1>0

,所以e(寫,1)(x。唯一)，使得gg)=eXo+1-i=o.

gg)=e«-16<0

则x€(O,%o)时,g(x)<0=>f\x)<0/(x)单调递减,xe(与，+8)时,g(x)>0</z(x)>

x+1

0,/(x)单调递增.所以/(x)min=/(%)=Xoe°-x0-lnx0

根据9®))=er0+1-^=0{inx°-Z-(x=+1),

x

oUIIXQ-।1J

所以/'(x)min=1-Xo+(x0+1)=2,所以2>2m+3=>m<

故选：A.

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：构造新函数或者逬行参变分离，利用导

数研究函数的单调性，求出最值，从而求得参数的取值范围.

【变式2-1]2.(2023・全国•高三专题练习)已知f(x),g(x)分别为定义域为R的偶函数和

奇函数,且/'(%)+g(x)=ex,若关于x的不等式2f(x)-ag2(x)>。在(0,In2)上恒成立,

则实数a的取值范围是()

A.(-8,£)B.r,+8)C.(一8知D.(-拳0)

【答案】C

【分析】由奇偶性求得/(x),g(x)，化简不等式，并用分离参数法变形为a<黑等，设眇+

er=t，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得a的范围.

【详解】因为f(x),g(x)分别为偶函数和奇函数，

f(x)+g(x)=e久①,

所以/'(-x)+g[-x)=e~x,即/(x)-g(x)=e~x@,

①②联立可解得/(无)=V,g(x)=及舁，

不等式2/(x)-ag2(x)>0为e*+e~x-a■侄二：一)>o,

xe(0,ln2),则e'-e-x>0,aW;嘗,

设e'+eT=t，则心念=2.

t=e"+e~x,xe(0,ln2),t'=ex-e~x>0,t=ex+e-在(o,m2)上是增函数,te(2,|),

又丫=»-%16(2,|)时是增函数，所以0<一*白，三>?,

LLL1Ut--7

a4悪篝(在*G(°/n2)恒成立，则a7.

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性，解题方法是利用奇偶性求

得函数八x),g(x)的表达式，然后化简不等式，用分离参数法变形转化为求函数的最值或取

值范围，从而得结论.

【变式2-1]3.(2022秋•山西运城•高三校考阶段练习)已知与，犯是函数f(%)=/-2ax+

21nx的两个极值点，且与<&，当a2次寸，不等式f%)>M右恒成立，则实数小的取值范

围()

A.卜ln2,o]B.^—oo,—2—in2j

C.[-1-ln2,0)D.卜[一如2,+8)

【答案】B

【分析】先求导由与,与是极值点，得与+x2=a,xxx2=1,进而将不等式;'GJ>7n小恒

成立转化为m<(-xf-2X[+2xilnxJmin,构造函数g(x)求得最小值，即可求出实数M的

取值范围.

【详解】由题意得,x>0/(x)=2x-2a+l=空詈单)，所以与，孙是方程/一ax+1=

。的两个正根，

12

所以△=a-4>0,%14-x2=a>[与&=1，不等式/(%i)N漢冷恒成立，即加工34*亘

2X2

成立；

x

又=红-2aH21nA=%；-2axf+2x1lnx1=君—2(xx4-x2)i+2x1\nx1=­x；-

x2x2

2x1+2x1\nx1,

则m<(-xf-2xi+2xiln%Jmin，又+x2=a>^,xxx2=1，可得x1+丄2j，则0<x1<

厶工]i.

1

2

令g(x)=—x3—2x+2x\nx,(0<xW，则g'(x)=-3x2—2+2+21nx=-3x2+21nx<

0,

所以g(x)在(0,|]上单调递减，所以g(x)min=gG)=-(-ln2,故m<-2-ln2.

故选：B.

【点睛】解决极值点问题，通常求导转化为导数根的问题，结合韦达定理可将双变量问题转

化为单变量问题；而恒成立问题，通常采用参变分离，转化为函数最值问题，利用导数加以

解决.

【变式2-1J4.(2023・全国•高三专题练习)若关于x的不等式如与警卫<x在(0,+8)上

恒成立，则实数m的取值范围为()

A.(―8,o]B.(―8,—e]

C.(―8,e]D.(—00,-1]

【答案】A

【分析】分离参数得到漢+2We?x-R(x>0),构造函数g(x)=e2"-,分析单

调性，求出g(x)min,即可求出实数m的取值范围.

【详解】依题意，m+2<e2x-g里(x>0).令g(x)=e2x-(x>0),故g'(x)=

2x2e2x+lnx

,

令九(x)=2x2e2x+lnx(x>0),则》(%)=4xe2x+4x2e2x+：>0,

故九(x)=2%202%+in》在(0,+8)上单调递增,且力⑴=2e2>0,九(3)=总験—1=

2ee-2-l<0,

所以存在XoeQ.l),使得攸沏)=o,即g'(x0)=0,

当xC(0,&)时,g'[x)<0,g(x)单调递减,当xG(x0,+8)时,g'[x)>0,g(x)单调递增，

故g(x)min=g(Xo)=e2x°-卓匚.

x0

2x

由2%耙2&+in%0=0,得2%除=—in%0,BPln(2%Qe°)=ln(—lnx0),BPln2x0+lnx0+

2x0=ln(-lnx0),故ln2&+2x0=ln(—lnx0)+(-lnx0).因为函数y=x+In%在(0,+8)上

ln+

单调递增，所以2xo=-lnx0,g(x)min=--—-=--=2，故m+2W2,解得m<0.

&XQ

故选:A.

题型3恒成立问题之隐零点型

上均重点

解题框架(主要的)：

(1)导函数(主要是一阶导函数)等零这一步，有根X。但不可解.但得到参数和X。的等量代

换关系.备用

(2)知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根X。

(3)利用X。与参数互化得关系式，先消掉参数，得出X。不等式，求得X。范围.

(4)再代入参数和X。互化式中求得参数范围.

【例题3】(2023•河南郑州・统考模拟预测)已知函数/(x)=：+等+1,g(x)=

(1+GR),若f(x)<g(x)恒成立,则实数m的取值范围为—.

【答案】［0,+8)

【分析】先分离参数可得小>噜龙-1，构造函数G(x)=噜三，利用导数求出函数G(x)

的最大值即可得解.

【详解】由题意可得函数/(“)=：+?+1的定义域为(0,+8),

不等式/(幻Wg(x)等价于1+：+等4(1+m)e，恒成立，即m>噜三一1恒成立，

令G(x)=喑1,则0(x)=《+售产，)

令h(x)=Inx+x,则/i(x)在(0,+8)上单调递增，

因为九&)=：一1<0,%(1)=1>0,

所以存在与6&,1),使得攸沏)=%0+lnx0=0,

当xG(0,&)时,h(x)<0,Gr(x)>0,G(x)单调递增；

当xG(x0)+8)时,h(x)>0,G'(x)<0,G(x)单调递减；

所以G(%)max=G(%o)=E驚;+1，

由于&+lnx=0,可得出=-lnx,即e"。=—,

00XQ

1

所以G(X)max=G(Xo)="：；：：：+=1,

又7n>-1恒成立,BPm>l-l=O,所以m>0,

所以实数m的取值范围为[0,+8).

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求岀最值，从而求出参数的取值范围；

2.利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3.根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用

分类讨论法和放缩法，注意恒成立与有解问题的区别.

【变式3-1]1.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习)若关于x

的不等式e>a>In%+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(—8,B.(—8,e]C.(—0°,1]D.(—oo,2]

【答案】C

【分析】构造函数/'(x)=ex-a-Inx-a(x>0)將原不等式转化为求解函数f(x)的最小值,

通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到蜡厂。-伍沏-a》0,再利用基本不等

式进行求解即可.

【详解】解：设f(x)=ex-a-Inx-a(x>0),则f(x)》0对一切正实数x恒成立，即

由/'(%)=e”-。—:，令九(%)=ex"a—:,则九'(%)=ex~a+妥>0恒成立，

所以九⑺在(0,+8)上为增函数,

当％->0时，/l(x)T-00,当xT+8时，/l(x)->+8,

则在(0,+8)上,存在X。使得以与)=0,

当0<x<g时,/i(x)<0,当x>&时,h(x)>0,

故函数f(x)在(0,&)上单调递减，在(出,+8)上单调递增，

xa

所以函数/'(%)在X=%0处取得最小值为/■Oo)=e°~-lnx0-a>0,

因为e^-a=—,即X。一a=-lnx,

x00

所以丄+—Q—a)0怛成立,即2a<x04---,

%0XQ

又出+—>2lx0­—=2,当且仅当%o=丄，即&=1时取等号，

40yjXQXQ

故2a<2,所以a<1.

故选：C.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a</i(X)恒成立(a</(X)min

即可)或a>/'(x)恒成立(a>f(x)max即可)；②数形结合(y=/(X)图象在y=g(x)上方

即可)；③讨论最值f(%)min>0或f(X)max<。恒成立；④讨论参数.

【变式3-1]2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数r(x)=91,对任意X>0,都

有fQ)>aln(x+1)恒成立，则实数a的取值范围是.

【答案】(—8,,

【分析】由f(x)>aln(x+1)恒成立得出e*-x-1-axln(x+1)>0,构造函数g(x)=

ex-x-1-axln(x+1),分成a<0,0<a<|,a>[三种情况进行讨论，得出a的取值

范围.

【详解】已知/(%)=§--1,对任意X>0,都有/(x)>aln(x+1)恒成立，

即-----1>aln(%+1),化简得e”—x—1—CLX\V\(X+1)>0,

令g(%)=ex-%-1-axln(x+1),于是对任意%>0,有g(x)>0,

g](x)=ex—1—aln(x4-1)-,令h(x)=ex—1—aln(x4-1)-,贝U"(%)=ex—

a岛+

当a<0时,h'(x)>0,所以/i(x)在(0,+8)上是增函数，

于是/i(x)>h(0)=0,即g，(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上是增函数，

于是g(x)>g(0)=0,符合题意.

当a>0时，观察易知八’(%)在(0,+8)上是增函数，于是〃(x)>〃(0)=1-2a.

若0<aWJ则九'(x)>0,所以九(x)在(0,+8)上是增函数，

h(x)>h(O)=0,即g<x)>0,所以g(x)在(0,+8)上是增函数,g(x)>g(0)=0,符合

题意.

若a>T时,令zn(x)=ex—%-1,则当x>0时,mz(x)=ex-1>0,m(x)在(0,+8)上是

增函数，

所以m(x)>m(0)=0,即e*>x+1,h'(a)=ea-a[六+>a+1-=

3232

(a+l)-a-2a_a+2a+a+ln

(a+1)2-(a+1)2'

又〃(0)=l-2a<0,〃(x)在(0,+8)上是增函数，所以存在X。e(0,a),

使得》(&)=o,当Xe(O,Xo)时，h'M<0,即h(x)在(0,&)上是减函数,

当xe(0,&)时，八0)<fi(0)=0,即g'(x)<0,所以g(x)在(0,&)上是减函数,g(x)<

g(0)=0,

这与g(x)>0矛盾.故实数a的取值范围是(-8,1

故答案为：(-8,3

【点睛】方法点睛：

对于含参不等式的恒成立问题，往往采用参变分离或构造含参函数两种方法，参变分离在使

用时，一定保证分离出的函数，可利用导数清晰的研究出其单调性；构造含参函数，利用导

数研究其单调性时，利用分类讨论的方法，可得答案.

【变式3-1】3.(2023•广东深圳•深圳中学校联考模拟预测话关于x的不等式e，(2k-x)<

X+3对任意的Xe(0,+8)恒成立，则整数k的最大值为.

【答案】1

【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.

【详解】因为ex(2k-x)<x+3对于任意xG(0,+8)恒成立，等价于2k〈詈+x对于任

意xG(0,+8)恒成立，

令/(无)=衰+X，Xe(0,+00),则/'(>)=1-爰=三尹,

令g(%)=ex—x—2,xG(0,+oo),则=ex-1>0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增,又9(1)=e-3<0,5(2)=e2-4>0,

所以g(x)在(1,2)有且仅有一个根租,满足炉。-3-2=0,即炉。=而+2,

当xC(0,a)时,g(x)<0,即尸(x)<0,函数/'(x)单调递减,

xG(沏，+8)时，g(x)>0,即/(%)>0,函数/'(%)单调递增,

所以/'(X)min=fOo)=欝+X。=然+X。=通+/+1=4+2+六一1,

cuXQ-T£兀0十/XQTZ

由对勾函数可知3+：-1V&+2+-^―-1<4+：-1,即1</(%o)v/

3XQ+Z434

因为2k</(&)，即k〈等，(<等<蔡，keZ,

所以k<1.

故答案为：1.

【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：

若f(x)在区间。上有最值，则

(1)立：VxGD,f(x)>00/"(x)min>0；VXGD,/(X)<0Qf(x)max<。；

(2)能成立：3xeD,f(x)>0Q/(x)max>0；BxGD,f(x)<0Q/(x)min<0.

若能分离常数，即将问题转化为：a>/(x)(或a</(x)),则

(1)T颤立：a>f(x)Qa>/(x)max；a<fM=a<fMmin；

(2)能成立：a>/(x)Qa>f(x)min；a</(x)Qa</(%)max-

【变式3-1]4.(2022・安徽・巢湖市第一中学校联考模拟预测)已知不等式ax-詈*对

vxe[1,+8)恒成立，则实数a的最小值为()

A.-B.-C,-D.1

432

【答案】C

【分析】将不等式a久-竇2?等价为a》3-Inx-ax20,令9(x)=ax(/一1)一[nx,再

利用函数的单调性和参数分离，结合导数可求最值，即可得解.

【详解】解：由题意得：

不等式ax-竇2(对“e[1,+8)恒成立等价于不等式a*-]nx-ax>0对Vxe[1,4-oo)

恒成立

设g(%)=ax3—Inx-ax=ax(x2—1)—lnx(x>1),g(l)=0，则g'(x)=3ax2—(一a=

3ax3-ax-l_ax(3x-l)-l

XX

当a<0时,g'(x)<0,则g(x)在[L+8)上单调递减

•••g(x)<g(l)=。与题意矛盾

•••a>0.令h(x)=3ax3—ax—l(x>1),则/i'(x)=9ax2—a=a(3x+l)(3x-1)>0

/i(x)在[L+8)上单调递增

•••九。)>h(l)=2a-1,当2a-120,即a2；时，g，(x)>0,则g(无)在[1,+8)上单调递

增

g(x)>g(i)=o,符合题意；

当2a-K0，即0<a<|时，由h(l)=2a-1<0,八G)=*-2>0，得诙&e(1,；),

使八(沏)=o使xG(1,凡)时，九(x)<0，即“(X)<0，则g(x)在(1,%0)上单调递减，则g(x)<

9(1)=0,不符合题意，因此实数a的最小值为I

故选：C

题型4恒成立问题之洛必达法则

电划重点

如果最值恰好在“断点处"，则可以通过洛必达法则求出"最值".

【例题4】侈选)已知函数/■(%)=el*inx,则下列结论正确的是()

A.是周期为2兀的奇函数B.f(x)在(-9号)上为增函数

C.f(X)在(-10兀,10兀)内有21个极值点D./(x)>ax在［0币上恒成立的充要条件是

a<1

【答案】BD

【解析】根据周期函数的定义判定选项A错误；根据导航的符号判断选项B正确；根据导

函数零点判定选项C错误;根据恒成立以及对应函数最值确定选项D正确.

【详解】f(x)的定义域为R，/'(-X)=el-x|sin(-x)=-f(x),

二f(x)是奇函数,

但是f(x+2兀)=/*+2msin(x+2TT)=e^2n^smx*f(x),

f(x)不是周期为2兀的函数，故选项A错误；

当xe(-：,0)时，/(x)=e-xsinx,

f'(x)=e-x(cosx-sinx)>0，/'(x)单调递增，

当x6(0,午)时,/(%)=exsinx,

f'(x)=ex(sinx+cosx)>0,/(x)单调递增，

且/(乃在(-不日)连续，故/(均在(-??)单调递增,

故选项B正确；

当％6[0,10zr)时,/(%)=exsinx,/'(%)=ex(sinx+cosx),

令((x)=0得，％=Y+kn(k=1,23456,7,8,9,10),

当%G(―10兀,0)时,/(%)=e-xsinx,fr(x)=e~x(cosx-sinx),

令f'(x)=0得，％=*+k江(k=-1,-2,—3)—4,—5,—6,—7,—8,—9,—10),

因此J(x)在(-10兀,io兀)内有20个极值点，故选项C错误；

当x=0时，/'(%)=0>0=ax,贝1|aGR,

当xe(0,g时，f(X)>axa<,

exsinxex(xsinr+xcosx-sinx)

设g(x)=x•••g'O)=x2

令h(X)=xsinx+xcosx-sinx,xG(0項

・•・//(%)=sinx+x(cosx-sinx)>0；/i(%)单调递增,

・•・/i(x)>九(0)=0,

g'(x)>0,g(x)在(05］单调递增，

4

又由洛必达法则知：

M/八…r、exsinxex(sinx+cosz).

当x->0时，g(x)=------>-------------1x=o=1

•••a<1,故答案D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质,函数的极值，利用导数

研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考査综合分析求解与论证能力，属较难题.

【变式4-1】1.(2020春•黑龙江哈尔滨•高三黑龙江实验中学校考开学考试H知函数f(x)=

x2lnx-a(x2-i)(aeR),若/⑶2o在xe(0,1］时恒成立,则实数a的取值范围是

A.［与+8)B.［1,+oo)C.［2,+oo)DJL+8)

【答案】B

【分析】首先将式子化简，将参数a化为关于x的函数，之后将问题转化为求最值问题来解

决，之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，在求解的过程中，注意对函数

进行简化，最后用洛必达法则，通过极限求得结果.

【详解】根据题意,有尤21nx-a(x2-l)>0,(xe(0山)恒成立，当a丰1时，将其变形为

a>岩恒成立，即a>(岩)max，令=豊;，利用求得法则及求导公式可求得g'(x)=

“：_2：詈'令=x3—x—2xlnx,可得-3x2—1—21nx-2=3x2—21nx—3,

可得九〃(X)=6x-：=岑二=,因为x6(0,1],所以Xe(0,弓)时,h"⑺<0,

Xe(今1]时，h"(x)>0,所以函数本⑶在XG(0,当时单调减，在xe(今1]时单调增,即

h'(x)>吟=l-3-21ny=ln3-2,而%'(1)=0,所以八。)在(f,1]上是减函数，且

餌1)=0,所以函数无(%)在区间(?,1J上满足九。)>0恒成立，同理也可以确定頃x)>0在

(0,当上也成立，即g'。)>0在Xe(0.1]上恒成立，即g(x)=誓在xG(0,1]上单调增，且

lim陪=lim驾”=lim苧=[,故所求的实数a的取值范围是弓,+~),故选B.

x->lxz-lx-»l2Xx->l22u2

点睛：该题属于应用导数研究函数最值的综合问题，在解题的过程中，注意构造新函数，并

且反复求导，研究函数的单调性，从而确定岀函数值的符号，从而确定岀函数的单调性，从

而得出函数在哪个点处取得最值，还有需要应用洛必达法则求极限来达到求最值的目的.

【变式4-1]2.(2020•江西九江•统考三模)若对任意xG(0,71),不等式e，->asinx

恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[—2,2]B.(—8,e]C.(—8,2]D.(—8,1]

【答案】C

【分析】由题意参变分离，构造f(X)=W,求导分析函数的单调性与最小值即可.

【详解】将ex-e-x>asin久等价转化为a<令?在(0,兀)上恒成立，

令"X)=,贝卄，⑴=e，(sinxsx)+：-，(sinx+8sx),令江乃=1⑸叱-COSX)+

sinxsinx

e-x(sinx+cosx),

则g'(x)=2(ex—e-x)sinx,因为％G(O,TT),故e*>e~x,s