2023-2024学年人教A版必修第二册 9-2-3　总体集中趋势的估计 课件（64张）

新课程标准解读核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）数据分析、数学运算2.理解集中趋势参数的统计含义数学运算、数学建模知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS01知识梳理·读教材⁠

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现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下（单位：年）：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.问题三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？

⁠

⁠知识点一

众数、中位数、平均数的定义（1）众数：一组数据中出现次数

最多⁠的数；（2）中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在

中间⁠位置的数（或中间两个数的

平均数

⁠）；（3）平均数：一组数据的

和⁠除以数据个数所得到的数.最多中间平均数

和知识点二总体集中趋势的估计（1）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关；（2）对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（图①），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”（图②），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”（图③），那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边；（3）在频率分布直方图中，

众数⁠是最高矩形底边中点的横坐标，

中位数⁠左边和右边的直方图的小矩形的面积应该

相等⁠，

样本平均数⁠的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和.众数中位数相等样本平均数

⁠

⁠1.一组数据30，29，28，27，26，24，23，22的中位数为（

）A.26B.27C.26和27D.26.52.一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均数为1，则a＝（

）

A.0B.2C.1D.－1

3.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是

⁠.

解析：10，12，16各出现1次，14，15各出现了2次，17出现的次数为3次，是最多的，故众数为17.答案：1702题型突破·析典例⁠

⁠题型一众数、中位数、平均数的计算【例1】某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11则下面结论中正确的是

⁠（填序号）.

①乙的众数是21；②甲的平均数为21.4；③甲的中位数是24.解析

把两组数据按从小到大的顺序分别排列，得甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23

答案①②通性通法平均数、众数、中位数的计算方法

平均数一般是根据公式来计算的，计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.⁠

⁠给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（

）A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.b＞c＞a

题型二利用频率分布直方图估计总体的集中趋势【例2】某校从参加高一年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1）求这次测试数学成绩的众数；

（2）求这次测试数学成绩的中位数.解

（2）由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03×（x－70），所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分.⁠

⁠1.（变设问）若本例的条件不变，求这次测试数学成绩的平均数.

2.（变设问）若本例条件不变，求样本中80分以下的学生人数.解：分数在[40，80）内的频率为：（0.005＋0.015＋0.020＋0.030）×10＝0.7，所以样本中80分以下的学生人数为80×0.7＝56.通性通法用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数（1）众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；（2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数；（3）平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.⁠

⁠（多选）随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到频率分布直方图（如图），其中右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3.则下列说法正确的是（

）A.身高在[130，140）范围内的频率为0.18B.身高的众数的估计值为115cmC.身高的中位数的估计值为125cmD.身高的平均数的估计值为121.8cm

题型三平均数、中位数、众数的应用【例3】据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资110001000090008000650055004000（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数（精确到元）；

（2）假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少（精确到元）？

（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.解（3）在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能准确反映这个公司员工的工资水平.通性通法众数、中位数、平均数的意义（1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大；（2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.⁠

⁠下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表（每个岗位仅有一人）：老板大厨二厨采购员杂工服务生会计6000元900元700元800元640元640元820元（1）计算所有人员的周平均收入；

（2）这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？解：（2）这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员.（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？

⁠

⁠1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（

）A.85，85，85B.87，85，86C.87，85，85D.87，85，90解析：从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.故选C.2.跳水比赛共有7名裁判分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，一定不会改变的数字特征是（

）A.众数B.平均数C.中位数D.极差解析：从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、众数都可能会发生改变，不变的数字特征是中位数.故选C.3.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），

[20，22.5），

[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间的平均数是（

）A.23.75B.23.875C.24.25D.23.25解析：平均数为：18.75×0.02×2.5＋21.25×0.10×2.5＋23.75×0.16×2.5＋26.25×0.08×2.5＋28.75×0.04×2.5＝23.875.故选B.4.（多选）已知一组数据为－2，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（

）A.数据的中位数是6B.数据的平均数是6C.x＝6D.x＝8

5.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是

⁠.

答案：203知能演练·扣课标⁠

⁠1.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为（

）A.1B.2C.3D.4解析：因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A.2.某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是（

）环数5678910人数127631A.7，7B.8，7.5C.7，7.5D.8，6

3.下面是某实验中学某班第一小组5位同学的立定跳远、跳绳、800m跑的成绩折线图（如图所示），则这5位同学立定跳远的中位数，跳绳的平均数，800m跑的众数分别是（

）A.1.98，131，3.88B.1.87，130，3.88C.1.98，130，3.88D.1.98，130，3.65

4.如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a，b，c，则（

）A.b＞c＞aB.a＞b＞c

5.（多选）小华所在的班级共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是（

）A.1.65米是该班学生身高的平均水平B.班上比小华高的学生人数不会超过25C.这组身高数据的中位数不一定是1.65米D.这组身高数据的众数不一定是1.65米解析：由平均数所反映的意义知A选项正确；由中位数与平均数的关系确定C选项正确；由众数与平均数的关系确定D选项正确；由于平均数受一组数据中的极端值的影响，故B选项错误.因此选A、C、D.6.（多选）下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是（

）A.中位数可以准确地反映出总体的情况B.平均数可以准确地反映出总体的情况C.众数可以准确地反映出总体的情况D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况解析：中位数不受少数极端值的影响，对极端值的不敏感也会成为缺点，故A错误；平均数较好地反映样本数据全体的信息，但是样本数据质量较差时使用平均数描述数据的中心位置就会与实际情况产生较大差异，故B错误；众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，故C错误；由以上理由可知D正确.故选A、B、C.7.2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间[10，20）的有10位，位于区间[20，30）的有20位，位于区间[30，40）的有25位，位于区间[40，50]的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为

⁠.

答案：35

答案：49.某学校为了解师生党史的学习情况，用分层随机抽样的方式从4600名师生中抽取200名师生进行党史知识测试，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则200名师生测试成绩的中位数是

⁠.（结果保留整数部分）

解析：由频率分布直方图知前三组频率之和为10×（0.01＋0.015＋0.02）＝0.45＜0.5，前四组频率之和10×（0.01＋0.015＋0.02＋0.03）＝0.75＞0.5，所以中位数在第四组，设中位数为m，则0.45＋（m－70）×0.03＝0.5，解得m≈72.答案：7210.甲、乙、丙三个厂家在广告中都声称，他们生产的同一品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进行抽查，抽查的各8个产品使用寿命的统计结果如下（单位：年）：甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12；乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12；丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10.（1）把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：平均数众数中位数甲厂乙厂丙厂解：（1）甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5.（2）估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量；解：（2）甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数.（3）如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？解：（3）选丙厂的节能灯.因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平.11.“小康县”的经济评价标准为：①年人均收入不低于7000元；②年人均食品支出（单位：元）不高于年人均收入的35%.某县有40万人，年人均收入如表所示，年人均食品支出如图所示，则该县（

）年人均收入/元02000400060008000100001200016000人数/万人63556753A.是小康县B.达到标准①，未达到标准②，不是小康县C.达到标准②，未达到标准①，不是小康县D.两个标准都未达到，不是小康县

12.某市政府部门为了解该市的“全国文明城市”创建情况，在该市的12个区县（市）中随机抽查了甲、乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核.在这两个县的量化考核分数（均为整数）中各随机抽取20个，得到如图所示的统计图（用频率分布直方图估计总体时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.关于甲、乙两县的量化考核分数，下列结论正确的是（

）A.甲县量化考核分数的平均数小于乙县量化考核分数的平均数B.甲县量化考核分数的中位数小于乙县量化考核分数的中位数C.甲县量化考核分数的众数不小于乙县量化考核分数的众数D.甲县量化考核分数不低于80的个数多于乙县

13.（多选）某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，则下列结论正确的是（

）A.这组数据的中位数是18B.这组数据的众数是20C.若在记录数据时漏掉了一个数据，则新数据的众数是20D.若在记录数据时漏掉了一个数据，则新数据的中位数是19解析：将这组数据按从小到大的顺序排列得6，8，10，15，16，18，18，19，19，20，20，20，20，23，25，根据中位数和众数的定义，可得数据的中位数和众数分别是19和20，故A错误，B正确；若在记录数据时漏掉了一个数据，则新数据中出现次数最多的数仍然是20，故C正确；若在纪录数据时漏掉的数据大于或等于19，则新数据的中位数是18.5，故D错误.故选B、C.14.某校高一年级举行了一次数学竞赛，为了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图所示），已知得分在[50，60），[90，100]内的频数分别为8，2.（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；

（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.解：（2）由题中频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数约为75.设中位数为m，∵（0.016＋0.030）×10＜0.5＜（0.016＋0.030＋0.040）×10，则m∈[70，80），∴（0.016＋0.030）×10＋（m－70）