直击2024年高考-高三数学函数题型（全国版） (二)

函数题型专练

【函数的定义域】

【例1】函数段)=菽力+产’的定义域为()

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

【答案】B

【解析】要使函数有意义，

x-\~1>0,

则需上+1W1,

、4—N20,

解得一1<XW2且x#0,

所以xG(—1,0)U(0,2].

所以函数的定义域为(-1,0)u(0,2].

【复合函数的定义域】

1

【例2】函数兀r)=卜ln(3x-D的定义域为()

7]-4x2

A.&

D.昌,i

【答案】B

【解析】要使函数-X)=后在+ln(3x—1)有意义,

【函数的解析式】

【例3】已知/©+1)=坨方则/)的解析式为

2

【答案】於）=ig17（x>i）

-2

【解析】令[+1=31),

贝”尸件2，

t—1

2

所以yw=ig=JOD,

2

所以4x)=lgj](x>l).

【分段函数】

（、

【例4】已知危）=[c"os7i1X）,+i,Q1,则噌+的4值为（）

A.gB.-；C.—1D.1

【答案】D

【解析】痣=倡—1）+1=痣+1

【求具体函数的单调区间】

【例5】（多选）下列函数在（0,+8）上单调递增的是（）

A.y—ex—e~xB.y—\x2—2x\

C.y=x+cosxD.y=\lx2+x—2

【答案】AC

【解析】..・y=ex与y=—为R上的增函数，

e"为R上的增函数，故A正确；

由y=右一2R的图象知，故B不正确；

对于选项C,y'=1—sinx20,

.*.y=x+cosx在R上为增函数，故C正确；

2的定义域为（一8,—2］U［1,+8）,故D不正确.

【判断或证明函数的单调性】

【例6］试讨论函数兀0=昌6/0）在（一1,1）上的单调性.

【解析】方法一设一1<沏<12<1,

危尸代名|=小+乙），

八为）一7te）=a（l+占一。（1+4

6Z（X2-X1）

（沏―1）（X2-1）'

由于一1<X1<X2<1,

所以％2—Xl>0,X1—1<0,X2—1<0,

故当〃>0时，孤羽）一人元2）〉0,即加1）次X2）,函数人幻在（一1,1）上单调递减;

当a<0时，月为）一/（%2）<0,

即大X1）勺（X2）,函数於）在（一1,1）上单调递增.

士旺一,（、3）’（x—l）—QX（X—1）

方法一f（%）―/Y—1、2

〃(％—1)—OX

一（x-1）2—（x-1）2,

当心0时，,（x）<0,函数人x）在（一1,1）上单调递减；

当a<0时，/（x）>0,函数4x）在（一1,1）上单调递增.

【比较函数值的大小】

【例7］已知函数次x）为R上的偶函数，对任意尤1，%2^（—8,0）,均有（xi—尬）［/（a）一五尤2）］<0成立,

若a=f（lnp）,b=@）,。=八/），则a,b,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】•・,对任意愈£（—8,0）,

均有（%1—x2）区的）—於2）］<0成立，

J此时函数在区间（一8,0）上单调递减,

••7U)是偶函数，

.•.当Xd(O,+8)时，於)单调递增,

£

又1工)=户在%£(0,+8)上单调递增,

l<e^<3^,

又0<lnA/2<1,

£j_

Iny[2<e'<3’，

Cj_\/1A

3§>f/次山仙),

k)\)

即a<c<b.

【求函数的最值】

【例8】函数y="某的最大值为________.

yx2+5

【答案】|2

【解析】令逸］2+4=九则t、2,

,..X2=,2-4,;,Y=-^-=^

设h(t)=t+-9

则力⑺在［2,+8)上为增函数,

5

・・/z«)min=/z(2)=,

1?

・・,户5=善=0时取等号).

2

2

即y的最大值为方

【解不等式】

【例9】已知函数於)=d,—log2(x+2),若加一2)>3,则a的取值范围是

【答案】(0,1)

八x）在定义域（一2,十8）上是减函数,

且负—1）=3,

由段―2）>3,得%—2）次—1）,

(a-2<—1,

-2>—2,

解得0<〃vl.

【求参数的取值范围】

炉，x21,

且满足对任意的实数XIWX2都有彗三詈>。成立,则

[例10]函数段)=<rd\

1^4—^Jx+2,x<\,

实数。的取值范围是（）

A.[4.8)B.(4,8)C.(1,8]D.(1,8)

【答案】A

cf,1,

（g满足对任意的实数xiwx2都a，儿®>o,

【解析】函数危）=

(4—助工+2,X<1xi%2

所以函数作尸[（4-/+2,X<1

是R上的增函数,

a

则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足j

。24—T+2,

<乙

解得4Wa<8,

所以实数。的取值范围为[4,8）.

【判断函数的奇偶性】

【例11】判断下列函数的奇偶性:

（1次r）=、3—/+出2—3；

[N+x,冗<0,

（2m）=_

[XIXjx>0；

(3VU)=log2(A-+^/x2+l).

［3一12三0,

解(1)由，.〔‘得/=3,解得x=±V5,

〔片一330,

即函数八处的定义域为｛—4，小｝,

从而fix)—yjs—x1+yjx1—3=0.

因此五一x)=-/U)且K-x)=Xx),

所以函数/(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)显然函数於)的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称.

•・•当x<0时，-x>0,

则X—X)=—(—X)2—X

=—X2—X=—fix)；

当x>0时，一x<0,

则J(—X)—(—X)2—X=:X1—X=—fix)；

综上可知，对于定义域内的任意X,总有五一x)=一九¥)成立，

函数应¥)为奇函数.

(3)显然函数1元)的定义域为R,

=log2（^/X2+l—X）

=log2(>>/x2+l+x)~l

=­log2(^/x2+l+x)=—fix),

故/(x)为奇函数.

【函数奇偶性的应用】

【例12】函数/(x)=x(e*+er)+l在区间［―2,2］上的最大值与最小值分别为〃，N,则M+N的值为

()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】C

【解析】依题意，令g(x)=x(e*+er),

显然函数g(x)的定义域为R,

则g(-x)=­x(eTx+ex)=—g(x),

即函数g(x)是奇函数，

因此，函数g(x)在区间［—2,2］上的最大值与最小值的和为0,而«r)=g(%)+l,

则有Af=g(X)max+l,N=g(X)min+l,

于是得M+N=g(x)max+1+g(x)min+1=2,

所以M+N的值为2.

【函数的周期性】

【例13】已知函数1x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x,式工一2)=«x+2),当工£(0,2)时,

加)=/，则/(券)等于()

911

--

--C

A.4B.

【答案】A44-

【解析】由八x—2)=黄尤+2),知y=Ax)的周期7=4,

又7U)是定义在R上的奇函数，

【函数的对称性】

【例14】已知函数八尤)的定义域为R,对任意尤都有式2+x)=/(2—x),且八—x)=/(x),则下列结论

正确的是()

A.小)的图象关于直线x=2对称

B.的图象关于点(2,0)对称

C.的周期为4

D.尸犬尤+4)为偶函数

【答案】ACD

【解析】'：fi2+x)=fi,2~x),则式x)的图象关于直线x=2对称，故A正确，B错误；

V函数式x)的图象关于直线x=2对称，

则X-x)=/(x+4),又4-x)=/(x),

.*.r=4,故C正确；

：T=4且式x)为偶函数，故y=/(x+4)为偶函数，故D正确.

【函数周期性与奇偶性结合】

【例15］已知函数f：，।的定义域为R.当〜。时，jI；当-1；时,

/<X);当时，/(才+g)(工一g),则/(6)=().

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D;

【解析】因为当，:时，

所以/1"二了:,「，11,

所以当r；・：时，周期为1,

故有/(6)=/⑴，

因为当1।时，,13，一，

所以当T'''I时，『：…是奇函数，

故而/(6)=/(1)=/(1),

因为当/1।时，，，।r'I,

所以fI112,

则有，山।22.

故选I).

【函数对称性与奇偶性综合】

【例16】已知/：是定义域为I-、・•、的奇函数，满足一。1-」若〃1)工2,则

/i：lH/i：2h/(3H--1/(50)=().

A.—541B.(|C.2D.7()

【答案】C;

【解析】因为是定义域为|'.，、」的奇函数，且fI--』1，一，

所以「.，「=/(r-1),

所以『；；-/*M.1t.1

所以/-I,

因此/⑴+/(2)+/(3)+…；山12711)4-/(2)+/(3)+/(4)|4-/(1)4-/(2),

因为，币=-/(1)，/(4)=-/(2),

所以/⑴4/(21t/l3iI/(4)=0,

因为/，，/：21--/i2),

所以f2iU，

从而/⑴+/(2)"(3)♦4/(50)/I2,

故选(’.

【函数对称性与单调性综合】

【例17］已知函数jc对定义域内任意J都满足且1门在工，'，上单调递减,

则〃<117.'।的大小关系是（）.

A.a>b><,B.b>c>aC.<>b>aD.b>a>c

【答案】D;

【解析】根据题意：/i.rl/H.1,

/r）关于直线」二：，对称，

又/（工）在艮30）上单调递减,

故了,，）在一X.3I上单调递增.

73>3^4>I»3'“，

即*.-（■,

故答案选I）.

【函数对称性与周期性综合】

【例18］已知定义在R上的函数/Gr）的图象关于点（-:.（））对称，且满足

/"）=—/（了♦2），/（T）=l・/（0）=-2,则八1;的值为（).

A.B.C.0D.1

【答案】D；

【解析】由函数f「的图象关于点(对称可知，…「一(一"1).

又/⑺=-/(」”’：)，则/(，'；)=/(,’；).

故/"+：»=/((工+2)+57

所以，/，，是以:，为周期的偶函数.

从而，/(1)=/(1)=15/(2)=/(-1+3)=/(-1)=1,/(3)=/(0)=-2.

故。山/⑵/.'"II；=心。1，，，，八不门，=yjinr.：1111.

【鬲函数的图象与性质】

【例19］若幕函数y=xr,y=/与y=非在第一象限内的图象如图所示，则〃?与〃的取值情况为

()

A.-1<m<O<n<1B.—l<n<0<m<2

1

C.—1<m<O<n<^D.—l<n<O<m<l

【答案】D

【解析】寡函数y=K,当a>0时，y=V在(0,+8)上单调递增，且0<a<l时，图象上凸,

0<m<}.

当a<0时，>=都在(0,+8)上单调递减.

不妨令x=2,由图象得2一1<2",则一1<麻0.

综上可知，-1<〃<0<机<1.

【二次函数的解析式】

【例20］若函数加)=(x+a)(bx+2a)(a,。^2满足条件八一号=加)，定义域为R,值域为(一8,

4］,则函数解析式月入)=.

【答案】一2H+4

［解析】火x)=(x+2a)

=bx2+(2a+ab)x+2a2.

・・"(一元)=加)，

••2a+ab=0,

••fix)—fex2+2d2.

•・VU)的定义域为R，值域为(一8,4］,

：.b<0,且2/=4,

:・b=12,=-2x2+4.

【二次函数的单调性与最值】

【例21］已知函数於)=函一比一1.

(1)若4工)在区间(一1,2)上不单调，求实数t的取值范围;

(2)若x^［—1,2］,求於)的最小值g«).

【解析】於)=/—比—1=1%—9―1一彳

(1)依题意，一1<32,

解得一2</<4,

・•・实数看的取值范围是(一2,4).

(2)①当即时，女)在［—1,2］上单调递减,

**.y(X)min=fl2)—3—2t.

②当一14<2,即一2<"4时,

③当—1,即w—2时，式X)在［—1,2］上单调递增,

•••AA-)min=X-l)=/.

〃t,—2,

综上有g(r)=j—1一不一2<r<4,

<3—2t,%24.

【指数黑的运算】

GY：J(4"T)3

［例22］)———U---------------r(«>0,b>0)=________.

⑷(0.1尸.(/.疔3,

【答案】|

33_3

【解析】原式=马誓写=|.

【指数函数的图象及应用】

【例23】已知实数a,6满足等式2021。=2022,，下列等式可以成立的是()

A.a—b—OB.a<b<0

C.Q<a<bD.0<b<a

【答案】ABD

【解析】如图，观察易知，a<6<0或0<6<a或。=6=0,故选ABD.

【比较指数式的大小】

【例24］若。=0.3。7,b=0J°\c=1.20-3,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】,函数y=0.3*在R上是减函数，

.,.O<O.3o-7<O.3o-3<O.3°=l,

又；嘉函数>=心3在(0,+8)上单调递增，

0.3<0.7,

.,.0<0,3°-3<0,7°-3,

/.0<a<Z?<l,

而函数丫=1.2£是R上的增函数，

/•c=1.20-3>1.20=l,/.c>b>a.

【指数方程或不等式】

【例25]已知>=牛一3-2工+3的值域为[1,7],则x的取值范围是（）

A.[2,4]B.（一8,0）

C.（0,1）U[2,4]D.（一8,0]U[l,2]

【答案】D

【解析】Vy=4J:-3.2x+3的值域为[1,7],

...lW4x—3-2x+3W7.

...—IWZ'WI或2W2y.

；.xW0或1WXW2.

【指数函数性质的综合应用】

【例26]已知函数加）=2叱叫根为常数），若危）在区间[2,+8）上单调递增，则根的取值范围是

【答案】（-8,4]

ryi\m

【解析】令t=\2x—m\,则，=|2尤一7川在区间[另，+8）上单调递增，在区间（-8,上单调递

减.而尸2是增函数，所以要使函数於）=2-词在[2,+8）上单调递增，则有齐2,

即所以机的取值范围是（-00,4].

【对数式的运算】

【例27】设2"=5"=m，且[+\=2,则相等于（）

A.V10B.10C.20D.100

【答案】A

【解析】2。=50=加，

Iog2m—a,logsm=b,

1

+-

b由+记嬴=l°g/+l°gm5

=logm10=2,

/2=10,

...根二寸访（舍zn=—A/IO）.

【对数函数的图象及应用】

【例28]已知函数段)=loga(2]+8—1)(〃>0,且〃W1)的图象如图所示，贝lj〃，b满足的关系是()

A.0<。一i<b<l

C.0<。1<〃<1D.0<a}<b{<1

【答案】A

【解析】由函数图象可知，於)为增函数，故〃>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log向，由函

数图象可知一lvlogab<0,解得！<Z?<1.综上有0<^<Z?<l.

【比较指数式、对数式大小】

【例29]设。=log3e,b=eL5,c=logj,则()

34

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

【角星析]c=log1—=log34>log3e=a.

34

又c—Iog34<logs9=2,b=e15>2,

a<c<b.

【解对数方程不等式】

【例30]若log/a+lklogaQ/bcOgX),a#l),则实数a的取值范围是

【答案】Q,1)

【解析】依题意10ga(〃+1)<10ga(2/)<10ga1,

[a+l<2y[a<l[〃+l>2\[a>l,

解得*a<l.

【对数性质的应用】

【例31】设函数1x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|,则穴尤)()

A.是偶函数，且在+8)上单调递增

B.是奇函数，且在(一；，上单调递减

C.是偶函数，且在(一8,一§上单调递增

D.是奇函数，且在(一8,一§上单调递减

【答案】D

【解析】y(x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|的定义域为卜卜wgj

又黄一无)=ln|—2%+1|—ln|-2x—l|

=ln|2x—1|—ln|2x+11=—fix),

工段)为奇函数,故排除A,C.

当xe(—8,一g时，

—2x-l

Ax)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=ln

，岩春)，

；y=l+S■在(一8,一^上单调递减，

由复合函数的单调性可得大了)在(一8,一，上单调递减.

【函数零点所在区间的判定】

【例32】(多选)函数4x)=eX—X—2在下列哪个区间内必有零点()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【答案】AD

【解析】八一2)=*>0,/-1)=1-1<0,

/0)=-1<0,加)=e—3<0,

/2)=e2-4>0,

因为"一2)次-1)<0,八1)•火2)<0,

所以八x)在(一2,—1)和(1,2)内存在零点.

【函数零点个数的判定】

【例33］若函数y=/3(xGR)满足於+1)=一危)，且正［—1,1］时，»=1-%2,已知函数g(x)=

［|lgx］,x>0,

则函数2)=危)一g(x)在区间［―6,6］内的零点个数为()

e，x<o,

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【解析】因为危+1)=—段)，

所以函数y=Ax)(x©R)是周期为2函数，

因为xd［—1,1］时，八尤)=1—N,

所以作出它的图象，则y=/(x)的图象如图所示.(注