三角函数及解三角形解答题（理科）（解析版）2014-2023年高考数学真题分享汇编

十年（2014—2023）年高考真题分项汇编一三角函数解答题

目录

题型一：三角恒等变换.......................................1

题型二：三角函数与向量综合.................................4

题型三：三角函数的图像与性质...............................8

题型四：正余弦定理的应用..................................20

题型五：与三角形周长、面积有关问题........................38

题型六：三角函数的建模应用................................50

题型七：结构不良型试题....................................56

题型一：三角恒等变换

1.（2023年天津卷•第16题）在口48c中，角48,。所对的边分别是4c.已知a=屈力=2,=120°.

（1）求sinB的值；

⑵求c的值；

⑶求sin（8—C）.

【答案】（1）巫

13

⑵5

⑶一連

26

解析：（1）由正弦定理可得，‘•=一竺，即=_2_,解得：sinB=@3；

smZsin5sin1200sin813

2222

⑵由余弦定理可得，a=b+c-2bccosA，HP39=4+c-2x2xCx|1,

I2丿

解得：c=5或c=-7（舍去）.

（3）由正弦定理可得，即一回=-j—,解得：sinC=^叵，而4=120°，

sin4sinCsin120°sinC26

所以8,C都为锐角，因此cosC=J1—”=2叵,cos8=Jl—丄=友^,

V5226V1313

137百

故sin(8-C)=sin8cosC-cosBsinC____x_____________x_____—______

1326132626

2.（2023年新课标全国I卷•第17题）已知在EL48C中，A+B=3C,2sm（A-C）=smB.

⑴求siM；

（2）设48=5,求力8边上的高.

【答案】（1）主何

10

（2）6

解析：（1）:Z+8=3C,

71

/.n-C=3C,即。=一，

4

又2sin(Z-C)=sin5=sin(J+C),

/.2sin4cosC-2cos4sinC=sinAcosC+cos4sinC,

/.sinAcosC=3cos4sinC,

/.sinA=3cosA,

即tan/=3，所以

3_3V10

sin/

VTo-10

(、亠,、kA1jl0

(2)由(1)知，COSA=--r^==-----9

Vio10

山sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cos力sinC=

<2V5

15x-------

由lE弦定理，——―=-...,可得力=---7=^——2y/10,

sinCsin5y/2

T

:.—AB'h=-AB-ACsinA,

22

:.h=h-sinA=2>/10x3y-6.

10

3.(2018年高考数学江苏卷•第16题)(本小题满分14分)已知a,/?为锐角，tana=g,cos(a+夕)=-日.

（1）求cos2a的值；（2）求tan（a-/7）的值.

【答案】解析：(1)因为tana=3,tana=’所以sina=&cosa.

3cosa3

因为sin?a+cos2a=1,cos2a=—^

25

7

因止匕cos2a=2cos2a-1=-----.

25

(2)因为a,4为锐角，所以a+〃w(0,7r).

又因为cos(a+/)=一日，所以sin(a+0)=-cos?(a+0)=,

因此，tan(a+4)=-2.

因为tana=±,所以tan2a=丄%=-%，

31-tan-a7

、B)2

3因此u,，tan,(a-£c)=tans[2a-(/a+/?)]=-t-a-n--2--a--—---t-a-n--(-a---+--/=--•

1+tan2atan(a+f3)11

4.(2018年髙考数学浙江卷•第18题)已知角a的顶点与原点。重合，始边与X轴的非负半轴重合，它的

终边过点尸(一3]一分4.

(1)求sin(a+?t)的值；

(2)若角/满足sin(a+4)=9,求cos/值.

【答案】（1）3;（2）-史或竺.

56565

34,・4一./、.4

【解析】⑴由角a终边过点P（—得sina=——，所以sin(a+;r)=-sina=—.

55

343

⑵山角oc终边过点”一y一下得cosa=-y,

512

由sin(a+/?)=—得cos(a+/?)=±—.

由夕=(a+/?)-a得cos/7=cos[(a+/?)-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina

12.12H56

当cos(a+£)=w时,cos夕=Ex+厶：

1365

当cos(a+夕)=一£时，cos'[一12、3-516

x+一

131365

所以cos〃=一型或竺.

6565

7T

5.（2014高考数学广东理科•第16题）已知函数/（x）=/sin（x+2）,x£H,且/543

471

（1）求/的值;

⑵若/（。）+/（—6）=]3,8£（0,三4），求/（W3万一e）・

【答案】解：(1)依题意有/｛包］=/sin(也+土］=Nsin^=^/=3,所以4=6

<12J<124)322

(2)由(1)得f(x)=V3sin(x+—),x&R

4

.•・/⑻+/(_6)地sin(吒)+5抽19+?)

=V^cos。=—

2

cos0=^-,ve(0,—)sin0=71-cos20-.Il---

42\84

f-8)=Gsin-6+=Ksin8=

6.(2014高考数学江苏•第15题)已知aw(乙，幻，sina=正.

25

(1)求sing+a)的值；

(2)求cos(-^——2a)的值.

【答案】⑴一回：⑵一匕口叵

1010

解析：(1)因为a金(I■，兀)，Sina：9,所以cosa=-Jl-sin2a=-2y^.

故sin［工+a］=sin—cosa+cos—sina=——x

(4丿442

4

(2)由(1)知sin2a=2sinacosa=2x—

55

3

cos2a=L2sin2a=1—2

恃5

所以8s(空一2c］=c°s2c°s2a+sin空s】n2a=，且］△+一位

(6丿6612丿5215丿10

题型二：三角函数与向量综合

1.(2014高考数学山东理科•第16题)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),设函数f(x)=a-b,

且…⑴的图象过点脸，拘和点弓,m

(I)求相的值；

(II)Wj/=/(X)的图象向左平移0(0<°<")个单位后得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)图象

上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求丁=g(x)的单调递增区间.

【答案】(I)\m=^(\l)[--+k7r,k7v],kez

〃=12

解析：(I)己知/(x)=。・6=msm2x+//cos2x,

,**f(x)过点,-2)

TTTT7T

f(—)=msin——vncos—

1266

“21、.4万+〃cos^=-2

/(——)=msin——

333

1V3ZT

—m+—n=W解得上3

22

百17n=1

------m—〃二-2

,2------2

(II)f(x)=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)

TT

/(x)左移0后得到g(x)=2sin(2x+2e+—)

6

设g(x)的对称轴为x=x0,'：d=Jl+x；=1解得x0=0

TT

/.g(0)=2,解得0=_

6

/.g(x)=2sin(2x+y+—)=2sin(2x+-^)=2cos2x

:.一n+2k兀<2x<2k7r,kGZ

JI

：.---\-k7i<x<k兀,k€Z

：./(x)的单调增区间为［-1+厶肛上万］,〃eZ

2.(2017年高考数学江苏文理科•第16题)已知向量Z=(cosx,sinx)j=(3,-6),xe［0,7c］.

⑴若£□］，求x的值;

⑵记/(X)=鼠鼠求/(X)的最大值和最小值以及对应的X的值.

【答案】(l)x=¥(2)X=0时，/㈤取得最大值，为3；X=半时，/(x)取得最小值，为-26.

66

解析:解：⑴因为"=(c°sx,sinx),'=(3,-6),［口友

所以一百cosx=3sinx.

若cosx=0，则sin1=0,与sin^x+cos^xul矛盾，故cosxxO.

于是tanx=——-.又xw［0,乃］，所以工=多.

36

f(x)=ah=(cosx,sinx)•(3,-^3)=3cosx-V3sinx=2A/3COS(X+—)

⑵6

x+員点吗

因为xe[O"],所以66'6

-1<cos(x+—)<V3

从而一6-2

7CIt

x+—=

于是，当6k,即x=°时,取到最大值3;

x+兀一兀丫_5兀

当“6;即X6时，“X）取到最小值-2JJ.

3.（2014高考数学辽宁理科•第17题）（本小题满分12分）

—.----------•]

在A48C中，内角A,B,C的对边a,b,c,且a〉c,已知A4・6C=2,cosB--,b=3,求:

3

（l）a和c的值；

⑵cos（B-C）的值.

【答案】

23

（l）a=3,c=2；（2）—

27

解析：（1）:0•元=2,cos8=；,•网•网cos6=2,即ec=6①，由余弦定理可得

22121

cos8=生丄丄=丄，化简整理得/+。2=13②，①②联立，解得，a=3,-2；

2ac3

⑵「cos5=sinfi=Vl-sin2B=——，

33

因为a=3,6=3,c=2,由余弦定理可得cosC=±±±2=N,sinC=Vl-cos2C=—,

lab99

“D.D.71472V223

cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=---------1-----------------------=—.

939327

解析2：

⑵在AABC中，vcos5=-,sinB=Vl-sin25=—,根据正弦定理‘一=」一可得

33sin5sinC

sinC='sinB.="忘,•：a=b>c,/.C为锐角，/.cosC-Vl-sin2C=—,

b99

「、「.D.「714正夜23

..cos(B-C)—cosBDcosC+sinBsinC=一>—I-----------——.

939327

（2015高考数学陕西理科•第17题）（本小题满分12分）AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,

h,c.向量成=与

万=(cosA,sinB)平行.

⑴求A；

(II)若a=J7,b=2求AABC的面积.

【答案】(I)-(II)—.

3；2

分析：(I)先利用玩/历可得asinB-&sinA=O,再利用正弦定理可得tanA的值，进而可得A的

值；(II)由余弦定理可得c的值，进而利用三角形的面积公式可得AABC的面积.

解析：(1)因为应//方，所以asinB-Jlbcos/=0,

由正弦定理,得sinAsinB-V3sinBcosA=0

又sinB/0,从而tanZ=J*，由于0<4(乃，所以〃=工

3

(H)解法一：由余弦定理，得6=〃+/-2bccos4

而a=V7b=2,A=C得7=4+02-2c,即c?-2c-3=0

3

因为c>0,所以c=3.故AABC的面积为丄bcsinA=£L

22

解法二：由正弦定理，得「久=二一，从而sin3=叵，

.71sinB7

又由a>b,知A>B,所以cos8=±".

7

故sinC=sin(A+B)=sinfB+—=sinBcos—+cos5sin—=

'，I3丿3314

所以AABC的面积为丄besinA=—.

22

5.(2015髙考数学广东理科•第16题)(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xQy中，已知向量加二——,----，n=(sinx,cosx),xe(0,—).

、22丿2

(1)若加丄〃，求tanx的值；

⑵若帚与％的夹角为工，求x的值.

3

--(広应一-

【答案】解析：(1)加=一~—,n=(sinx,cosx),且加丄〃，

-----V2.V2,sinx〔

/.m-n=—sinx------cosxn=0,.,.sinx=cosx,tanx=-------=1

22cosx

/-V2.V2,—..-,R1./兀、1

(2)m-n=----sinx-------cosx=m\-\n\cos—=—sin(x-----)=—

223242

题型三：三角函数的图像与性质

1.(2014高考数学江西理科•第17题)已知函数/(x)=sin*+0)+acos(x+2。)，其中。eR,8e(一手自

⑴当a=J5,。=f时，求/(x)在区间[0,4]上的最大值与最小值；

4

TT

(2)若f(~)=0,/(%)=1,求a,6的值.

【答案】(1)最大值为上，最小值为-L⑵八万.

20=—

6

分析：(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式：当"=&,6=£时，

冗兀正正式

f(x)=sin(x+5)+V2cos(x+9=-ysinx+cosx-&sinx=sin(--x),再结合基本三角函数

性质求最值:因为xe[0,幻，从而f—xe[—乎,£],故/(x)在[0,句上的最大值为当，最小值为-L(2)

4442

f(―)=0cos6(1-2Qsin。)=0

两个独立条件求两个未知数，联”.方程组求解即可.ill2W-.八，乂

入、12asin0-sm0-a-1

〔/(乃)=1i

a--\

TTTT

9e(——5—)知cos。w0,解得｛乃.

220-

6

解析:解⑴当aS”却，

/(x)=sin(x+()+亚cos(x+y)=—sinx+cosx-\/2sinx=sin令-x)

因为D]'从而十'七?卓

故/(X)在[0,句上的最大值为自，最小值为-L

a=-l

=0cos6(1-2asin6)=0IT77

⑵山V得，又6©(一7,彳)知cos"0,解得，万.

2asin2。一sin。-Q=122(7=----

/(4)=16

2.(2019•浙江•第18题)设函数/(x)=sinx,xeR.

(I)已知。€[0,2])，函数〃x+，)是偶函数，求。的值;

(II)求函数尸[f{x+^)]2+[/(X+()]2的值域.

【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14

分。

[解析】(I)解法一:因为“X+。)=sin(x+0)是偶函数，所以，对任意实数》都有sin(x+。)=sin(-x+夕)，

即sinxcos6+cosxsin9=-sinxcos，+cosxsin。，故sinxcos6=0,所以cos。=0,又6£[0,24],

因此，。=^TT或6=3=7r.

22

TT37r

解法二：根据诱导公式，sin(x+g=cosx,sin(x+y)=-cosx,因为〃x+e)=sin(x+0)是偶函数，

Ie[0,2句,

所以

7171

(11)蚱匹+凝+小+牙=血气+刍+sin2(x+今l-cos(2x+-)l-cos(2x+-)

124124~22

=1(乎cos2x-gsin2x)=1-*cos(2x+?).因此，函数的值域是[1一日,1+亭].

3.(2018年高考数学上海•第18题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

设常数QER,函数/(x)=asin2x+2cos2x.

(1)若/(x)为偶函数，求。的值；

(2)若=百+1,求方程/(%)=1一&在区间[—匹司上的解.

1151319

【答案】⑴Q=0；(2)X=-—亠兀、—7T.—7T.

24242424

解析：(1)显然定义域为R.

山题意得了(一%)=/(X)，Wasin(-2x)+2cos2(-x)=dfsin2x+2cos2x.

化简得：asin2x=0,对于任意XER成立，则Q=0.

②由条件得asin工+2cos?工=6+1,解得a=G.

24

化简得sin(2x+X1=-g

所以/(x)=sin2x+2cos2x=1-V2,

I6丿2

因为xe「一肛乃],所以2x+二e11万13万

L」66'6

LL.、Icn3%兀5兀7乃1\TT5万13〃19%

所以2XH—=-----，解得x=x=------，x=------，x=-----.

64~4TT~24242424

另解：2呜=2丘子或2呜=2—削旧）.

1\jr、7r

解得x-kjt-----或xk兀-五（keZ）.因为xef-肛句，所以对左赋值.

24

1\jT57r13乃19万

当左=0时，x=-—x=-—；当左=1时,x------，x—------

24242424

4.（2014高考数学重庆理科•第17题）已知函数f（x）=J^si〃（《yx+夕〃口〉0,-、494、丿的图像关于

7T

直线x=e对称，且图像上相邻两个最高点的距离为乃.

3

⑴求0和。的值；

（II）若f（5）=^^（今W，求COS。+gzr）的值.

77

【答案】⑴2,

6

⑵G+而

s-

解析：（I）由题意/（X）最小正周期为了=万，从而2万又/（X）图象关于乃对称，故

X=­

3

jr万，杀」7TTT7T

2----Y(p—k7iH—>kwZ-----<(p<一得k=0,(p=-----

32226

(11)由(I"@/(1)=Gsin(2・1-£)=—。所以sin(a-£)=J,

226464

7t,274冃八,717171.J15

—<a<——得0«a----<—,故cos(za——)=------,

636264

37r7171

于是cos(a+—)=sina=sin[(a——)+一]

266

./71、71,兀、.7T1A/3y/151百+JT^

sm(a—)cos—+costa----)sin—=---------+----------=-------------

666642428

乌xeR.

5.（2014高考数学天津理科•第15题）已知函数/（x）=cosx.sin（x+y）-^cos2x+

4

（1）求/（乃的最小正周期;

（II）求/（x）在闭区间［-工,马上的最大值和最小值.

44

【答案】（1）乃；（11）丄，

42

解析：(I)由已知，有/'(x)=cosx・(；sinx+-^cosx)一百cos2%+V

正

且西X+

4

22

1選

-V3

44一(1+cos2x)+4

1石

-一

44cos2x

1

-兀

2

--3)

所以/(x)的最小正周期为r=种=兀.

(H)因为/(x)在区间［-2,-工］上是减函数,在区间［-二，马上是增函数，而/(-工)=-丄，/(-二)=」,

41212444122

/(£)=丄，所以，函数/(X)在闭区间［-工，白上的最大值为L最小值为

444442

-rr

6.(2014高考数学四川理科•第16题)已知函数/(x)=si〃(3x+；).

(I)求/(x)的单调递增区间；

(II)若a是第二象限角，./'(■^■)=gcos(a+£jcos2a,求cosa-si〃a的值

【答案】解析：(I)因为函数》=5抽》的单调递增区间为［一1+2収■,5+2左幻，kwZ.

,7T___7C7t_..〜.7T2k兀7C2k兀*丁

山---F2kjr<3xH—4—F2k兀,左£Z,得-----1-------«xW-----1-------,kwZ.

24243123

所以，函数/(x)的单调递增区间为—?+%，专+双，左ez

(II)由已知，有sin(a4——)=—cos(a+—)(cos2a-sin2a)，

454

所以sinacos——Fcosasin—=—(cosacos----sinasin—)(cos2<7-sin2a)

44544

42

即sina+cosa=~(cosa-sina)(sina+cosa)

37r

当sina+cosa=0时，由a是第二象限角，知。=—+2左万，kwZ.

4

此时，cosa-sina=-V2.

当sina+cosaw0时，有(85。一5由0)2=?.

由。是第二象限角，知cosa-sina<0,此时cosa-sina=-，^.

综上所述，cosa-sina=一后或一好.

2

7.（2014高考数学福建理科•第16题）（本小题满分13分）

已知函数/(x)=cosx(sinx+cosx)-；.

(1)若0<a<],且sina=-^,求/(a)的值;

（2）求函数/（x）的最小正周期及单调递增区间.

77J?

【答案】解析：解法一：⑴因为0<a柠sina=半，所以cosa=^.

,72V2V211

所以/+注)_2=上，

22222

(II)因为/(x)=sinxcosx+cos2x-；=；sin2x+；cos2x=^y-sin(2x+-^),

2乃

所以周期「=一=%，

2

TTTTTT17TTC

山+2左乃＜2x+—W—+2左肛后GZ，得----+人）＜x＜一+后肛左£Z，

24288

3471

所以/（X）的单调递増区间为［——+%乃,一+左幻,左GZ,

88

乎sin(2x+»

解法二：/（X）sinxcosx+cos2x--=-sin2x+-cos2x=

222

TT冬所以

⑴因为0＜a＜务道后。=

.727171&.3乃1

/（a）=——sin（2x—+—）=——sin—=—.

244242

（II）周期7=2^=），

2

由一2+2左万＜2x+—＜工+2女",女GZ,得一包+女万＜x＜--^k7r,k^Z,

24288

3万TC

所以/（X）的单调递增区间为［——+k兀,一+k冗l,ksZ.

88

8.（2015高考数学重庆理科•第18题）（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）

兀

已知函数/（x）=sinxsinx-V3cos2x

⑴求/（X）的最小正周期和最大值；

（2）讨论/（X）在［三，二］上的单调性.

63

2-J3

【答案】（1）最小正周期为p,最大值为二上

2

⑵/(x)在［工,也］上单调递增：/(x)a［—,—］匕单调递减.

612123

分析：三角函数问题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一次式，即为Zsin(£x+8)+左形

式，然后根据正弦函数的性质求得结论，本题利用诱导公式、倍角公式、两角差的正弦公式可把函数

转化为/(x)=sin(2x—0)-这样根据正弦函数性质可得(1)周期为7=与=万，最大值为

1一年；(2)由已知条件得042x—?W万，而正弦函数在［0,y］和［1,乃］上分别是增函数和减函数,

因此可得/(x)单调区间.

解析：(1)/(X)=sin(工一x］sinx-Gcos2x=cosxsinx--(1+cos2x)

=-sin2x--(l+cos2x)=-sin2x--cos2x--=sin(2x-E)_立,

2222232

2-A/3

因此/(x)的最小正周期为p,最大值为^

772乃7T

(2)当XG［工，丄］时，有0V2x-2«乃，从而

633

当042》一/《时，即色,时，“X)单调递增,

当巴W2x—生《万时，即至时，/(x)单调递减，

23123

综上可知，/(x)在弓，粉上单调递增；/⑴在电，争上单调递减.

9.(2015高考数学天津理科•第15题)(本小题满分13分)已知函数/(x)=sin2x-sin21,xeR

(I)求/*)的最小正周期；

(II)求/(x)在区间卜三亍上的最大值和最小值.

【答案】(1)乃；(IDAxLxn曰,AxKL—1

解析：(I)由已知，有

〃、l-cos2xI3J11V3.1

/(X)=----------------------=——coszoxd-----sin2x—coszox

222122)2

也.、1、1.心吟

------sin2x——cos2x=—sin2x~—\.

442I6丿

所以/(X)的最小正周期T=2=兀♦

(II)因为/(x)在区间［-1-孑上是减函数，在区间［(子上是增函数，

/(—；)=一：，/(—：)=一；，/(：)=乎，所以/(x)在区间上的最大值为《，最小值为

~2,

10.(2015高考数学湖北理科•第17题)(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数

/(x)=/sin(@x+e)(°>0,|夕|苦)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

n371

cox+(p0兀lit

2T

715兀

Xi~6

4sin®x+e)05-50

(I)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数/(x)的解析式；

(II)将N=/(%)图象上所有点向左平行移动0(。>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图

象的一个对称中心为(卷，0),求9的最小值.

【答案】解析：(I)根据表中已知数据，解得4=5,0=2,e=-煮.数据补全如下表:

兀3兀

COX+(p0712兀

2T

71Tt77157113

X71

123n612

Asin®x+q050-50

且函数表达式为/(x)=5sin(2x-—).

6

(H)山(I)知J\x)=5sin(2x-—),得g(x)=5sin(2x+26-^).

66

因为y=sinx的对称中心为(E,0),keZ.

令2x+20-P=E,mx=-+—-e,keZ.

6212

由于函数y=g(x)的图象关于点哈，0)成中心对称，令弓+联一。時，

解得。=如-工，kwZ.由0>0可知，当左=1时，9取得最小值色.

236

11.(2015高考数学福建理科•第19题)已知函数/(x)的图像是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得

至U：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移今

个单位长度.

(I)求函数/(%)的解析式，并求其图像的对称轴方程；

(II)已知关于X的方程/(x)+g(x)=/n在［0,2p)内有两个不同的解a,b.

(1)求实数m的取值范围；

(2)证明：cos(a-b)=--1.

5

【答案】⑴f(x)=2sinx,x=kp+,(k?Z).；(H)⑴(-石,石);(2)详见解析.

解析：解法一：(1)将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到

y=2cosx的图像，再将y=2cosx的图像向右平移E个单位长度后得到y=2cos(x-E)的图像，故

f(x)=2sinx,从而函数f(x)=2sinx图像的对称轴方程为》=例+今(k?Z).

(2)1)Rx)+g(x)=