新课程卷中三视图试题的特点及启示

高考新课程卷中三视图试题的特点及启示宜昌金东方高中翁平【摘要】高中数学教材必修二第一章《立体几何初步》是新课改中出现的新内容和新考点，不光是高中学生的首次接触，作为高中数学教师的我也是第一次“触电”。这一局部的内容在课堂教学的过程中因其图形多、与实际结合紧密容易激发学生的学习兴趣，但是在解决相应习题和应对考试题目时，却也存在着许多的困难。为了帮助学生提高解题速度和准确度，我针对这局部常见的习题做了一些研究和思考，并结合2009—2011年这三年新课程高考试卷中的考题，总结和归纳出了一些解题规律和常用步骤。【关键词】三视图空间几何体一、高考新课程卷中三视图试题的特点1．试题分布从2009-2011这三年新课程高考试卷中，考三视图的概率很高，在80﹪以上，且逐年增加，到2011年几乎都有三视图的试题。2．试题分析〔1〕纵观2009-2011的高考题，试题通常是通过对课本原题的改编，通过对根底知识的重新组合、拓广，充分表现出教材的根底作用。因此密切联系教材，要把书本上的习题弄懂，弄透。〔2〕三视图试题与立体几何相联系，需要一定的空间想象能力，同时又有区别，和平行投影中的正投影有关。近三年来出现过两种类型：类型一是根据几何体的图形来判断三视图〔如2011年江西卷第9题等〕；类型二是三视图求几何体的体积，外表积和边长等〔如2011年湖南卷第4题，2010年安徽第9题等〕。〔3〕三视图试题多半以选填题形式出现，以中低档题为主，注重了对“长对正，高平齐，宽相等”的考查，注重对几何体外表积，体积公式的考查。二、近三年新课程卷中三视图试题对高考复习的启示1． 在复习中，应充分研究数学课程课标按照课标要求，了解中心投影和平行投影的意义；理解三视图画法的规那么，能画简单几何体的三视图，其次能识别三视图所表示的空间几何体。由此，要特别注重三视图“长对正，高平齐，宽相等”的规那么，以及由三视图能识别空间几何体，这是考查的重点。2．在复习中，应注重对三视图选填题形式的考查首先三视图作为新课程改革新增加的内容要在思想上引起重视，其次通过对2009-2011新高考题的研究，应注重对三视图选填题形式的考查，但也不能因为三视图与立体几何在一章，认为只可能出现填空、选择题的类型。因为从近几年的高考试卷看到，2008年宁夏海南第18题，2009年广东第17题，2010年上海文科第20题都是以大题形式出现，通过给出几何体的三视图，先从三视图中得到线面关系以及边的长度再来证明。3． 在复习中，侧重两种类型的复习类型一，根据几何体的图形来判断三视图；类型二，三视图求几何体的体积，外表积等求值问题，这两种类型以类型二为考查的重点和难点。对这类型的复习，在前一节对几何体的结构特征充分理解的根底上，结合三视图画法的规那么，从而总结出简单多面体和旋转体三视图的特点。以下是简单多面体和旋转体三视图的特点：〔1〕多面体注意：1、多面体的棱长应注意不要漏画，先确定顶点的位置，再确定棱；2、看见的画实线，看不见的画虚线。①棱柱〔这里棱柱主要研究直棱柱，对于斜棱柱那么要依据具体的题目条件〕直棱柱：三视图中有两个矩形+多边形〔从多边形的边数能确定棱柱的分类〕【例1】〔2011·安徽卷8〕一个空间几何体的三视图如图1所示，那么该几何体的外表积为()图1A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80命题意图：此题考查三视图的识别以及空间多面体外表积的求法解析：图中三视图是由两个矩形+一个四边形可知此题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如下图)，再由三视图的作图法那么“长对正，高平齐，宽相等”，可知直四棱柱底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的外表积为。答案C解题指导：三视图复原很关键，每一个数据都要标注准确②棱锥：三视图中有两个三角形+多边形；从2009-2011近三年的高考题，考查比例较多的为三棱锥，四棱锥。三棱锥：2009宁夏第11题，2009辽宁第16题，2010辽宁第16题，2010湖南第13题，2010陕西第8题，2011辽宁第8题；四棱锥：2011北京第5题，2011广东第9题。【例2】：〔2010湖南第13题〕图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，那么h=cm。命题意图：此题考查三视图的识别以及空间多面体体积的求法。解析：图中三视图是由两个三角形+三角形，知该图形为三棱锥，由俯视图可知底面是一个直角三角形，h表示的是三棱锥的高。得到cm。解题指导：三视图作图规那么是复原的依据，对于求值问题每一个数据都要标注准确③棱台：三视图中有两个梯形+“多边形”〔特指两个相似的多边形环，〕〔2〕旋转体①圆柱：三视图中有两个全等矩形+圆；②圆锥：三视图中有两个全等等腰三角形+圆；【例3】：〔2011年高考陕西卷文科5)某几何体的三视图如图3所示，那么它的体积是()〔A〕〔B〕图3〔C〕〔D〕图3命题意图：此题考查三视图的识别以及空间组合体体积的求法.解析:由三视图可知该几何体为立方体截去圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1，高为2，体积为，答案为A。③圆台：三视图中有两个全等的等腰梯形+圆；④球：三视图中有三个圆。三、三视图辨识几何体小结1、柱体的三视图中有两个视图为矩形，假设另一个视图为圆那么为圆柱；假设另一个视图为矩形那么为直棱柱，再看多边形边数来判断是几棱柱；2、椎体的三视图中有两个视图为三角形，假设另一个视图为圆那么为圆锥，假设另一个视图为三角形那么为棱锥，同样由多边形边数来判断是几棱锥；3、台体的三视图中有两个视图为梯形，假设另一个视图为圆环那么为圆台，假设另一个视图为多边形环那么为棱台。4、在复习中，应注意几何体的三视图是从三个方向的正投影，主要用于处理根据几何体的图形来识别三视图的问题几何体的图形，来识别其三视图的步骤如下：第一，首先要弄清三视图的含义，分为正视图〔又称为主视图〕：从前往后的正投影；侧视图〔又称为左视图〕：从左往右的正投影；俯视图：从上往下的正投影。第二，正投影是特殊的平行投影，在平行投影下：〔1〕与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；〔2〕假设平面图形与投影面垂直，①如果图形为点，无论与平面平行还是垂直，得到的影子均为点；②如果图形为线段，得到的影子为点；③如果图形为多边形，那么得到的影子为线段；〔3〕假设平面图形与投影面成夹角，①如果图形为线段，得到的影子为线段；②如果图形为多边形，那么投影后也为多边形。第三，高考时多考查的是多面体，对于由多面体的几何图形得到其三视图，应先找准多面体顶点的位置，再来确定棱长的位置，称之为顶点确定法。【例4】：〔2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图4所示，那么该几何体的左视图为〔〕命题意图：此题考查三视图的识别图4解析：左视图是从正左方看，由图可知，几何体有7个顶点，先在投影面上把7个点的位置确定，即找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。上底面与投影面垂直关系，那么投影得到的为线段，下底面同理也为线段，前后两个侧面也与投影面垂直，那么投影得到的也是线段。答案D解题指导：顶点确定法【例5】：〔08年广东文科7〕将正三棱柱截去三个角〔如图5〕所示A、B、C分别是三边的中点〕得到的几何体如图5中右图，那么该几何体按该图所示方向的侧视图为〔〕图5命题意图：此题考查三视图的识别解析：左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点。解题时在图5的第2个图的右边放扇墙即投影面〔心中有墙〕，注意利用第1个图，投影后，与重合，与重合，与底面垂直，即与底面垂直，而与右边投影面相垂直，因此投影后为线段，可得答案A。5．在复习中，还应注意对几何体组合体三视图的训练【例6】：〔2011年新课标卷8〕在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图6所示，那么相应的侧视图可以为〔〕图6命题意图：此题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。