2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章 常用逻辑用语 (二)

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.2常用逻辑用语

【考试要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质

定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对

两种命题进行否定.

■落实主干知识

佚口识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件paq且q分p

p是q的必要不充分条件p»q且q0P

p是q的充要条件p0q

p是q的既不充分也不必要条件p#q且q由p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“上”表

水.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“m”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对〃中任意一个X,p(R)成立存在Af中的元素x,p(x)成立

简记Vx£",一（X）

否定㈱p(x)yXGM,a)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设4={x%)},B={x|g(x)}.

(1)若p是q的充分条件，则/±8;

(2)若p是q的充分不必要条件，则/休8；

(3)若p是q的必要不充分条件，则8休小

(4)若p是q的充要条件，则/=8

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题。与p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)。是4的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.(V)

(2)“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.(V)

(3)已知集合Z,B,的充要条件是/=B.(J)

(4)命题"sin2^+cos2^=^w是真命题.(X)

【教材改编题】

1.命题“VxGR,的否定是()

A.3xGR,ev_1B.VxGR,ev_

C.2X6R,ev—l<xD.VxGR,ev—

答案C

解析由题意得命题“VxeR,e'—1的否定是"mxCR,e，—.

2.(多选)下列命题中为真命题的是()

A.VxGR,x2>0B.VxGR,—IWsinxWl

C.SxGR,2x<0D.R>tanx==2

答案BD

解析当x=0时，x2=o,所以A选项错误；

当xCR时，一iWsinxWl,所以B选项正确；

因为2，>0,所以C选项错误；

因为函数y=tanx6R,所以D选项正确.

3.若“x>3”是的必要不充分条件，则"，的取值范围是

答案(3,+8)

解析因为“x>3”是ux>m"的必要不充分条件，

所以(7H,+8)是(3,+8)的真子集，

由图可知m>3.

-.

3血x

■探究核心题型

题型一充分、必要条件的判定

例1(1)(2023•淮北模拟)“公>力>0”是“4>1”的()

b

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由心6>0,得少1,反之不成立，

b

如。=—2,b=-1,满足：>1,但是不满足

b

故“心6>0”是牛1”的充分不必要条件.

b

(2)(2021•全国甲卷)等比数列｛〃“｝的公比为q,前〃项和为S”.设甲：q>0,乙：｛S,,｝是递增数列,

则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当切<0,q>l时，a尸aiq"上。,此时数列｛S,｝单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当

数列｛SJ单调递增时，有S,+i—S,=a“+i=aq">0,若ai>0,则/>0(”GN)即g>0；若©<0,

则q"<0(〃WN*),不存在.所以甲是乙的必要条件.

思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p=q,g=>p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围

的推断问题.

跟踪训练1(1)(2022•长春模拟)““力=同时'是"a与b共线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为a力=|ag|cos<«,b)=|a||Z»|,

所以cos<a,b)—1,

因为〈a,b)G[0,7t],

所以〈a,h)=0,

所以“与力共线，

当.与6共线时，〈a,b)=0或〈a,h)=7t,

所以“力=|。曲cos{a,b)=同血或“力=|a||b|cos〈a,b)=一同回，

所以“。力=|a||b|"是““与6共线”的充分不必要条件.

(2)(多选)已知某函数/(X)=(4〃?-1)档,则下列选项中,能使得八。)》(6)成立的一个充分不必要

条件是()

A.0<L』B.a2>b2

ab

C.Ina>lnbD.2a>2h

答案AC

解析由题设知4〃?一l=l,可得加=；,故/(x)=4，

所以,要使人。)次6),则柩，即。>620.

0<i<-o^>Z»0,A符合题意；

ab

Ina>lnb^a>b>0,C符合题意；

B,D选项中a,b均有可能为负数，B,D不符合题意.

题型二充分、必要条件的应用

例2在①ZUB=8；②"xe/”是“xCB”的充分条件；③"xCCRA"是"xGCR8”的

必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合N={x|aWxWa+2},B—{x|(x+1)(%—3)<0}.

(1)当“=2时，，求4n8；

(2)若,求实数。的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)由(x+l)(x-3)<0,

解得一l<r<3,

所以B={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-l<x<3},

当a=2时，N={x|2WxW4},

所以/A8={x[2Wx<3}.

(2)若选①/U8=8,则/U8,所以解得一即”G(—1,1);

a+2V3,

a>-1,

若选②“Xd/”是“xG8”的充分条件，则ZU8,所以■解得一1VS1,

a+2V3,

即〃£(—1,1)；

d>-1,

若选③"xWCRA"是"xGCRB"的必要条件，则4所以，解得一1<°<1,

U+2<3,

即«G(-1,1).

思维升华求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出

关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2(2023•宜昌模拟)已知集合4={x|-2vxW3},{x\x2-2mx+m2-\<0].

(1)若m=2,求集合NAB；

(2)已知p：x^A,q：xGB,是否存在实数w,使p是g的必要不充分条件，若存在实数机,

求出，〃的取值范围；若不存在，请说明理由.

解⑴由m—2及炉一2ZMX+/«2—]<0,

得——4x+3<0,解得l<x<3,

所以5={x[l<x<3},

又Z={x|-2<xW3},

所以/08={川14<3}.

(2)由X2—2机x+机2—1<0,

得[x-(加一(〃]+1)]<0,

所以"?一\<x<m+1,

所以8={x\m—1<x<m+1}.

由p是q的必要不充分条件，

得集合8是集合力的真子集，

所以，1'=>-lW,〃W2（两端等号不会同时取得），

L+1W3

所以，”的取值范围为[一1,2].

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词命题的否定

例3（2022•漳州模拟）命题“VaWR,x2-ax+l=0有实数解''的否定是（）

A.Vd-eR,x2-4x+l=0无实数解

B.3<76R,x2—ax+l=0无实数解

C.VaeR,》2—办+1#0有实数解

D.3aGR,/一依+iro有实数解

答案B

解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以“V“GR,N—ax+l=0有实数解”的否定是“madR,/—依+1=0无实数解”.

命题点2含量词命题真假的判断

例4（多选）（2023•沈阳模拟）下列命题中为真命题的是（）

A.3x6R,—1

2X

B.对于VxWR,“GN*且心1,都有正=x

C.VxGR,ln（x-l）2>0

D.3x^R,Inx^x—1

答案AD

解析当工20时，0<—1,故A项是真命题；

2X

当〃为偶数，且xvO时，汨』—x,故B项是假命题；

当工=1时，InG-无意义，故C项是假命题；

当x=l时，lnx2x-l,故D项是真命题.

命题点3含量词命题的应用

_KTt

例5若“三工£_3,3_,sinxv加”是假命题，则实数加的最大值为（）

答案D

_7tn

解析因为«3xsL3'Lsinxvm”是假命题,

_nn

所以31mWsinx”是真命题,

_nn

即机Wsinx对于VxC_3’3_恒成立，所以》tW(sinx)min.

_7tn

因为y=sinx在-3,3.上单调递增，

所以x=一三时，y=sinx最小，其最小值为y=sin[3)=-sin匹=—重，

332

所以"?w一歪，所以实数加的最大值为一毡■.

22

思维升华含量词命题的解题策喀

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立：要判定存在量词命题是真命题，只要找到一

个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求

参数的范围.

跟踪训练3(1)已知命题p：SnSN,"2'2〃+5,则p为()

A.序》2”+5

B.3ȣN,/W2"+5

C.VnGN,n2<2n+5

D.SnSN,n2=2n+5

答案C

解析由存在量词命题的否定可知，㈱。为/<2〃+5.所以C正确，A,B,D错误.

(2)(多选)下列命题是真命题的是()

A.VxGR,—x2—1<0

B.VnGZ,3wGZ,nm=m

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

]3

D.存在实数x,使得

X2—2x+34

答案ABC

解析VxCR,-x2<0,所以一/一ivO,故A项是真命题;

当m=0时，〃，"="怛成立，故B项是真命题;

任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；

因为X2-2X+3=（X-1）2+222,

所以，1故D项是假命题.

x^-2x+324

（3）若命题“mxWR,x2+（“一l）x+l<0”的否定是假命题，则实数4的取值范围是

答案（一8,-1）U（3,+8）

解析命题“mxCR,.F+g—l）x+1<0"的否定是假命题，

则命题“mxWR,+是真命题，

即/=（。_1尸_4>0,

解得a>3或a<—1,

故实数。的取值范围是（-8,—1）U（3,+°°）.

课时精练

过基础保分练

1.（2023•上饶模拟）“炉>2021”是ux2>2022"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若析>2022,因为2022>2021,故析>2021,

故”/>2022”可以推出“f>2021”，

取4=2021.5,则满足#>2021,但/>2022不成立,

所以“N>2021”不能推出”/>2022”,

所以“/>2021”是u^>2022w的必要不充分条件.

2.已知命题p：mxGQ,使得xgN,则^夕为（）

A.VxCQ,都有xgNB.3xCQ,使得x《N

C.VxeQ,都有xGND.3xeQ,使得xGN

答案c

解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以由p：使得x京N,

得㈱p：VxGQ,都有xGN.

3.已知命题：“VxCR,方程/+4》+。=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A.Q<4B.

C.a>4D.q24

答案B

解析“VxGR,方程f+4x+a=0有解”是真命题，

故/=16—4”20,解得“W4.

4.（2023・武汉模拟）已知a,b是两条不重合的直线，a为一个平面，且a，a,则“人，a”是

“a〃b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当6_La时，结合a_La,可得。〃6,充分性满足；

当a〃方时，结合a_La,可得Z>_La,必要性满足.

故abVaf,是“a〃b”的充要条件.

5.命题“VlWxW2,x2-aW0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.g4B.心5

C.aW4D.aW5

答案B

解析因为命题“VlWxW2,N-aWO”是真命题，

所以VlWxW2,恒成立,

所以“24,

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a，5.

6.（多选）下列命题是真命题的是（）

A.所有的素数都是奇数

B.有一个实数x,使N+2X+3=0

C.“a=£”是“sina=sin£”成立的充分不必要条件

D.命题“mxGR,x+2W0”的否定是“VxGR,x+2>0”

答案CD

解析2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；

对于方程/+入+3=0,其中/=22-4X3=-8<0,

所以不存在实数，使得x2+2x+3=0成立，所以B是假命题；

由a=">sina=sin"，但由sina=sin£不能得到&="，故"a=夕'是"sina=sin””成立的

充分不必要条件，所以C是真命题；

根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“mxCR,x+2W0”的否定是“V

xWR,x+2>0",所以D是真命题.

7.(多选)若“mxd(0,2),使得2/—&+1<0成立”是假命题，则实数2可能的值是()

A.1B.2/C.3D.3s

答案AB

解析由题意可知，命题“VxC(0,2),2%2—笈+120成立"是真命题，

所以2xW2%2+l,可得入W2x+1，

当xW(0,2)时，由基本不等式可得

2xH__H

所以2W2s.

8.南北朝时期的伟大科学家祖随在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖瞄原理：“累

势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个

平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为H,Vi,被平行于这两个平面

的任意平面截得的两个截面面积分别为S”S2,则“S，S2不总相等”是“H，匕不相等”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析命题：如果“S,S2不总相等”，那么夕2不相等”的等价命题是：如果“外,

匕相等”，那么“S,S2总相等”.

根据祖唯原理，当两个截面的面积S,&总相等时，这两个几何体的体积乙相等，所以

逆命题为真，故是必要条件；

当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等,

故是不充分条件，所以“与,S2不总相等"是七不相等”的必要不充分条件.

9.命题"Vxe®'力，sinx<cosxw的否定是.

研

答案r0,4J,sinxecosx

解析因为usinx<cosxn的否定是"sinx/cosx”,

所以Jsinx〈cosx"的否定是"玉{0'j,sinx'cosx",

10.使得“2>牛”成立的一个充分条件是.

答案xv—1（答案不唯一）

解析由于牛=2巴故2t>221等价于x>2x,

解得x<0,

使得“2。4，”成立的一个充分条件只需为集合{x|x〈0}的子集即可.

11.已知命题“mxG{x|-2<x<3},使得等式2大一"?=0成立”是假命题，则实数〃?的取值范

围是•

答案（一8,—4]U[6,+°°）

解析若原命题为真命题，则3x6{x[—2<x<3},

使得，"=2x成立，则一4<7M<6;

故若原命题为假命题，

则实数切的取值范围为（一8,-4]U[6,+00）.

12.已知a：x<2加一1或x>—〃?，夕：x<2或x24,若a是夕的必要条件，则实数的取值范围

是.

答案6+勺

解析设4={x|x<2加一1或x>一〃?},8={x|xv2或x24},

若a是夕的必要条件，则8G4

当2〃?一1>一相，即mJ时，此时Z=R,8G4成立；

.|2W—]22,

当2〃?一1W—m,即加W—时，若8G力，此时，无解.

3[―777<4,

综上,加」.

3

应综合提升练

13.（多选）若“VxWM,|x|>x"为真命题，隽>3"为假命题，则集合M可以是（）

A.（一8,-5）B.（一3,-1]

C.（3,+8）D.[0,3]

答案AB

解析V3x^M,x>3为假命题，

/.VxGA/,xW3为真命题，

可得MU（—8,3],

又YxGM,|M>x为真命题，

可得”=（—8,0）,

0）.

14.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时