角平分线 垂直平分线和直角三角形-2023年中考数学一轮复习

考向22角平分线垂直平分线和直角三角形

【考点梳理】

-：角平分线

（1）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等

（2）角平分线推论（或称判定）：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。

二：直角三角形

8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、最短路径为题：

如图1,已知点A、B在直线1的同侧，现在1上求一点C,使CA+CB最小，作法如下：

作点B（或点A）关于1的对称点B「连接AB∣,交1于C,则点C就可使AC+BC最短。

四：垂直平分线

（1）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

【题型探究】

题型一：角平分线的性质

1.（2022・山东济南•校考模拟预测）如图，在ABC中，ZABC,/ACB的平分线交于点O,8，BC于。，如

果AB=25cm,BC=20cm,AC=I5cm,且S=150cπ√,那么0。的长度是()

2.（2022•云南昆明•云大附中校考模拟预测）如图，在AfiC中，ZC=90o,AO平分∕C4B,DEqAB于点E,

若8=3,BD=4,则BE的长为（）

A.5B.√7C.λ∕δD.2

3.（2022•内蒙古鄂尔多斯•统考中考真题）如图，ZAOE=15o,OE平分∕AOB,Z)E交OA于点。，EC±OB,

垂足为C.若EC=2,则QD的长为（)

D.4+2√3

题型二：角平分线的判定

4.（2022・河北•一模）如图，E、尸分别为矩形ABC。边A8、上的两点，BE、。产相交于G点，且BE=FD,NFGB

=19°,贝IJNBGC=（）

E_D

A.71oB.80.5oC.810D.71.50

5.（2022.四川南充.南充市实验中学校考模拟预测）如图，等腰直角AABC中，AC=BC,NACB=90。，D为AC边

上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BO于点E,延长AE交BC的延长线于点F,连接CE,则NBEC

为（）

A.30oB.36oC.450D.60°

6.（2022•贵州贵阳・统考二模）如图，在AABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PZ）LAB,PELAC,垂足分别

为。、E,AQ=PQ,PD=PE,则下列结论：①AE=A。；②/B=NG③/BAP=/CA尸；Φ∆ABP^∆ACP.其

中正确的有（）

A.①②B.①③C.①②④D.①③④

题型三：垂直平分线问题

AΓ

7.（2022.贵州黔西.统考中考真题）在ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于号的长为半径作

弧，两弧相交于点M和M作直线MN交AC于点D,交BC于点E,连接AE.则下列结论不一定正确的是（)

A.AB^AEB.AD=CDC.AE=CED.ZADE=NCDE

8.（2022・山东淄博・统考中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,ZA=120°.分别以点A和C为圆心，以大于TAC

的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BGAC于点。和点E.若CC=3,则8。的长为

A.4B.5C.6D.7

9.（2022•吉林长春•校考模拟预测）如图所示,AB=AQ,NABC=NAQC=9（Γ,则①AC平分/BA。；②C4平分NBCz）；

③AC垂直平分8。；④8。平分NABC,其中正确的结论有（）

B

D

A.①②B.①②@C.①②③④D.②③

题型四：直角三角形两角互余问题

10.（2022・吉林长春•统考中考真题）如图，在，ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）

A

GC

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C.ZDBF+NDFB=90。D.ZBAF=ZEBC

U.（2022•陕西西安•校联考二模）如图,点。是AC的垂直平分线与8。边的交点，作。EIAB于点若

NEAC=68。，ZC=36°,则-4。石的度数为（）

A

，

BDc

A.560B.580C.60°D.62°

12.（2022•海南省直辖县级单位•统考二模）如图，AB是。的直径,,点E,C在。上，点A是EC的中点，过点

A画。的切线，交BC的延长线于点。，连接EC.若NADB=58。，则NACE的度数为（）

A.29oB.31oC.58°D.32°

题型五：含30°的直角三角形问题

13.（2022•四川绵阳・东辰国际学校校考模拟预测）如图，在一ABC中，ZB=45o,ZC=75o,AB=4,D为BC选

上一个动点，过点。作DE上AC于点E,Z）FLAB于点F,连接EF,则EF的最小值为（）

C

E

A.B.2C.ʌ/ʒD.∙^6

14.（2022・浙江宁波・校考三模）两个直角三角板如图摆放,其中/朋。=/£2）尸=90°,々=45。，ZC=30o,BC//EF

且E尸过点A,点。为BC中点，已知BC=20,则EF的长为（）

A.15B.10√3C.5√WD.1O√2

15.（2022.广东广州•广州市第一中学校考模拟预测）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=2,NCBA=30。，点

。到线段AB上运动，点E与点。关于AC对称，DFLDE,OF交EC的延长线于点凡当点。从点A运动到点8

时，线段EF扫过的面积是（）

C.√3D.2√3

题型六：直角三角形斜边上中线问题

16.（2022.宁夏银川.校考一模）如图，在.ABCD,AB=5,BC=8.E是边BC的中点，尸是.ABa）内一点,

且NBFC=90。.连接AF并延长，交CD于点G.若,则DG的长为（）

A.-B.-C.3D.2

22

17.（2022.浙江宁波.统考中考真题）如图，在RtABC中，。为斜边AC的中点，E为BD上一点,尸为CE中点.若

AE=AD,DF=2,则8。的长为（）

A.2√2B.3C.2√3D.4

18.（2022•广西河池•统考三模）如图，在JUSC中，NABC=90。，AB=4,8C=6,。为AC边上的一个动点，连

接B。，E为8。上的一个动点，连接AE,CE,当NAeE）=NBcE时，线段AE的最小值是（）

A.ɪB.IC.2D.2

22

题型七：直角.角平分和垂直平分综合问题

19.（2022.江苏连云港.校考三模）已知：如图，AO是AeC的角平分线，DEVAB,DFLAC,垂足分别为E、F.

BC

D

(1)求证：AD垂直平分EF；

(2)若所=12,AE=IO,求四边形AEA尸的面积.

20.(2022•浙江温州・温州市第三中学校考模拟预测)如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以BC为边向

外构造等边VAZ)E和等边ABCF,连接8E,DF,BD.

(1)求证：四边形BEDE是平行四边形.

(2)若AD与BE交于点G,且4)=Bf>,NDFB=45。,BG=6，求一BDG的面积.

21.(2022•四川南充•南充市实验中学校考模拟预测)如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方

形ABCC和正方形CEFG,连接4尸，取4尸的中点M,连接。M、MG.

(1)如图1,判断线段DM和例G的数量关系是,位置关系是.

(2)如图2,在图中的正方形CEPG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？说明理由;

(3)已知3C=10,CE=2,正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、尺E共线时，直接写出OMG的面积.

【必刷基础】

一、单选题

22.(2022•江苏苏州•模拟预测)如图，已知。尸平分∕AOB,NAO8=30°,PC/∕OA,PDYOA,若PD=4,则PC

为()

A.6B.7C.8D.5

23.（2022•吉林长春•校考模拟预测）如图，在二ABC中，ZC=90o,ZB=30°,以A为圆心，任意长为半径画弧分

别交AB,AC于点M和M再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P,连接”并延长

交BC于点O,则下列说法中错误的是（）

A.点。在A8的中垂线上

B.AD=ICD

C.点。到/C4B两边的距离相等

D.AB=4βCD

24.（2022•山东荷泽・荷泽一中校考模拟预测）如图，在ABC中，ZC=90°,8。平分NABC交AC于D,DE是AB

的垂直平分线，若AP=3,则AC等于（）

A.4B.4.5

25.（2023秋・湖南张家界•九年级统考期末）如图，在中，ZA=36。，AB=AC,AB的垂直平分线OO交AB于

点0,交AC于点。，连接50,下列结论错误的是（）

A.ZC=2ZAB.8。平分NABC

D.AD2ACCD

26.（2022•山东济南•模拟预测）如图，在.ABC中，ZC=90o,ZB=30°,以A为圆心，任意长为半径画弧分别交

AB,AC于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连结AP并延长交BC于

点。，则下列说法中不正确的是（）

B.ZADC=GOo

C.点。在AB的中垂线上D∙SWAC：SAABD=1：3

27.（2022•河北沧州・统考二模）如图，在菱形ABC。中，AB=Bo=10,点/为A。的中点，FE工BD于E,则E/

A.2百B.—c∙¥D.5拒

28.（2022•四川南充.模拟预测）如图，在RtZXABC中，N8AC=90。，AB=AC,直角/EPF的顶点P是BC的中

点，将NEPF绕顶点P旋转，两边PE,P尸分别交AB,AC于点E,F.下列四个结论：®AE=CF-,②！PEF是

等腰直角三角形；（S）EF=AP;④如边形AE"=gSAABC.在NEPF旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①®@

29.（2022.贵州铜仁.模拟预测）如图1,某温室屋顶结构外框为ABC,立柱AD垂直平分横梁BC,ZB=30°,斜

梁AC=4m,为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为，E8C（点E在BA的延长线上），

立柱打'/BC,如图2所示，若EF=3m,则斜梁增加部分AE的长为（）

A.0.5mB.ImC.l.5mD.2m

30.（2022•北京海淀•中关村中学校考模拟预测）如图，在A8C中，BD平分NABC,BO的垂直平分线分别交43,

BD,BC于点、E,F,G,连接OE,DG.

（1）求证：四边形BGQE是菱形；

⑵若NABC=30。，ZC=45o,ED=6,求CG的长.

31.（2022•四川德阳•德阳五中校考三模）如图，在四边形ABC。中，AD=CD,3。AC于点O,点E是。B延长

线上一点，OE=OD,BFLAE于点F.

（1）求证：四边形AEC。是菱形;

(2)若A3平分∕E4C,OB=3,BE=5,求SABD

32.（2022.山东济南.济南育英中学校考模拟预测）如图1,在AABC中，NBAC的平分线AO与N8C4的平分线CE

交于点O.

B

B

（2）当NABC=90。时，且AO=30。（如图2）,判断线段AECD,AC之间的数量关系，并加以证明.

【必刷培优】

一、单选题

33.（2022∙浙江台州•统考中考真题）如图，点。在CABC的边BC上，点P在射线AA上（不与点A,。重合），连

接依，PC.下列命题中，假命题是（）

A.AB=AC,ADlBC,贝IJPB=PCB.若PB=PC,ADlBC,则AB=AC

C.若Aβ=AC,N1=N2,则PB=PCD.若PB=PC,N1=N2,则AB=AC

34.（2023・河北・九年级专题练习）如图，在ABC中，AB=AC,以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A3,

AC于点〃，N,再分别以点/，N为圆心，大于g"N长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP,交BC于点

连接P8,PC.给出下列说法：①PB=PC；②A。垂直平分8C；③BC平分NABP；®PB=AB.其中正确的

有（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

35.（2022•云南昆明•昆明八中校考模拟预测）如图，AP是ΛBC的角平分线，MN垂直平分AP,且交”于点Q,

判断以下结论错误的是（）

A.MP//ACB.AM=ANC.%是NMPN的平分线D.四边形AMPN是矩形

36.（2022秋•重庆丰都•九年级校考期中）如图，正方形ABCO的边长为6,点E,尸分别在。C,BC上，BF=CE=4,

连接AE、DF,AE与。尸相交于点G,连接AF,取AF的中点H,连接用，则用的长为（)

C.5D.2√13

37.（2022•河北石家庄•校考模拟预测）如图，正方形A8C8∣中，AB=LAS与直线/的夹角为30。，延长Cq交直线

/于点A，作正方形AAGB2,延长CBz交直线/于点A2,作正方形&层C/“延长GB,交直线/于点A,作正方形

A3B3C3B4J...,依此规律,则40164017=()

B、

A.2x3HmB.3×310csC.2×3I0°9D.2×3'∞7

二、填空题

38.（2022・广东东莞•东莞市光明中学校考一模）如图，在RtABC中.ZC=90o,80平分/ABC交AC于。，将

VAE>E沿OE所在直线折叠，使点4恰好与点B重合，若CE>=3,则AB的值为

39.（2022•湖南郴州•统考中考真题）如图.在JlBC中，NC=90。，AC=BC.以点A为圆心，以任意长为半径作

弧交AB,AC于。，E两点;分别以点。，E为圆心，以大于;。E长为半径作弧，在NBAC内两弧相交于点P；作

射线AP交BC于点F,过点F作FGIAB,垂足用G.若A8=8cm,则，BFG的周长等于cm.

40.（2022•湖南永州•统考二模）如图，已知Nfi4C=60。，AO是角平分线且AD=20,作AO的垂直平分线交AC于

点F,作。ElAC,则。£尸的周长为.

41.（2022•宁夏银川・银川九中校考二模）如图，已知.√1BC∙以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M,

交AB于点、N.分别以M,N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在/3AC的内部相交于点P.作射线AP

交BC于点、D.分别以A,。为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G,H两点.作直线G”，交AC,

AB分别于点E,F.根据以上作图，若AF=2,CE=3,BD=三,则CD的长是.

42.（2022•山东青岛•山东省青岛第二十六中学校考二模）如图所示，在扇形OAB中，ZAO8=90。，半径Q4=8.点

尸位于AB的;处、且靠近点A的位置，点C、。分别在线段04、OBk,CD=S.E为CO的中点.连接£尸、BE.在

C。滑动过程中（C。长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为.

F

43.（2022・湖北省直辖县级单位•校考一模）在直角坐标系中，直线/：y=@x-3与X轴交于点可，以。用为边长

33

作等边4A08∣,过点A作AB?平行于X轴，交直线/于点与，以4约为边长作等边AA2ABz,过点A,作A约平行于

X轴，交直线/于点纭，以AB1为边长作等边Z∖A4d,…，则等边A2022A2023B2023的边长是.

44.（2022.河南郑州.河南省实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，4,4，,和用,生，鸟,分

别在直线y=1x+6和X轴上，OAiBl,BlA2B2,tB2A3B3,都是等腰直角三角形，如果点A。/），那么点A?。??的纵坐

标是.

三、解答题

45.（2022秋•广东梅州•九年级校考开学考试）在ABC中，？890?,。为BC延长线上一点，点E为线段AC,CD

的垂直平分线的交点，连接E4,EC,ED.

（1）如图1,当N84C=40。时,则ZAED=°；

⑵当Zfi4C=60。时，

①如图2,连接A。，判断AAEO的形状，并证明；

②如图3,直线Cr与EZ）交于点F,满足NCEO=Ne4E.P为直线CF上一动点.当PE-PD的值最大时，用等

式表示尸£,PO与AB之间的数量关系为,并证明.

46.（2022・江苏淮安♦统考模拟预测）如图，RtZ∖ABC中，NACB=90。，。为AB中点，点E在直线BC上（点E不

与点、B,C重合），连接OE,过点£＞作DFLOE交直线AC于点F,连接EF.

(2)如图2,当点F不与点A重合时，请写出线段AF,EF,BE之间的数量关系，并说明理由;

(3)若4C=5,BC=3,EC=I,请直接写出线段"■的长.

47.(2023∙福建福州•统考一模)在」ABC中，BC=S,两条高A£),BE交于点、H,尸是CH的中点，连接AF并延长

交边8C于点G.

图I图2

(1)如图1,若，ABC是等边三角形.

①求证：AH=2DH；

②求CG的长.

(2)如图2,若AH=DH,CG=BD,求ΛBC的面积.

48∙(2023∙湖北省直辖县级单位•校考一模)【基础巩固】

(1)如图1,在49C中，D,E,B分别为A3,AC,BC上的点，DE//BC,BF=CF,AF交OE于点G,求

证：DG=EG.

【尝试应用】

DE

(2)如图2,在(1)的条件下，连接CO,CG.若CG上DE,CD=10,AE=6,求行的值.

BC

【拓展提高】

(3)如图3,在YABC。中，ZADC=45°,AC与8。交于点O,E为AO上一点，EG〃BD交AD千点、G,EFLEG

交BC于点F.若NEG尸=40。，FG平分NEFC,FG=S,求防的长.

图1图2图3

参考答案:

I.D

【分析】作OEiAC交于点E,作O尸，AS交于点F,连接Q4,证明QD=QE=。尸，再利

用SAABC=S^BOC+SAAOB+SAAOC=150c∣^Π^即可求出OD的长度•

【详解】解：作OE上AC交于点E,作OBJ交于点F,连接04,

=OC平分，AC3,OB平分/ABC,

/.OD=OE=OF,

.11I,

∙∙∙SAABC=SQBOC+SAAOB+SNzoC=ɪ50c∏√,即5∙OD•20+/∙OF•25+/∙OE•15=150Cm-,

OD=5cm.

故选：D

【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，证明

OD=OE=OF.

2.B

【分析】由角平分线的性质可得。E=CD,在利用勾股定理即可求解.

【详解】解：。平分∕C45,ZC=90o,DEJ.ABTEE,

：.DE=CD=?),ZDEB=90o,

在Rt△DEB中,NDEB=9。°,DE=3,BD=4,

；•BE=y∣BD1-DE2=√42-32=√7，

故选：B.

【点睛】本题考查了角平分线的性质及勾股定理的应用，熟练掌握角平分线上的点到两边的

距离相等及勾股定理是解题的关键.

3.C

【分析】过点E作EHLO4于点”，根据角平分线的性质可得EH=EC,再根据平行线的性

质可得/AOE的度数，再根据含30。角的直角三角形的性质可得Z)E的长度，再证明0。=

DE,即可求出。。的长.

【详解】解：过点E作EHLoA于点H,如图所示：

A

∙.∙OE平分NAO3,ECLOB,

：.EH=EC,

YNAOE=I5。，OE平分NAo3,

βo

..ZAOC=2ZAOE=30f

•：DE〃OB,

：.NADE=30。,

：.DE=2HE=2EC,

VEC=2,

ΛDE=4,

VZADE=30o,NAoE=I5。，

ΛZDEO=15o,

.∙.ZAOE=ZDEO,

：.OQ=Z)E=4,

故选：C.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30。角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟

练掌握这些性质是解题的关键.

4.B

【分析】过点C作CHLBE于点H,CQLO产于点Q,根据SACD尸=TS矩形ABCO,SΔBCE

=gS短仅43CD可得S-COb=然后证明点C在NBGQ的平分线上，进而可以解

决问题.

【详解】解：如图，过点C作C”_LBE于点从CQLD尸于点。，

∙*SACDF=ɪS矩形ABCD,SABCE=ɪS矩形ABCD,

.∖SΔCDF=SΔBCE9

11

.∙.-×DF∙CQ=3xBE∙CH,

•；BE=FD,

：•CQ=CH,

・：CHI.BE,CQLDF,

・・・点C在N8G。的平分线上，

：.ABGC=ADGC.

VZFGB=19°,

ΛZBGC=ɪ(180o-19°)=80.5°.

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，角平分线的性质，解决本题的关键是得到

ZBGC=ZDGC.

5.C

【分析】如图所示,过点C作C"，AF于“,CGLBE于G,证明△A”CgZ∖8CG得到C"=CG,

即可证明CE平分NBEE即可得到NBEC=；NBM=45°.

【详解】解：如图所示，过点。作CHLA/于"，CGLBE于G,

：.NAHC=NBGC=90。,

VZACB=90o,AFlBE,

：.NAEB=/BCD=NBEF=90。,

又YZADE=ZBDCf

：∙/CAH=/CBG,

又・・,AC=BC,

.β.∕∖AHC^ΛBCG(AAS),

ICH=CG,

TCHLEF,CGLBE,

；.CE平分NBEF,

：.NBEC=LNBEF=45。.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确

作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键.

6.B

【分析】由叨PElAC,PD=PE,得出AP是/BAC的角平分线，则

NBAP=NCAP；由HZ.证得RfZXAPD式MZ∖APE,得出AE=Ar＞；由P是BC上的点，并

没有说是中点，所以无法得出∕B=∕C,在AABP和MCP中，缺少全等条件，即可得出故

②、④不正确.

【详解】解：PDA.AB,PElAC,PD=PE,

:.AP是NBAC的角平分线，

,-.ZBAP=ZCAP,故③正确；

[PD=PE

在∕⅛APD和∕⅛APE中，',

IAP—AP

Rt∕∖APD^Rt∕∖APE(HL),

.-.AE=AD,故①正确；

由尸是BC上的点，并没有说是中点，所以无法得出NB=NC,

在AABP和AACP中，缺少全等条件，故②、④不正确；

故选B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质等知识；熟练

掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

7.A

【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可.

【详解】由作图可知，MN垂直平分线段AC,

ΛAD=DC,EA=EC,ZADE=NCDE=90°,

故选项B,C,D正确，

故选：A.

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.

8.C

【分析】连接由作图知:QE是线段AC的垂直平分线,得到AD=CD=3,/D4C=/C=30。,

求得/孙。=90。，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：连接4。，

由作图知：OE是线段4C的垂直平分线，

：.AD=CD=?),

：.ZDAC=ZC,

"：AB=AC,ZA=120°,

.∙.∕B=∕C=30°,则∕ZMC=∕C=30°,

.,.ZBAD=ɪ20o-ZDAC=90o,

：.BD=2AD=6,

故选：C.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了

线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质.

9.B

【分析】本题的关键是证明Rt∆AfiC^Rt∆ΛDC,易求解.

【详解】解：在RtZiABC和RtAAQC中，AB=AD,AC=AC,所以RtZkABC丝RtZiAQC(HL).

所以NACB=NAC£>,ZBAC=ZDAC,即AC平分/BA。，CA平分/8CD

故①②正确；

在AABD中，A8=AO,NBAO=NDAO,

所以Bo=OO,AOLBD,即AC垂直平分BD

故③正确；

不能推出NABO=NCB0,故④不正确.

故选：B.

【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等几何知识.线

段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.难度一般.

10.B

【分析】根据尺规作图痕迹，可得。尸垂直平分A8,BE是/A8C的角平分线，根据垂直平

分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可.

【详解】根据尺规作图痕迹，可得。尸垂直平分48,BE是NABC的角平分线，

.∙.AF=BF,ZBDF=90o,ZABF=ZCBE,

.∙.ZABF=ZBAFJZDBF+ZDFB=90°,

.∙./BAF=NEBC,

综上，正确的是A、C、D选项，

故选：B.

【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义,

直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

11.B

【分析】首先根据线段垂直平分线性质定理可得Ao=Z)C,其次根据等边对等角可得

NzMC=36。，再根据角的差可得440=32。。进而利用互余进行计算即可.

【详解】,・•点。是AC的垂直平分线与BC边的交点，

：•AD=DC,

,.∙NC=36。，

：.ZDAC=ZC=36°,

'：NJSAC=68。,

：•ZBAD=ZBAC-ZDAC=32°,

,.βDE上AB,

：.ZAED=90°,

o

：.ZADE+ZBAD=90f

：.ZADE=90°-ZBAD=58°,

故选：B.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与

判定，根据角的差可得N⅛M>=32。是解本题的关键.

12.D

【分析】根据切线的性质得到BALAZ),根据直角三角形的性质求出Na根据圆周角定理

得到NAC3=90。，进而求出NjBAC根据垂径定理得到AALEC进而得出答案.

【详解】解：・・・4。是。。的切线，

.∖BA±AD,

∙.∙NAoB=58。，

ZB=90o-ZADB=32o,

〈AB是。。的直径，

NACB=90。,

・・・ZBAC=90o-ZB=58o,

Y点A是EC的中点，

：.BALECt

：.ZACE=90o-ZBAC=32o,

故选：D.

【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点

的半径是解题的关键.

13.D

【分析】连接AO,取4。的中点。，连接OE,OF,可得。F=OE=OA=从而得

/OEF=NOFE=30。,EF=2×^-OE=^-AD,再求出AD的最小值，进而即可求解.

22

【详解】解：连接A。，取AO的中点0,连接0£,OF,

•.二A8C中，∕B=45°,ZC=75°,

/./BAC=60。，

VDElAC,DFlAB,

：.OE,OF分别是RLAL>E,Rt一斜边上的中线，

OF=OE=OA=-AD,

2

：.ZEOF=2∕E4O+2ZFA0=2ZBAC=120°,

9

JOE=OF9

：・NOEF=NOFE=3。。,

ʌEF=2×-0E=-AD,即当AO最小时，"的值最小，

22

Y当时，Ao最小，此时，445D是等腰直角三角形，AD=显AB=2枝,

2

JfFSΦ<=-×2√2=√6,

2

故选D∙

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,

添加合适的辅助线，构造顶角为120。的等腰三角形，是解题的关键.

14.B

【分析】过点A作过点Z)作Z)G_LEF,证明四边形AHz)G为矩形，可得

AH=GD=5日然后利用直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：过点A作A"L8C,过点。作OGLEF,如图所示

.∙.ΛAHB=ADGF=9G°

BC//EF

四边形A//。G为矩形

即AH=GD

,ZC=30°,Zβ4C=90o,点。为BC中点

AD=BD=—BC,Zβ=60o

2

即AABD为等边三角形

BC=20

.-.AB=AD=BD=IO

在直角二AB〃中，AH=ABsin60。

.∙.AH=GD=56

NE=45。，ZEDF=90°

:.NEFD=45°

AFDG=ADGF-ZEFD=90°-45°=45°

尸GO为等腰直角三角形

：.GD=GF=GE=5>β

即EF=GF+GE=10石

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与

性质，直角三角形的性质，灵活运用所学的知识是解本题的关键.

15.C

【分析】由题意画出图形，可知E尸扫过的图形就是图中的阴影部分，线段E尸扫过的面积

是.ASC面积的2倍，继而求出答案.

【详解】如图，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是一ABC面积的2

倍，

，ZACB=90°,

VAB=2,NaM=30°,

ΛAC=I,BC=E,

∙,∙SMBC=gAC∙BC=；xlx6=当,

；•线段EF扫过的面积是2SABC=#,

故选：C.

【点睛】此题考查了圆周角定理以及含30。角的直角三角形的性质，解题关键是掌握数形结

合思想的应用.

16.D

【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到E尸的长，再得到CG的长，进而得

出。G的长.

【详解】解：E是边8C的中点，且NBR7=90。，

RtBCF中，EF=LBC=4,

2

EFHAB,AB/∕CG,E是边BC的中点，

.∙.产是AG的中点,

可得W=g(A8+CG),

.-.CG=IEF-AB=3,

又∙.CD=AB=5,

.∙.DG=5-3=2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、

直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键.

17.D

【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE=AO,可以得到Ao的长，然后

根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长.

【详解】解：为斜边AC的中点，尸为CE中点，DF=I,

：.AE=2D4,

"."AE=AD,

ΛAD=4,

在放AABC中，。为斜边AC的中点，

BO=；AC=Az)=4,

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关

键是求出AO的长.

18.C

【分析】取BC的中点T,连接A7、ET,先证明NCEB=90。，求出AT、ET,根据AE≥AT-ET

求解即可.

C

【详解】a

取BC的中点T,连接AT、ET,

ZABC=90。，

.∙.ZABD+NCBD=90。,

ZABD=ZBCE,

:.ZBCE+NCBD=90。,

：.NCEB=90。,

BC=6,

:.Cr=TB=3=ET,

:.AT=y∣AB-+BT-=5，

AE≥AT-ET,

.∖AE≥2,

••・线段AE的最小值是2,

故选：C.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点并准确作出

辅助线是解题的关键.

19.(1)见解析

(2)四边形AEDF的面积为75

【分析】(1)先根据角平分线的性质得到Z)E=DF,则证明RtZ∖OE4gRtZ∖r>E4(HL)得到

AE=AF,然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论；

(2)利用勾股定理求得AG=8,证明4GAESZɅE4D,利用相似三角形的性质求得

25

ΛD=^-f根据面积公式计算即可.

【详解】(1)证明：YA。是ABC的角平分线，

：•ZBAD=ZCADf

VDElAB,DFlACf

o

：.ZDEA=ZDFA=901

：・DE=DF,

fDA=DA

在RtVDE4和Rt∕∖DFA中，，、广，

[DE=Dr

：.RtADEA^RtADM(HL),

.*.AE=AF,

•：DE=DF,

.*.AD垂直平分EF；

(2)解：：AO垂直平分政，EF=IZAE=IO,

・•・AG=NAE?-EG=8,

・・•ZAGE=ZAfD=90。，ZGAE=ZEAD,

.*.AGAEs^EAD,

.AEAG10_8

..布=瓦’0即π茄=历’

.∙.AD=-,

2

I]25

ʌSmEDF=-EF-AD=-xl2x-=15.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及角平分线的性

质和线段垂直平分线的判断，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答.

20.⑴见解析

NL√1

2

【分析】(1)根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得DE=BANEZ汨=的尸即

DE//BF,进而利用平行四边形的判定即可得证；

(2)先求得NDBF=NEDB=90。,进而求得NADB=ZDBC=30。，ZDEB=NDBE=45。,

过G作GHLBD于"，利用等腰直角三角形的性质和含30。角的直角三角形的性质求得

BH、GH、DH,进而求得BO即可得所求面积.

【详解】(1)证明：：四边形ABC。是平行四边形，

ΛAD=BC,AD//BC

：.ZADB=NDBC,

'：等边VAOE和等边ABCF,

DE=AD,BC=BF,NEzM=/CBF=60°,

/•DE=BF,ZEDB=NDBF

：.DE//BF,

.∙.四边形BEN组是平行四边形；

(2)解：VAD=BD,AD=DE=BF,

：.DE=BD=BF,又NDFB=45°,

/.NDBF=180。-2NDFB=90°=NEDB,

二ZDBC=NDBF-ZCBF=30o,ZDEB=NDBE=45°,

ZADB=/DBC=30°,

过G作G"_LBD于H,

在RfGHB中，BG=√2，NHBG=45°,BG2=GH2+HB2,

：.GH=BH=显BG=I,

2

RtGHD^,ZGDH=30°,GH=\,

二DG=IGH=2,

∙*∙DH=y∣DG1-GH-=y∣3GH=>∣3，

."∙BD=BH+DH=∖+>∣3,

.∙.BoG的面积为!BO∙G"=1X(1+G)XI=I

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、

含30。角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌

握相关的知识的联系与运用，证得4>M=90。是解答的关键.

21.Q)DM=MG,DMlMG

(2)结论成立：DM=MG,DMlMG

⑶满足条件的，OMG的面积为20或34.

［分析］(1)延长GM交Ao于H,证明ZXfMG且Z∖AΛff∕(ASA),得到HM=GM,根据

直角三角形的性质得到DM=MG,等量代换得到答案；

(2)如图2中，延长GM使得M4=GM,连接AH、DH、DG,延长A。交G尸的延长线

于M交CD于0.利用全等三角形的性质，想办法证明aHDG是等腰直角三角形即可；

(3)分两种情形根据题意画出完整的图形，利用勾股定理解决问题即可.

【详解】(1)解：如图1,延长GM交4。于H,

,/AD//GF,

：.NGFM=NHAM,

,NGFM=NHAN

在&FMG和中，,FM=AM

ZFMG=ZAMH

AFMG当&AMH(ASA),

ΛHM=GM,AH=FGf

・；AD=CD,AH=FG=CG,

：,DH=DGf

・；NHDG=90。,HM=GM,

ΛDM=MG9DMLMG,

故答案为：DM=MG,DMIMG；

(2)解：结论成立：DM=MG,DMLMG,

理由：如图2中，延长GM使得Affi=GM,连接AH、DH.DG,延长A。交G尸的延长线

于M交C。于0.

H

A、

图2

VAM=MFfAAMH=∕FMG,MH=MG,

：.AΛW∕^ΔFMG(S