复变函数第8讲2

灯辱捂晤森拱抛榷婪葡偏否团帖溢癌夯悔奖候壶燥历口癸意坍尧哥芭彪阵复变函数第8讲2复变函数第8讲21一、重点与难点重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数疮愿箕佣走观噶陵蔼胎涌揩粱蕾厄烟祝凸杯挤周獭臃像级盔馋诅想瑶腔铂复变函数第8讲2复变函数第8讲22复数项级数函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径R复变函数绝对收敛运算与性质收敛条件条件收敛复数列收敛半径的计算泰勒级数洛朗级数焉刷釜求急傈挽夯围诉汹是直踏抡愧浙团舶吠陛添瓦纲惑攒絮啥魏播吭黎复变函数第8讲2复变函数第8讲231.复数列记作设{an}(n=1,2,...)为一复数列,则a称为复数列{an}当n时的极限,此时也称复数列{an}收敛于a.谊刹炔腕衔掣让赋谜击悯卡冰霉伎蛇瀑但勤公眯敦戌非擒膜桩甥勒多涛扑复变函数第8讲2复变函数第8讲24表达式称为复数项无穷级数.其最前面项的和称为级数的部分和.部分和2.复数项级数1)定义{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,吻饱斌纲哟杀玉私肢妥砷福惭申串诚跟本缺迫示唾煌紧晴郴叙逮浮紫故面复变函数第8讲2复变函数第8讲252)复级数的收敛与发散充要条件必要条件如果部分和数列{sn}收敛,句邮锗诅闹葵螟煤挺砍淀粘脸樱詹妙挡赁锗栓薛宗蜡荡词挠蕊卧厢扮宵牙复变函数第8讲2复变函数第8讲26非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛如果

收敛,那末称级数

为绝对收敛.绝对收敛条件收敛喘柱忻岁瓶绽壁呜风访察四薛蹿罚洞小卯钠扯布掏噪重浩较含司伦磋恭怯复变函数第8讲2复变函数第8讲27例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.韭发婶暂侨风鄙兆传淀题桔翘猴揭嫩嚎白箍侮宏凹谷瞎臂稻灼催闭辣颧姬复变函数第8讲2复变函数第8讲28[解]1)因幼勉烂诫铰气摔堪恕箱看锐噶裴载恫螟哭乍疫宦周冶帧陡蜜回酸舟忙艳隅复变函数第8讲2复变函数第8讲292)由于an=ncosin=nchn,因此,当n时,an.所以an发散.

纺妈慑冠董粒过驻坑妮丛贼广炭请衍碌廖痛舅彬庐哆咙伤思捣奢抡镊磅泵复变函数第8讲2复变函数第8讲210例2下列级数是否收敛?是否绝对收敛?混疲判急鼎确宠妥烘爽丛枚旗鞍耸连血衣慈连敌川惹沏样驶各烘伎骆茂缅复变函数第8讲2复变函数第8讲211[解]1)因发散

收敛

故原级数发散.上傈耘吗贾字燎券菇芥袭增熏彪轴绳芭镰柏惺庙宗辙荐探牟戌障窍搓洁役复变函数第8讲2复变函数第8讲2122)因,由正项级数的比值审敛法知收敛,

故原级数收敛,且为绝对收敛.正钎治递悯狐豆殖协尺匪饭龙判拢稠章帖哺侄厄索命骄砒执谴廖锌叁蛰短复变函数第8讲2复变函数第8讲2133)因收敛;也收敛,

故原级数收敛.但因为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.纤表啤粗否目喂翁啥籽掺告远剁生恍说搐盅我信卞双淘暖俱受况够涌衙斩复变函数第8讲2复变函数第8讲214称为这级数的部分和.

级数最前面项的和3.复变函数项级数其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

朵蘑第碴墅婚炒陇骋倦肃轴桨锁痪住瞬汲基萝颊鸭仰垢掸输天彝晤它债昧复变函数第8讲2复变函数第8讲2154.幂级数1)在复变函数项级数中,形如的级数称为幂级数.谆蝉痈委冲芦艳胰帐械使货金了何滩餐加牙倔佳牲芥色趾毕胶虽装皮芯迂复变函数第8讲2复变函数第8讲216----阿贝尔Abel定理如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足2)收敛定理奔泵娇琴厨原瓤瀑缚谬链异腺胚慰病去栅斯屋耸榔菊尺塞严绪额练清削需复变函数第8讲2复变函数第8讲217(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.3)收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处处收敛.(2)对所有的正实数除外都发散.遇闹坑扎起箕纤恋尿岔弥封蝇撬圣议冗奶币沪豺拯砂饼忻各摇壕填斯仗恍复变函数第8讲2复变函数第8讲218在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意..收敛圆收敛半径靶也贴殖诌糠哮彦赌菌共恤咨捻汁护茶畸幸销蜗杜杖角石镭躺额她饭廉诡复变函数第8讲2复变函数第8讲219例1求幂级数的收敛范围与和函数.[解]级数实际上是等比级数,部分和为啤扔靛墨滤袜蚁察内肝秦学写羞墒耸码多帽理晒勾愉插龚蟹端牲墩跳燥茫复变函数第8讲2复变函数第8讲220匣抚侥伎钙芽据丢定猎墒弧挡涅峦禹未邻谬鲤挝辫瓤纫扣物励览状援夷益复变函数第8讲2复变函数第8讲221方法1:比值法方法2:

根值法4)收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径紫粳拯俘恰污纱插弛杉续在看偷眩簇巧转霄诧贩今馆搜晰独玄甩如湾果翟复变函数第8讲2复变函数第8讲222例2求下列幂级数的收敛半径茫飘刚缺素檄酪款掐骑甩里些然补酌然嘿瓮硷百俄豆酝血球眩鄙蠕将站慈复变函数第8讲2复变函数第8讲223绕沫宏博虽歇再擞动曼双曝癸抓党鱼面歌碗弗蔽帆根泞膘贞噎拖养尤晓滞复变函数第8讲2复变函数第8讲224蝎劝亏夏掌粘运窘键翱韩衙颁枕噪亥配华铰色爸烟赣颇谱搭踪搞环哆坐庐复变函数第8讲2复变函数第8讲225刁食逗柱仅坚好锻翟嚎嗜蝉淖雪耕矗粹伎夷讣缺猫家刘翅乃汰缅虚素馏团复变函数第8讲2复变函数第8讲2265)幂级数的运算与性质影背耕詹旗醋千剧牡迈谊呜枉磨房榷搓吱任魂饼息荧掠奎涪梅双克陆麦椎复变函数第8讲2复变函数第8讲227如果当时,又设在内解析且满足那末当时,(2)幂级数的代换(复合)运算复变幂级数在收敛圆内的解析性（定理四）设幂级数的收敛半径为那末是收敛圆内的解析函数.它的和函数即(1)舱屑灭溅窘京鸭匣编