正弦2023-2024学年九年级《数学》下册同步课堂（人教版）

正弦1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变).(重点)2.能根据正弦概念正确进行计算.(重点、难点)1.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1cm，根据“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的_____”，得到AB=____cm，然后根据勾股定理，得AC=____cm.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，BC=1cm，则AC=____cm，AB=____cm.一半2

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问题:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即

可得AB=2BC=70(m).也就是说，需要准备70m长的水管.

在前面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比

.由此你能得出什么结论？

一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？1.比值与点B在角边上的位置无关；2.比值随着∠A的变化而变化；3.对于每一个确定的∠A，比值都是一个确定的值.任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么与有什么关系？你能解释一下吗？∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′∴

，即这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即(1)sinA不是一个角;(2)sinA不是sin与A的乘积;(3)sinA是一个比值;(4)sinA没有单位.

∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化.例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

因此sinA=，sinB=.例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.解：如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

因此sinA=，sinB=.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

因此sinA=，sinB=.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.解：如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

因此sinA=，sinB=.例2.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：过点P作PA⊥x轴，P(3，4)，∴A(3，0)A(0，3)在△APO中，由勾股定理得因此α【点睛】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.

D例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.ABC【分析】已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出BC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.解：∵∴∴

AB=3BC=3×3=9.∴∴∴在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).

A1.在Rt△ABC中，∠C=90°,若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值()A.扩大为原来的5倍B.缩小为原来的吉C.扩大为原来的10倍D.不变D

C

A

C

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做