天津市河西区名校2024届九年级数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

天津市河西区名校2024届九年级数学第一学期期末复习检测模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，AB是。O的直径，弦CDJ_AB于点E,且E为OB的中点，NCDB=30。，CD=4百，则阴影部分的面积为

O

416

A.nB.4nC.—nD.—7T

33

2.已知二次函数y=-2（尤—a）?—h的图象如图所示,则反比例函数y=—与一次函数y=ax+b的图象可能是

X

（）

*

CD.—

3.如图，在A43C中，AB两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是（―1,0）.以点C为位似中心，在X轴的下方作

AABC的位似，图形AA'B'C,使得AA'B'C的边长是A4BC的边长的2倍.设点8的横坐标是-3,则点B'的横坐标

是（）

C.4D.5

4.已知圆心角为120。的扇形的弧长为6兀，该扇形的面积为()

A.18%B.27"C.36乃D.54"

5.抛物线产tM+Zur+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，其部分图象如

图所示，则以下结论：①62-4acV0；©a+b+c<0；③c-a=2；④方程。必+公+。=0有两个相等的实数根.其中正确

结论的个数为()

B.2个C.3个D.4个

6.在平面直角坐标系中，点A,8坐标分别为(1,0),(3,2),连接A8,将线段A3平移后得到线段A点A的对

应点A'坐标为(2,I),则点/T坐标为()

A.(4,2)B.(4,3)C.(6,2)D.(6,3)

7.如图，已知等边AABC的边长为4,以为直径的圆交3C于点尸，以C为圆心，CF为半径作圆，。是C上

一动点，E是8。的中点，当4E最大时，BD的长为()

A.273B.275C.4D.6

8.下列几何体的三视图相同的是()

长方体

9.如图，AC为。O的直径，AB为。O的弦，NA=35。，过点C的切线与OB的延长线相交于点D,则ND=（）

A.20°B.30°C.40°D.35°

10.如图，线段AO与BC相交于点。，连接A3、CD,且OB=OC,要使AAOBMADOC,应添加一个条件,

不能证明AAOBMADOC的是（）

A.ZA=ZDB.AO=DOC./B=/CD.AB=CD

11.如图，小颖身高为160cm,在阳光下影长AB=240cm,当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投

射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（）

12.如图，在/ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=5,ADJLAB于点A,过点D作DEJ_AD,DE交AC于点E,

若DE=2,则/ADC的面积为（）

A

E

BC

D

二、填空题（每题4分，共24分）

13.分解因式：。2-9=.

14.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、8的度数分别为86。、30。，则NACB

的大小为___________

15.二次函数y=3（x—+2图象的顶点坐标为.

16.若。O是等边△ABC的外接圆，。。的半径为2,则等边△ABC的边长为

17.若关于x的方程*2+2*-m=0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y='经过第象限.

X

18.如图，点4的坐标为（2,0）,过点A作X轴的垂线交过原点与X轴夹角为60。的直线/于点4,以原点。为圆心,

。用的长为半径画弧交X轴正半轴于点4；再过点为作X轴的垂线交直线/于点层，以原点。为圆心，以。打的长

为半径画弧交X轴正半轴于点4……按此做法进行下去，则点B20I9的坐标是

19.（8分）如图，已知反比例函数x=&（*,>o）与一次函数％=左2》+1伏2/°）相交于4、B两点,ACJLx轴于

x

点C.若4OAC的面积为1,且tanZAOC=2.

（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；

(2)请直接写出8点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数"的值大于一次函数山的值.

(1)求证：不论m取何值，该函数图像与x轴一定有两个交点；

(2)若该函数图像与x轴的两个交点为A、B,与y轴交于点C,且点A坐标(2,0),求AABC面积.

21.(8分)如图1,已知是。。的直径，AC是。O的弦，过。点作07MA8交。。于点。，交AC于点E,交.BC

的延长线于点尸，点G是E尸的中点，连接CG

(1)判断CG与。。的位置关系，并说明理由；

(2)求证：2OB2=BC'BF；

(3汝口图2,当NDCE=2NF,CE=3,£>G=2.5时，求的长.

22.(10分)已知抛物线与x轴交于A(-2,0),8(3,0)两点，与V轴交于点C(0,6).

(1)求此抛物线的表达式及顶点的坐标；

(2)若点。是x轴上方抛物线上的一个动点(与点A,C,8不重合)，过点。作，x轴于点F,交直线BC于前E，

连结BD.设点D的横坐标为m.

①试用含加的代数式表示DE的长；

②直线BC能否把尸分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点。的坐标；若不能，请说明理由.

(3)如图2,若点M(l,a),N(2,。)也在此抛物线上，问在)’轴上是否存在点Q,使NMQN=45。？若存在,请直

接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(10分)我们不妨约定：如图①，若点D在AABC的边AB上，且满足NACD=NB(或NBCD=NA),则称满足

这样条件的点为AABC边AB上的“理想点”.

(1)如图①，若点D是AABC的边AB的中点，AC=2y[2>AB=4.试判断点D是不是AABC边AB上的“理想点”，

并说明理由.

(2)如图②，在0O中，AB为直径，且AB=5,AC=4.若点D是AABC边AB上的“理想点”，求CD的长.

(3)如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点，且满足NACB=45。，在y轴上是否

存在一点D,使点A是B,C,D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理

由.

24.(10分)已知函数3!=0^+6*+，(存0,a、b>c为常数)的图像经过点A(-1,0)、B(0,2).

（1）b=（用含有a的代数式表示），c=；

（2）点0是坐标原点，点C是该函数图像的顶点，若△AOC的面积为1,则。=；

（3）若x>l时，y<l.结合图像，直接写出a的取值范围.

25.（12分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A

微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的

统计图.

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次一共调查了多少名购买者？

（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度.

（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？

26.学校想知道九年级学生对我国倡导的“一带一路”的了解程度，随机抽取部分九年级学生进行问卷调查，问卷设有

4个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）：A.非常了解.B.了解.C.知道一点.D.完全不知道.将调查的

结果绘制如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次共调查了多少学生？

（2）补全条形统计图；

（3）该校九年级共有60（）名学生，请你估计“了解”的学生约有多少名？

（4）在“非常了解”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任选两人做宣传员，请用列表或画树状图法

求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率.

学生对‘一带一路可解程度

扇形统计图

选项

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【分析】根据圆周角定理求出NCOB,进而求出NAOC,再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出OC的长，再结

合扇形面积求出答案.

【详解】解：•；NCD6=30°,

:./C0B=2/CDB=*。,

.,.ZAOC=120°,

VCD±AB,CD=473,

:.CE=DE=26NOEC=90°,

CE

：.0C=——=4,

sin60°

：.阴影部分的面积为12W=3开，

3603

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，扇形面积公式等知识点，能求出线段OC的长和NAOC的度数是

解此题的关键.

2,B

【分析】观察二次函数图象，找出。>0,b>0,再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论.

【详解】观察二次函数图象，发现：

抛物线y=—2（x—a）?—b的顶点坐标（。,一。）在第四象限，即a>0,-匕<0,

Z?>0.

•反比例函数丫=型中ab>0,

x

二反比例函数图象在第一、三象限；

,一次函数y=◎+），a>0,b>0,

...一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出。>0,

b>0.解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键.

3、B

【解析】设点B，的横坐标为x,然后根据AA，B，C与AABC的位似比为2列式计算即可求解.

【详解】设点B，的横坐标为X,

•••△ABC的边长放大到原来的2倍得到AA，BC,点C的坐标是(-1,0),

Ax-(-1)=2[(-1)-(-1)],

即x+l=2(-1+1),

解得x=l,

所以点B的对应点B，的横坐标是1.

故选B.

【点睛】

本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比列出方程是解题的关键.

4、B

【分析】设扇形的半径为r.利用弧长公式构建方程求出r,再利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解：设扇形的半径为r.

,120JIr,

由题意：———=6n,

180

:.r=9,

120^-x92

•・5扇形=---------L/7T,

360

故选B.

【点睛】

本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.

5、B

【分析】先从二次函数图像获取信息，运用二次函数的性质一一判断即可.

【详解】解：•.•二次函数与x轴有两个交点，.••b2-4ac>0,故①错误；

•.•抛物线与x轴的另一个交点为在(0,0)和(1,0)之间，且抛物线开口向下，

.,.当x=l时，有y=a+b+c<0,故②正确；

•.•函数图像的顶点为(-E2)

.*.a-b+c=2,

又•••由函数的对称轴为x=-L

b

:.------=-1,即anb=2a

2a

a-b+c=a-2a+c=c-a=2,故③正确；

由①得b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，故④错误；

综上，正确的有两个.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像与系数的关系，从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关

键.

6,B

【分析】根据点A的坐标变化可以得出线段AB是向右平移一个单位长度，向上平移一个单位长度，然后即可得出点

B'坐标.

【详解】•••点4(1,0)平移后得到点。(2,1),

•••向右平移了一个单位长度，向上平移了一个单位长度，

.•.点8(3,2)平移后的对应点"坐标为(4,3).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了直角坐标系中线段的平移，熟练掌握相关方法是解题关键.

7、B

【分析】点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F,根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是

BC的中点，从而得到EF为aBCD的中位线，根据平行线的性质证得C£)J_6c，根据勾股定理即可求得结论.

【详解】点D在C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F,连接CD,

•.'△ABC是等边三角形，AB是直径，

AEFLBC,

.,.F是BC的中点，

.•.E为BD的中点，

AEF为△BCD的中位线，

:.CD//EF,

:.CD工BC,

3c=4,CD=2,

故BD7BC?+CD2=J16+4=2行，

本题考查了圆的动点问题，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、中位线定理、平行线的性质和勾股定理是解题的关

键.

8、B

【解析】试题分析：选项A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意；

选项B、球的三视图，如图所示，符合题意;

俯视图左视图

主视图

选项C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意;

俯视图左视图

选项D、长方体的三视图，如图所示，不合题意;

俯腿由赃

左视图

故答案选B.

考点：简单几何体的三视图.

9、A

【解析】VZA=35°,

/.ZCOB=70°,

.*.ZD=90°-ZCOB=20°.

故选A.

10、D

【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断即可.

【详解】A、在AAOB和ADOC中，■NAOB=NDOC

OB=OC

则AAOB三ADOC(AAS),此项不符题意

AO=DO

B、在AAO8和ADOC中，《NAO8=NOOC

OB=OC

则AAO8=ADOC(S4S),此项不符题意

ZB=ZC

C、在AAQ8和AQOC中，OB=OC

NAOB=NDOC

则AAO8=ADOC(4S4),此项不符题意

AB=CD

D、在MOB和ADOC中，《cn_，但两组相等的对应边的夹角，B和ZC未必相等,则不能证明MOB=\DOC,

VJLJ—C/(_z

此项符合题意

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各定理是解题关键.

11、B

【分析】过E作EF1.CG于F,利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可.

【详解】'、：、过E作EF_LCG于F,

'、、尸匚注

ARCD

设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFEsaHAB,

.,.AB:FE=AH:(GC-x),

贝I240:150=160:(160-x),

解得：x=60.

故选B.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF±CG于F.

12、D

【分析】根据题意得出AB〃DE,得△CEDs^CAB,利用对应边成比例求CD长度，再根据等腰直角三角形求出底

边上的高，利用面积公式计算即可.

【详解】解：如图，过A作AF_LBC,垂足为F,

TAD-LAB,

:.ZBAD=90°

在RtZ\ABD中，由勾股定理得，

BD=JA52+AT>2=[52+52=50，

VAF±BD,

.\AF=-V2.

2

TAD-LAB,DE±AD,

.,.ZBAD=ZADE=90°,

，AB〃DE,

:.NCDE=NB,NCED=NCAB,

.,.△CDE<^ACBA,

.DE_CD

AB-CB'

•_2—____C_D____

"5CD+5日

.-.CD=1^2,

3

・•.Swc」新AF」仓第迪卫.

22323

故选：D

【点睛】

本题考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例求线段长是解答此题的

关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、(a+3)(a-3)

【解析】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进

行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.先把式子写成aZ32,符合平方差公式的特点，再利用平方差公

式分解因式.

a2-9=a2-32=(a+3)(a-3).

故答案为(a+3)(a-3).

考点：因式分解-运用公式法.

14、28°

【分析】设半圆圆心为O,连OA,OB,则NAOB=860-300=56。，根据圆周角定理得NACB=』NAOB,即可得到

2

ZACB的大小.

【详解】设半圆圆心为O,连OA,OB,如图，

VZACB=-ZAOB,

2

而NAOB=86o-30°=56°,

.*.ZACB=-X56°=28°.

2

故答案为：28°.

【点睛】

本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的

一半.

15、（1,2）

【解析】二次函数y=a（x—〃了+左（a邦）的顶点坐标是（h,k）.

【详解】解：根据二次函数的顶点式方程）=3（》-1）2+2知，该函数的顶点坐标是：（1,2）.

故答案为：（1,2）.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x-〃）2+左中

的h,k所表示的意义.

16、2百

【解析】试题解析：如图：

连接。4交5c于O,连接0C,

是等边三角形，。是外心，

ZOCD=3Q,OC=2,

OD=-OC=\,

2

CD-BD-y/3,

BC=2瓜

故答案为2Ji

17、二，四

【分析】关于x的方程有唯一的一个实数根，则△=()可求出，〃的值，根据"，的符号即可判断反比例函数y=丝经过

X

的象限.

【详解】解：•・•方程“2+2%-6=0(小是常数)有两个相等的实数根，

/.A=22-4X1X(-/n)=4+4/71=0,

；・m=-1；

...反比例函数了=一经过第二，四象限，

X

故答案为：二，四.

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及反比例函数的图象，利用根的判别式求出m的值是解此题的关

键

18、(22OI9,22O19V3)

【分析】先根据一次函数方程式求出用点的坐标，再根据Bi点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推

总结规律便可求出点B2019的坐标.

【详解】•••过点Ai作x轴的垂线交过原点与x轴夹角为60°的直线1于点B"OAi=2,

AZBiOAi=60°,.\ZOBiAi=30o

AOBi=OAi=4,BiAi=^42-22=273

ABi(2,273)

工直线y=Qx,

以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2,贝IJOA2=OB”

VOA2=4,

.,.点A2的坐标为（4,0）,

...B2的坐标为（4,4百），即（22,22X73），

OA3=^42+（4A/3）2=8

二点A3的坐标为（8,0）,B3（8,873）.

・・・・・・,

以此类推便可得出点A2019的坐标为⑵。00）,点B2019的坐标为俨吗2239⑹；

故答案为：（22°匕22°19码.

【点睛】

本题主要考查了点的坐标规律、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识；由题意得出规律是解题的关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）y=-；%=工+1；（2）8点的坐标为（-2,—1）；当OVxVl和xV—2时，力>也.

x

【分析】（1）根据tanNAOC="=2,AOAC的面积为1,确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式

OC

即可求解；

（2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数十的值大于一次函数yz的值.

【详解】解：（1）在RSOAC中，设OC=m.

AQ

VtanZAOC=—=2,/.AC=2xOC=2m.

OC

VSAOAC=-xOCxAC=-xmx2m=l,/.m2=l.Am=l（负值舍去）.

22

：・A点的坐标为（1,2）.

把A点的坐标代入»=勺中，得％=2.

X

2

...反比例函数的表达式为M.

x

把A点的坐标代入必=%2》+1中，得k2+l=2,，k2=l.

...一次函数的表达式%=x+L

（2）B点的坐标为（-2,-1）.

当OVxVl和xV—2时，yi>yz.

【点睛】

本题考查反比例及一次函数的的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的

解题关键.

20、(1)见解析；(2)10

【分析】(D令y=0得到关于x的二元一次方程，然后证明A=b2-4ac>0即可；

(2)令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，根据坐标的特点即可解题.

【详解】(1)因为〃-4ac=(-机>-4x(-4)=>+16,且加之。，所以>+16>0.

所以该函数的图像与x轴一定有两个交点.

(2)将A(-1,0)代入函数关系式，得，(-1)2+〃2-4=0,解得m=3,求得点B、C坐标分别为(4,0)、(0,-4).

所以AABC面积=[4-(-1)]x4x0.5=10

【点睛】

本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，将函数问题转化为方程问题是解答问题(1)的关键，求出

抛物线与x轴的交点坐标是解答问题(2)的关键.

21、(1)CG与。。相切，理由见解析；(1)见解析；(3)DE=1

【解析】(1)连接CE,由A8是直径知AECF■是直角三角形，结合G为E尸中点知NAEO=NGEC=NGCE,再由

04=0C知NOC4=NOAC,根据可得NOC4+NGCE=90。，BPOCA.GC,据此即可得证；

(1)证AA5cs得生=丝，结合48=18。即可得；

BOBF

pcFD3DF

(3)证ECDS^EGC得'=—,根据CE=3,DG=1.5知一--二—,解之可得.

EGECDE+2.53

【详解】解：(1)CG与。。相切，理由如下：

如图1,连接CE,

A

图1

•・・Ab是。。的直径，

:.ZACB=ZACF=90°,

•・•点G是EF的中点,

:.GF=GE=GC,

:.ZAEO=ZGEC=NGCE,

•；OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

'：OFYAB,

：.ZOAC+ZAEO=9Q°,

.•.NOC4+NGCE=90°,BP0C1GC,

.•.CG与。。相切；

（1）•：ZAOE=ZFCE=90°,ZAEO=ZFEC,

:.NOAE=NF,

又•.•N5=N8,

:.△ABCs2FBO,

BCAB

：.——=—,BanPBO*AB=BC»BF,

BOBF

'：AB=\BO,

：.1OB'=BC'BF；

（3）由（1）知GC=GE=G尸，

:.ZF=NGCF,

:.NEGC=1NF,

又•.,NOCE=1NF,

:.NEGC=NDCE,

'：NZ）EC=Z.CEG,

:.XECDSREGC,

.ECED

••=9

EGEC

'：CE=3,DG=1.5,

•3DE

"DE+2.5

整理，得：DE'+l.5DE-9=（i,

解得：Z）£=l或Z）E=-4.5（舍），

故Z）E=1.

【点睛】

本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等

知识点.

/1V25f125、[-nr+3m（0<m<3）

22、（1）y=—x--+—,顶点坐标为：;（2）①DE=；②能，理由见解析，

，（2）4\24y[w2-3??7（-2</n<0n）

点O的坐标为(1,6)；(3)存在，点。的坐标为：(0,3)或(0,6).

【分析】(1)根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；

(2)①先利用待定系数法求出直线8C的函数表达式，再设出点。、E的坐标，然后分点。在y轴右侧和y轴左侧利

用力)一%或％-列式化简即可；

DE1DE

②根据题意容易判断：点。在y轴左侧时，不存在这样的点。；当点。在)，轴右侧时，分一=一或一=2两种情

EF2EF

况，设出E、尸坐标后，列出方程求解即可；

(3)先求得点M、N的坐标，然后连接CM,过点N作NG_LCM交CM的延长线于点G,即可判断NMCN=45。，则

点C即为符合题意的一个点Q,所以另一种情况的点。应为过点C、M、N的。4与y轴的交点，然后根据圆周角定

理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出CQ的长，进而可得结果.

【详解】解：(1)•••抛物线与x轴交于点A(—2,0),3(3,0),

...设抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x—3),

把点C(0,6)代入并求得：a=-l,

•••抛物线的表达式为：y=-(x+2)(x—3)=—£+X+6,

(1A2]25、

即y=—+',.•.抛物线的顶点坐标为：；，二；

6=b[k=-2

(2)①设直线8c的表达式为：y=kx+b,贝"解得：\

0=3k+/?[8=6

二直线8C的表达式为：y=—2x+6,

设。(用一〉+根+6),则£(加,一2加+6),

当0＜根＜3时，:.DE=—m2+m+6+2m-6=-m2+3m,

当一2vmV。时，DE=-2m+6+m2-m-6=m2-3m,

-m2+3J7Z(O<m<3)

综上：DE=\

m2-3m(-2<m<o)

②由题意知：当—2＜僧＜0时，不存在这样的点O：

DE1_^DE

当0＜根＜3时,---=一或----=2

EF2EF

,：E(m,-2m+6),F(/??,0),EF--2m+6,

m+3m

A--=l>解得但=1,八=3（舍去），

-2m+62

或一加;3〃匕2,解得班=4（舍去），，”2=3（舍去），

-2m+6

综上，直线8c能把Afi//分成面积之比为1：2的两部分，且点。的坐标为（1,6）；

（3）•.•点M（l,a）,N（2⑼在抛物线y=-x?+x+6上，.•.a=64=4,.♦.M（1,6）,N（2,4）,

连接MC,如图，VC（0,6）,M（1,6）.•.MCLy轴，过点N作NGJ_CM交CM的延长线于点G,,：N（2,4）,

；.CG=NG=2,.•.△CNG是等腰直角三角形，...NMCN=45。，则点C即为符合题意的一个点。，.•.另一种情况的点Q

应为过点C、M、N的。”与y轴的交点，连接

•••M（1,6）,N（2,4）,:.M0E锂=下,CM=1,

,；ZMQN=45°,ZMHN=90°,则半径

22

•：ZMCQ=90a,：.MQ是直径，且=屈，；.CQ=^MQ；-MC1=，（何『—F=3，

•：OC=6,：.OQ=3,：.Q（0,3）；

综上，在>轴上存在点。，使NMQN=45。，且点。的坐标为：（0,3）或（0,6）.

本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形

的面积问题、一元二次方程的求解、圆周角定理及其推论、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性

强，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键，熟知函数图象上点的坐标特征、正确进

行分类是解（2）题的关键，将所求点。的坐标转化为圆的问题、灵活应用数形结合的思想是解（3）题的关键.

23、(1)是，理由见解析；(2)―；(3)D(0,42)或D(0,6)

【分析】(1)依据边长AC=2及，AB=4,D是边AB的中点，得到AC2=ADXAB,可得到两个三角形相似，从而得

到NACD=NB；

(2)由点D是AABC的“理想点”，得到NACD=NB或/BCD=NA,分两种情况证明均得到CD,AB,再根据面积法求

出CD的长；

(3)使点A是B,C,D三点围成的三角形的“理想点”，应分两种情况讨论，利用三角形相似分别求出点D的坐标即可.

【详解】(1)D是AABC边AB上的“理想点”，理由：

••，AB=4,点D是AABC的边AB的中点，

.♦.AD=2,

VAC2=8,AD»AB=8,

：.\C2=AD^AB,

又,.•NA=NA,

/.△ADC^AACB,

.,.ZACD=ZB,

:.D是AABC边AB上的“理想点”.

(2)如图②，

•.•点D是aABC的“理想点”,

：.ZACD=ZB或NBCD=NA,

当NACD=NB时，

VZACD+ZBCD=90°,

.,.ZBCD+ZB=90°,

.,.ZCDB=90°,

当NBCD=/A时，同理可得CD_LAB,

在RtZkABC中，VZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=y)AB2-AC2=A/52-42=3，

'：-ABCD=-ACBC,

22

-?5CD为B4,

22

过点A作MALAC交CB的延长线于点M,VZMAC=ZAOC=90°,ZACM=45°,

ZAMC=ZACM=45°,

/.AM=AC,

•:ZMAH+ZCAO=90°,ZCAO+ZACO=900,

.,.ZMAH=ZACO,

.'.△AHM^ACOA

.\MH=OA,OC=AH,

设C(a,0),

VA(0,2),B(0,-3),

/.OA=MH=2,OB=3,AB=5,OC=AH=a,BH=a-5,

VMH//OC,

.MH_BH

:,一2=-a---5,

a3

解得a=6或a=・l(舍去)，

经检验a=6是原分式方程的解，

AC(6,0),OC=6.

①当NDiCA=NABC时，点A是aBCDi的“理想点”，

设Di(O,m),

■:ZDiCA=ZABC,ZCDiA=ZCDiB,

.'.△DiAC^ADiCB,

:.CD：=D}A1D,B,

irr+62-(m-2)(m+3)>

解得m=42,.,.Di(0,42)；

②当NBCA=NCD2B时，点A是△BCD2“理想点”，

可知：NCD2O=45。，

/.OD2=OC=6,

AD2(0,6)・

综上，满足条件的点D的坐标为D(0,42)或D(0,6).

【点睛】

此题考查相似三角形的判定及性质，通过证明三角形相似得到点是三角形某条边上的“理想点”，通过点是三角形的“理

想点”，从而证明出三角形相似，由此得到点的坐标，相互反推的思想的利用，注意后者需分情况进行讨论.

24、(1)a+2；2；(2)-2或6±4拒；(3)«<-8-2715

【分析】(1)将点B的坐标代入解析式，求得c的值；将点A代入解析式，从而求得b；；(2)由题意可得AO=L设

C点坐标为(x,y),然后利用三角形的面积求出点C的纵坐标，然后代入顶点坐标公式求得a的值；(3)结合图像，

若x>l时，y