2023-2024学年人教A版必修第二册 第八章 提升课　与球有关的“切”“接”问题 课件（49张）

三维提升课与球有关的“切”“接”问题题型突破·析典例01知能演练·扣课标02目录CONTENTS01题型突破·析典例⁠

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空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量之间建立关系.题型一外接球

A.16πC.40πD.64π

通性通法常见几何体外接球问题的求解策略（1）正方体、长方体的外接球：①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.（2）棱锥的外接球：以下四种类型的三棱锥可以补型为长方体求解.（3）圆柱、圆锥的外接球：作轴截面，将空间问题转化为平面问题.（4）圆台的外接球：设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径.⁠

⁠1.据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，则三棱锥外接球表面积为（

）A.10πB.12πC.14πD.16π

2.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（

）

题型二内切球

（2）若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（

）A.4π（r＋R）2B.4πr2R2C.4πRrD.π（R＋r）2解析（2）如图，

BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面积为4πOE2＝4πRr.通性通法

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⁠1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为（

）C.3

2.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（

）A.6B.5

02知能演练·扣课标⁠

⁠1.一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为（

）

A.6πB.12πC.8πD.16π

3.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为（

）B.4πD.16π

4.已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（

）A.3πB.4πC.6πD.9π

A.5πB.15πC.25πD.35π

6.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（

）A.4πC.6π

A.2πB.4π

C.6πD.8π8.若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为（

）

9.（多选）正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为（

）

10.（多选）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（

）

A.2πB.3πC.4πD.5π

A.正方体的外接球的表面积为12πC.正方体的棱长为2

13.已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为

⁠.

解析：设球的半径为r，由题意得r2＝12＋22＝5，∴S球＝4π·5＝20π.答案：20π

答案：64π

17.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解：设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3.

18.一个高为16的圆锥内接于一个体积为