函数的连续性和间断点

关于函数的连续性和间断点一、函数的连续性1.函数的增量第2页,共32页，2024年2月25日，星期天2.连续的定义第3页,共32页，2024年2月25日，星期天第4页,共32页，2024年2月25日，星期天可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;第5页,共32页，2024年2月25日，星期天例1证由定义2知第6页,共32页，2024年2月25日，星期天3.单侧连续定理第7页,共32页，2024年2月25日，星期天例2解右连续但不左连续,第8页,共32页，2024年2月25日，星期天对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:第9页,共32页，2024年2月25日，星期天4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第10页,共32页，2024年2月25日，星期天continue例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有第11页,共32页，2024年2月25日，星期天例3证第12页,共32页，2024年2月25日，星期天补充.

设在x=0处连续，求常数a与b应满足的关系。第13页,共32页，2024年2月25日，星期天二、函数的间断点第14页,共32页，2024年2月25日，星期天1.跳跃间断点例4解第15页,共32页，2024年2月25日，星期天2.可去间断点例5第16页,共32页，2024年2月25日，星期天解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.第17页,共32页，2024年2月25日，星期天如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第18页,共32页，2024年2月25日，星期天3.第二类间断点例6解第19页,共32页，2024年2月25日，星期天例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第20页,共32页，2024年2月25日，星期天思考：解第21页,共32页，2024年2月25日，星期天

讨论若有间断点判别其类型，并作出图形（P65，EX4）解第22页,共32页，2024年2月25日，星期天第23页,共32页，2024年2月25日，星期天三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)第24页,共32页，2024年2月25日，星期天第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyx可去型oyx第25页,共32页，2024年2月25日，星期天思考题第26页,共32页，2024年2月25日，星期天思考题解答且第27页,共32页，2024年2月25日，星期天但反之不成立.例但第28页,共32页，2024年2月25日，星期天练习题第29页,共32页，2024年2月25日，星期天第30页,共32页，2024年2月25日，星期天