指数与指数函数-2021年新高考数学一轮复习

潘剧与潘剧筛剧

【命题解读】

指数函数是高中函数内容的核心知识点之一，在历年的高考中主要是以简单题目为主,

指数累的运算，指数函数的图象和性质都是要求掌握的知识点。指数函数作为一种重要的函

数模型，要充分理解它的应用。

【命题预测】

预计2021年的高考对于指数函数部分的考察还是以指数幕的运算和指数函数的图象与

性质为主要出题方向。

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解实数指数幕的意义，掌握指数幕的运算；

2.掌握指数函数的概念，图象和性质；

3.理解指数函数模型的应用。

考向一指数幕及指数幕的运算

1.新的概念：

m____

①正数的正分数指数事:由三风叫£N：且n>l).

②正数的负分数指数幕:在=幅且几>1).

③0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数累无意义.

2.幕的运算：

①a%s=qF(a>0,r,sGQ);

@(a7=ara(a>0,r,jeQ)；

③(aby=aH(a>0,b>0,rGQ).

3.无理指数注:

一般的无理数指数基加(a>0,a为无理数)是一个确定的实数，有理数指数基的运算性

质同样适用于无理数指数塞.

要例制折

1.计算:(V^xW)6+(-2019)°-4x(王)

【答案】99+TI

【解析】(VIXV5)6+(-2019)°-4X(^)-4(3-兀)4

=(2%6X(3%+1-4X(，2x(3+兀一3

=4x27+l-4xZ-3=99+7i.

4+K

33

2.已知x+婷=3,则等书的值为.

x2-+x-z-6---------------

【答案】c

【解析】若x+x/=3,贝|(x+x/)2=9,即x2+x'2=7,(%2+x'2)2=x+2+xA=5,

又因为x+x」=3＞0,所以X＞0,%2+%-2=V5,

「，3311、,_

因为/+x-2=(X2+%-2)(x+x1-1)=2V5,

3J

所以黑8=粤=2倨3.

考向二指数函数的概念、图象和性质

值域(0,+oo)

过定点(0,1)

性质当x＞。时,.1;当x＜。时，。勺＜1|当一时当尤＜。时,

在R上是增函数在R上是减函数

口典例制折

1.12019青海西宁月考】指数函数y=/(x)的图象经过点(加，3),则10)+八一优)=

【答案】|4

【解析】设式的=〃3>0且。力1),所以犬0)=*=1.且式附=心=3.所以式0)+/(—忖=1

【答案】B

1(-)xX>0

【解析】作出函数y=F=2的图象，如下图所示,

22“x<0

将丁=(的图象向左平移1个单位得到/'(x)=

图象

故选：B

3.12020山东省高一期末】如图，某湖泊的蓝藻的面积》(单位：机D与时间f(单

位：月)的关系满足y=a'，则下列说法正确的是()

A.蓝藻面积每个月的增长率为100%

B.蓝藻每个月增加的面积都相等

C.第6个月时，蓝藻面积就会超过60疗

D.若蓝藻面积蔓延到力〃2,3根2,6加2所经过的时间分别是4,G，%,则一定有4+/2=4

【答案】ACD

【解析】由图可知，函数y="图象经过(1,2),即4=2,则。=2,y=2'；

.••2用—2'=2’不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为

100%,A对、B错；

当/=6时，y=26=64>60,C对；

若蓝藻面积蔓延到2加2,3m2,6//所经过的时间分别是九GK，则。=2，2'2=3，

2'3=6，则2'1二"=2x3，即2/'2=6，则D对；

故选：ACD.

事检测训练

题组一(真题在线)

1.【2019年高考全国n卷文数】设其尤)为奇函数，且当定0时，/(x)=eX—1,则当x<0时,

危尸

A.e-x-lB.e-J+l

C.-e-x-lD.-e-x+l

2.【2020年高考天津】设a=3°7/=(g)3,c=logo,70.8,则。，瓦c的大小关系为

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

3.【2020年高考北京】已知函数/(%)=2%-x-1,则不等式/(九)>。的解集是

A.(-1,1)B.(-0),-1)[(l,4w)

C.(0,1)D.(―8,0)D(l,+8)

4.【2020年高考全国全卷理数】已知55<83134<85.设a=log53,Z?=logs5,c=logi38,则

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

3

5.【2020年高考全国I卷】已知a=log2().2,bl，c=0.2°-.则()

\.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

6.【2019年高考北京】设函数/(x)=守+加-乂(a为常数).若/(x)为奇函数，则

a=；若/(x)是R上的增函数，则a的取值范围是.

题组二

1.12019荷泽期末】已知实数满足等式2019“=2020",则下列关系式中不可能成立的是

()

A..0<a<bB.a<b<0

C.0<b<aD.a=b

2.【2020四川省高三模拟冲刺卷】若函数y=/(x)的大致图象如图所示，则/(九)的解

析式可以是

B.f(x\=——--

''ex-e-1

x

e-e

c.D.〃x)="

XX

3.【2019黑龙江七台河月考】已知危)=3广)(2金4,b为常数)的图象经过点(2,1),则加)

的值域()

A.[9,81]B.[3,9]

C.[1,9]D.[1,+oo)

4.12019山东省诊断】已知。=自；,b=C，c=log2J则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

5.12019河北邯郸月考】方程4%—2/i—3=0的解集是.

6.12019山东淄博月考】已知函数兀匕为常数且〃>0,〃邦)的图象经过A(l,

8),5(3,32).

⑴试求mZ?的值；

(2)若不等式？)+(:)—根K)在x£(—QO,1］时恒成立，求实数机的取值范围.

f(x}=l-------

7.12020巴蜀中学高三高考适应性月考】已知2l+1是定义域为R的奇函数,

/(x2-mx+2\>—

且对任意实数x,都有3,则加的取值范围是()

A.—2<m<2B.0<m<2

C.-4<m<4D.m>2

8.【2020广东省惠州市高三模拟】已知函数/(x)=/+|x|,则满足了(2x-的

x取值范围是()

(12}「12、(12}「12、

八七%)C-匕1"0-\2-3)

事答案解析.

题组一

【解析】由题意知/(%)是奇函数，且当它0时，f(x)=-1，

则当x<0时，—x>0,则/(—x)=ef—1=—/(x),

得/(x)=—e-£+l.

故选D.

2.D

【解析】因为a=307>l，

A=(£p=3°-8>3°7=a，

c=log070.8<log070.7=1,

所以

故选D.

【解析】因为〃尤）=2-x—1,所以“x）〉0等价于2，>x+l，

在同一直角坐标系中作出y=2,和y=x+l的图象如图：

不等式2*>x+l的解为％<0或%>1.

所以不等式/（力>0的解集为：（―8,0）D（l,W）.

故选：D.

4.A

【解析】由题意可知。、b、ce(O,l),

t7：：log53Jg3lg8<1pg3+lg8V=(Ig3+lg8Y=(lg24V<x

--2

Klog85lg5-lg5(lg5)12)21g5)~[\g25)

4

由〃=k)g85,得8"=5，由55<8加得85”<84,.,.5〃v4,可得/?<§；

4

由C=logi38,得13c=8，由134<85,得134<135°,.,.Sod,可得c>..

综上所述，a<b<c.

故选：A.

5.B

02

【解析】由对数函数的图像可知：a=log20.2<0；再有指数函数的图像可知：人=2>1,

0<c=0,2°3<b于是可得到：a<c<b.

故选：B

【解析】若函数/(*)=/+超、为奇函数，则/(-%)=-/(力建工+戢

(fl+l)(^+/X)=0对任意的X恒成立.

若函数/(尤)="+aex是R上的增函数，则1(x)=e'—aex>0恒成立,a<e2x,a<0.

即实数。的取值范围是(—,()］

题组二

1.A【解析】设2019。=2020』,作出y=2019工和y=2020，的图像如图所示，由函数图像可得，若

/>1,则若贝U若/=1,则〃=/?=0,故B,C,D中关系式可能成立,A中关系式

不可能成立.故选A.

2.C【解析】当x-0时，f(x)一±8,而A中的/(x)一0,排除A；

当x<0时，f(x)<0,而选项B中x<0时，f(x\=--------->0,

'7ex-e-x

ee

选项D中，/(x)=->0,排除B,D,

故选C.

3.C【解析】由兀X)过定点(2,1)可知6=2,因人%)=3厂2在［2,4］上是增函数，.\/(x)min=

汽2)=32-2=1；/)max=/4)=34-2=9.

4.B【解析】因为〃6=@2=§,》6=Q)3=W，所以又因为C=log2[<log21=0.

5.{x|x=log23}

【解析】设2'=/,则方程变形为祥一2%—3=0,即。一3)«+1)=0,解得£=3或/=—1(舍

去)，所以2%=3,所以x=log23,所以方程的解集为{x|x=log23}.

6.见解析

【解析】(1)由题意13,CC解得。=2,6=4.