中考动点问题、最小值

中考动点问题、最小值。第页中考真题解析☆动态专题一、选择题1.（2011辽宁本溪，8，3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A．2 B．4 C． D．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质专题：探究型分析：作D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．解答解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=，即DQ+PQ的最小值为．故选C．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2.（2011重庆市，10，4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是考点：动点问题的函数图象；正比例函数的图象；二次函数的图象；三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．分析：过A作AH⊥X轴于H，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AH，根据三角形的面积即可求出答案．答案：解：过A作AH⊥X轴于H，

∵OA=OC=4，∠AOC=60°，

∴OH=2，

由勾股定理得：AH=2，

①当0≤t≤2时，ON=t，MN=t，S=ON•MN=t2；

②＜t≤6时，ON=t，S=ON•2=t．

故选C．点评：本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．3.（2011北京，8，4分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（） A． B． C． D．考点：动点问题的函数图象。专题：数形结合。分析：本题需先根据题意，求出y与x的函数关系式，即可得出y与x的函数关系图象．解答：解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴当x=0时，y的值是QUOTE．∵当x=2时，y的值无限大，∴y与x的函数关系图象大致是B．故选B．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据题意得出函数关系本题的关键．4.如图，边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形．设穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），那么S关于t的函数大致图象应为（）

A、B、C、D、【答案】D【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据边长都是1的正方形和正三角形，可知三角形进入正方形当0≤t≤时，以及当＜t＜1时，当1＜t≤时以及当＜t≤2时，求出函数关系式，即可得出答案．【解答】解：∵边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形．

穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），

∴S关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前是空白面积逐渐增大，当0≤t≤时，S=，

当＜t≤1时，S=，

当1＜t≤时，S=，当＜t≤2时，S=，

∴S与t是二次函数关系．∴只有D符合要求．故选D．【点评】此题主要考查了函数图象中动点问题，根据移动路线以及图形边长即可得出空白面积的函数关系式情况是解决问题的关键．5.（2011湖州，10，3分）如图，已知A、B是反比例函数QUOTE（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A. B. C. D.考点：反比例函数综合题；动点问题的函数图象.专题：综合题.分析：当点p在OA上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P在AB上运动时，S不变，当点P在BC上运动时，S随t的增大而减小，根据以上判断做出选择即可．解答：解：当点p在OA上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P在AB上运动时，S不变，∴B、D淘汰；当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，∴C错误．故选A．点评：本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象．6.（2011•莱芜）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是（）A、 B、C、 D、考点：动点问题的函数图象。分析：根据则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，当P点在AB上，当P点在BC上，当P点在CD上，点P在AD上即可得出图象．解答：解：∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P点在AB上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，P点在BC上，此时纵坐标为定值1．当P点在CD上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，P点在AD上，此时纵坐标为定值2．故选D．点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．7.（2011年山东省威海市，12，3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD–DC–CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A,B、C、D、考点：动点问题的函数图象．专题：动点型．分析：当点N在AD上时，易得S△AMN的关系式；当点N在CD上时，高不变，但底边在增大，所以S△AMN的面积关系式为一个一次函数；当N在BC上时，表示出S△AMN的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．解答：解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，

点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y随x的增大而增大，所以排除C、D；

当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9–3x）=–x2+，开口方向向下．

故选B．点评：考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．8.（2011山东滨州，11，3分）如图.在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=4cm,将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至的位置,且A、C、三点在同一条直线上,则点A所经过的最短路线的长为()A.B.8cmC.D.【考点】旋转的性质；弧长的计算．【分析】点A所经过的最短路线是以C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，A、C、B'三点在同一条直线上，

∴∠ACA′=120°．

又AC=4，

∴L=（cm）．

故选D．【点评】此题考查了性质的性质和弧长的计算，搞清楚点A的运动轨迹是关键．难度中等．9.（2011年山东省东营市，12，3分）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）A、2B、3C、4D考点：直线与圆的位置关系；一次函数综合题．分析：根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．解答：解：∵直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，

圆心P的坐标为（1，0），

∴A点的坐标为：0=x+，

x=-3，A（-3，0），

B点的坐标为：（0，），

∴AB=2，

将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切与C1时，P1C1=1，

根据△AP1C1∽△ABO，

∴，

∴AP1=2，

∴P1的坐标为：（-1，0），

将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切与C2时，P2C2=1，

根据△AP2C2∽△ABO，

∴，

∴AP2=2，

P2的坐标为：（-5，0），

从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个．

故选B．点评：此题主要考查了直线与坐标轴的求法，以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键．10.（2011四川省宜宾市，8，3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三(8题图)角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x(8题图)考点：动点问题的函数图象．分析：根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点p在DC山运动时，y随着x的增大而增大，当点p在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．答案：解：当点P由点A向点D运动时，y的值为0；

当点p在DC山运动时，y随着x的增大而增大；

当点p在CB上运动时，y不变；

当点P在CA上运动时，y随x的增大而减小．

故选B．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．11.（2011，四川乐山，5，3分）将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（） A.y=﹣（x+2）2 B.y=﹣x2+2C.y=﹣（x﹣2）2 D.y=﹣x2考点：二次函数图象与几何变换。专题：动点型。分析：易得原抛物线的顶点和平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数用顶点式可得所求抛物线．解答：解：∵原抛物线的顶点为（0，0），∴新抛物线的顶点为（﹣2，0），设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）2+k，∴新抛物线解析式为y=﹣（x+2）2，故选A．点评：考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；左右平移只改变顶点的横坐标，左加右减．二、填空题1.（2011山东济南，21，3分）如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第秒．考点：直线与圆的位置关系；等边三角形的性质。专题：动点型。分析：若以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切，即为当点O在AC上，且和BC边相切的情况．作OD⊥BC于D，则OD=，利用解直角三角形的知识，进一步求得OC=2，从而求得OA的长，进一步求得运动时间．解答：解：根据题意，则作OD⊥BC于D，则OD=．在直角三角形OCD中，∠C=60°，OD=，∴OC=2，∴OA=6﹣2=4，∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．故答案为：4．点评：此题考查了直线和圆相切时数量之间的关系，能够正确分析出以O为圆心、QUOTE为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时的位置．2.（2011浙江宁波，16，3）抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝x2+1．考点：二次函数图象与几何变换。专题：动点型。分析：函数y＝x2的图象向上平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数．解答：解：∵抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2+1．故答案为：y＝x2+1．点评：考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移只改变顶点的纵坐标，上加下减．3.（2011黑龙江牡丹江，7，3分）把抛物线y=（x﹣2）2﹣3向下平移2个单位，得到的抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）．考点：二次函数图象与几何变换。专题：动点型。分析：易得原抛物线的顶点及新抛物线的顶点，利用顶点式及平移不改变二次项的系数可得新抛物线的解析式，展开后可得抛物线与y轴交点坐标为（0，c）．解答：解：由题意得原抛物线的顶点为（2，﹣3），∴新抛物线的顶点为（2，﹣5），∴新抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣5=x2﹣4x﹣1，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1），故答案为（0，﹣1）．点评：考查二次函数的平移问题；得到平移前后的顶点是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数的平移，看顶点的平移即可；二次函数的平移不改变二次项的系数．4．(2011襄阳，17，3分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．考点：梯形；平行四边形的性质。专题：动点型。分析：由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，(1)当Q运动到E和B之间，(2)当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．解答：解：由已知梯形，(1)当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：2t－QUOTE＝6－t，解得：t＝QUOTE，(2)当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：QUOTE－2t＝6－t，解得：t＝2，故答案为：2或QUOTE．点评：此题考查的知识点是梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．13．（2010河南，13，3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为4．考点：角平分线的性质；垂线段最短分析：根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件推出∠C=∠ADC，推出△ABC≌△PBD，即可AD=DP．解答：解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，∠ADB=∠C，∠A=90°，∴∠C=∠ADC，∴△ABC≌△PBD，∵AD=4，∴DP=4．故答案为：4．点评：本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、全等三角形的判定和性质、角平分的性质，解题的关键在于确定好DP处置于BC．5.（2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是OOOOOOl考点：弧长的计算。分析：根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求．解答：解：由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即QUOTE圆的周长，然后沿着弧O2O3旋转QUOTE圆的周长，最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，则半圆形的弧长l=QUOTE=2π，∴圆心O所经过的路线长=（2π+50）米．点评：本题主要考查了弧长公式l=nπr180，同时考查了平移的知识．解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长．6.（2011•贵港）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是3．考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；平行线分线段成比例。专题：计算题。分析：连接AG交EF于M，根据等边三角形的性质证明A、G关于EF对称，得到P、E重合时，△PBG周长最小，求出AB+BG即可得到答案．解答：解：要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可．连接AG交EF于M．∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴AG⊥BC，EF∥BC，∴AG⊥EF，AM=MG，∴A、G关于EF对称，∴P点与E重合时，BP+PG最小，即△PBG的周长最小，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．故答案为：3．点评：本题主要考查对等边三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能求出BP+PG的最小值是解此题的关键．7.（2011•贺州）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是（2011，2）．考点：点的坐标。专题：规律型。分析：根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．解答：解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，∴横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∴经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：2011÷4=502余3，故纵坐标为四个数中第三个，即为2，∴经过第2011次运动后，动点P的坐标是：（2011，2），故答案为：（2011，2）．点评：此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．8.如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于6cm2．考点：旋转的性质；解直角三角形．专题：计算题．分析：将△ABC绕点A逆时针旋转15°，得到∠AB′D=45°-15°=30°，利用三角函数即可求出B′D的长，然后根据直角三角形的面积公式即可求出阴影部分面积．解答：解：∵∠AB′D=∠B′AC′-∠DAC′=45°-15°=30°，

∴B′D=AB′tan30°=6×=2，

S△AB′D=×6×2=6．

故答案为：6．点评：此题考查了旋转的性质和解直角三角形的相关计算，找到图中的特殊角∠B′AD是解题的关键．9.（2011辽宁本溪，15，3分）菱形OCAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O的坐标是（0，0），点A在Y轴的正半轴上，点P是菱形对角线的交点，点C坐标是（，3）若把菱形OCAB绕点A逆时针旋转90°，则点P的对应点P′的坐标是．考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质专题：计算题分析：首先根据题意找出P′的位置，根据已知求出P′的坐标即可．解答：解：把菱形OCAB绕点A逆时针旋转90°，则点P的对应点P′，横坐标是3，纵坐标是3+3=6，∴P′（3，6）．故答案为：（3，6）．点评：本题主要考考查对菱形的性质，坐标与图形变化﹣旋转等知识点的理解和掌握，能根据题意确定P′的位置是解此题的关键．10．（2011湖南衡阳，18，3分）如图1所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，那么△ABC的面积是10．考点：动点问题的函数图象。分析：本题需先结合函数的图象求出AB、BC的值，即可得出△ABC的面积．解答：解：根据题意可得：AB=5，BC=4，∴△ABC的面积是：×4×5=10．故答案为：10．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出线段的长度从而得出三角形的面积是本题的关键．三、解答题1.（2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤QUOTE时；②当QUOTE＜t≤QUOTE时；③当QUOTE＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；（3）当t=5时，面积最大；解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4；（2）：①当0＜t≤QUOTE时，S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；②当QUOTE＜t≤QUOTE时，S与t的函数关系式是：y=4t2﹣QUOTE[2t﹣QUOTE（2﹣t）]×QUOTE[2t﹣QUOTE（2﹣t）]=﹣QUOTEt2+11t﹣3；③当QUOTE＜t≤2时；S与t的函数关系式是y=QUOTE（t+2）×QUOTE（t+2）﹣QUOTE（2﹣t）（2﹣t）=3t；（3）当t=5时，最大面积是：S=16﹣QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE；点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．2.（2011•泰州，28，12分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：几何动点问题；几何综合题。分析：（1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．（2）过P点做x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．解答：解：（1）∵∠BPA=90°，PA=PB，∴∠PAB=45°，∵∠BAO=45°，∴∠PAO=90°，∴四边形OAPB是正方形，∴P点的坐标为：（a，a）．（2）作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，∴∠FPB=∠EPA，∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，∴△PBF≌△PAE，∴PE=PF，∴点P都在∠AOB的平分线上．（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点．3.（2011•江苏徐州，27，8）如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发xs时，△PBC的面积为ycm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。分析：（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得△DOE是等腰三角形；（2）设D（,QUOTE），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=QUOTE时，△DOE∽△ABC．解答：解：（1）△DOE是等腰三角形．作DF⊥OE于F，∵AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，∴点F是OE的中点，∴DF是OE的垂直平分线，∴DO=DE，∴DOE是等腰三角形．（2）由题意得：D（,QUOTE），∵DO=DE，AB=AC，∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，在Rt△DOF中，tan∠DOF=，由QUOTE=tan30°=QUOTE，得a=QUOTE，∴当a=QUOTE时，△DOE∽△ABC．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．4.（2011江苏无锡，26，6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。专题：作图题；几何综合题。分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．解答：解：（1）作图如图；（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、QUOTE、1，翻转角分别为90°、90°、150°，∴S==QUOTE+π+QUOTEπ+2=QUOTEπ+2．点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确的得到点A的翻转角度和半径．5.（2011江苏无锡，27，10分）如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．考点：直线与圆的位置关系；解一元一次方程；坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质。专题：计算题；代数几何综合题；动点型。分析：（1）根据点P与直线l的距离d＜1分为点P在直线l的左边和右边，分别表示距离，列不等式组求范围；（2）四边形CPBD不可能为菱形．依题意可得AC=t，OC=4﹣t，PA=3t﹣4，PB=7﹣3t，由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性质得CD=PB可求t的值，又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7﹣3t，把t代入PA2+AC2，PC2中，看结果是否相等如果结果不相等，就不能构成菱形．设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t﹣a，OC=4﹣t+a，再利用平行线表示CD，根据CD=PB，PC∥OB，得相似比，分别表示t，列方程求a即可．解答：解：（1）当P在线段OA上运动时，OP=3t，AC=t，⊙P与直线l相交时，QUOTE，解得QUOTE＜t＜QUOTE；（2）四边形CPBD不可能为菱形．依题意，得AC=t，OC=4﹣t，PA=3t﹣4，PB=7﹣3t，∵CD∥AB，∴QUOTE，即QUOTE，解得CD=QUOTE（4﹣t），由菱形的性质，得CD=PB，即QUOTE（4﹣t）=7﹣3t，解得t=QUOTE，又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7﹣3t，当t=QUOTE时，代入PA2+AC2=（3t﹣4）2+t2=QUOTE，PC2=（7﹣3t）2=QUOTE，∴PA2+AC2≠PC2，就不能构成菱形．设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t﹣a，OC=4﹣t+a，由CD∥AB，得CD=QUOTE（4﹣t+a），由CD=PB，得QUOTE（4﹣t+a）=7﹣3t，解得t=QUOTE，PC∥OB，PC=CD，得，即AB•PC=OB•AP，3×QUOTE（4﹣t+a）=5×（3t﹣4），解得t=QUOTE，则QUOTE=QUOTE，解得a=QUOTE，即直线l比P点迟QUOTE秒出发．点评：本题考查了直线与圆的关系，勾股定理的运用，菱形的性质．关键是根据菱形的性质，对边平行，邻边相等，得出相似比及边相等的等式，运用代数方法，列方程求解．6.（2011江苏镇江常州，27，9分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数QUOTEy＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴．y轴分别相交于A．B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P．Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．（1）写出A点的坐标和AB的长；（2）当点P．Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2．y轴都相切，求此时a的值．考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何动点问题；分类讨论．分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；（2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．解答：解：（1）∵一次函数QUOTEy＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴．y轴分别相交于A．B两点，∴y=0时，x=﹣4，∴A（﹣4，0），AO=4，∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，∴AB=5；（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，QUOTE=QUOTE=t，又∠PAQ=∠OAB，∴△APQ∽△AOB，∴∠APQ=∠AOB=90°，∵点P在l1上，∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：∴QUOTE＝，∴PQ=6；连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，得：QUOTE＝，∴＝QUOTE，∴QUOTE＝，∴QC=QUOTE，∴a=OQ+QC=QUOTE，②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：QUOTE=QUOTE，∴PQ=QUOTE，连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：QUOTE=QUOTE，∴QUOTE＝，＝，∴QC=QUOTE，a=QC﹣OQ=QUOTE，∴a的值为QUOTE和QUOTE，点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案．7.（2011山西，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t>0），△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为_____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论专题：压轴题分析：⑴由题意不难得出点C的坐标为(3，4)．因为直线l经过O、C两点，所以设其解析式为，将点C(3，4)代入，解得，所以直线l的解析式为．⑵求S与t的函数关系式，关键是确定MP及点Q到MP的距离．根据题意，得OP＝t，AQ＝2t，根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论．当0＜t≤时；如图第26题（2）图1，由题意可证△AEQ∽△ODC，得，．∴Q点的坐标是（，）．∴．∴．②当＜t≤3时；如图第26题（2）图2，∵BQ＝2t－5，∴OF＝11－(2t－5)＝16－2t．∴Q点的坐标是（16－2t，4）．∴PF＝16－2t－t＝16－3t．∴．③当3＜t＜时，如图第26题（2）图3，当点Q与点M相遇时，16－2t＝t，解得．当3＜t＜时，如图3，MQ＝16－2t－t＝16－3t，MP＝4．∴⑶根据题（2）中S与t的函数关系，先分别求出①当0＜t≤时；②当＜t≤3时；③当3＜t＜时，t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．最后综合上述各情况判断得出t为何值时，S的最大值．①当0＜t≤时，．∵a＝＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－20，∴当0＜t≤时，S随t的增大而增大．∴当t＝时，S有最大值，最大值为．②当＜t≤3时，．∵a＝－2＜0．抛物线开口向下，∴当时，S有最大值，最大值为．③当3＜t＜时，，∵k＝－6＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t＝3时，S＝14．当t＝时，S＝0，∴0＜S＜14．综上所述，当时，S有最大值，最大值为．⑷如图第26图（4），当NM＝MQ时，即，△QMN为等腰三角形．解答：（1）（3，4）；．（2）根据题意，得OP＝t，AQ＝2t，分三种情况讨论：①当0<t≤时，如图1，M点的坐标是，过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得△AEQ∽△ODC，∴，∴，∴AE＝，EQ＝，∴Q点的坐标是，∴PE＝8＋－t＝8＋，∴．②当<t≤3时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，∵BQ＝2t－5，∴OF＝11－(2t－5)＝16－2t，∴Q点的坐标是（16－2t，4），∴PF＝16－2－t＝16－3t．∴．③当点Q与点M相遇时，16－2t＝t，解得t＝．当3<t<时，如图3，MQ＝16－2t－t＝16－3t，MP＝4，∴．（3）①当0<t≤时，．∵a＝>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线t＝－20，当0<t≤时，S随t的增大而增大，∴当t＝时，S有最大值．最大值为．②当<t≤3时，，∵a＝－2<0，抛物线开口向下，∴当t＝时，S有最大值，最大值为．③当3<t<时，S＝－6t＋32，∵k＝－6<0，∴S随着t的增大而减小，又∵当t＝3时，S＝14，当t＝时，S＝0，所以0<S<14．综上所述，当t＝时，S有最大值，最大值为．（4）当t＝时，△QMN为等腰三角形．点评：根据题意合理分类，是学生解题中遇到的难点，也是易错点．用分类讨论的思想来研究动态型题是解此类问题常用的方法．8.（2011四川广安，30，12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（－1，0），B(－1，2)，D(3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P．使得PA＝PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值．考点：抛物线，存在，动态，压轴专题：压轴题、综合题分析：（1）由题意可知点M的坐标为（0，2），根据平移可知线段DM是向左平移3个单位得到线段NO的，由此可知N（－3，2），把D、M、N三点的坐标代入即可得到抛物线的解析式．（2）由题意可知点P应该是线段AC的垂直平分线与抛物线的交点，为此需要确定AC的垂直平分线所在的直线的函数解析式，然后通过解方程组确定交点坐标，若能求得，则说明存在，否则说明不存在．（3）由题意可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，所以QE＝QD，所以，延长DC交抛物线的对称轴相交，当点Q在交点上时，QD－QC＝CD，此时的值最大，恰好为线段CD的长．解答：（1）解：由题意可得M（0，2），N（－3，2），∴解得：∴y＝（2）∵PA＝PC，∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y＝－x＋1．根据题意可列方程组解得：∴P1（）、P2（）．（3）如图所示，延长DC交抛物线的对称轴于点Q，根据题意可知此时点Q满足条件．由题意可知C（1，2），D（3，0），可求得CD所在的直线的解析式为．抛物线的对称轴为直线．∵点Q在直线x＝－1.5上，又在直线上．∴Q（－1.5，4.5），QE＝QD．∴．即当点Q的坐标为（－1.5，4.5）时，有最大值，最大值为．点评：（1）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，运用时要确定好图象上关键点的坐标，本题中点N的坐标可以根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律来得到．（2）求函数的交点坐标，通常是通过解由两个函数的解析式联立所得的方程组来求解．本题综合性强，解答时需具备较强的数学基本功，若知识掌握欠缺，则不容易得分．9.（2011新疆建设兵团，24，10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形．分析：（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，然后，根据∠B的正弦值，即可推出AB的长度；（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP＝CQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，∠B＝∠APB＝∠BAP＝45°，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．解答：解：（1）作AE⊥BC，∵等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∴BE＝（BC﹣AD）÷2＝2.5，∵∠B＝45°，∴AB＝eq\f(5eq\r(2),2)QUOTE，（2）作QF⊥BC，∵等腰梯形ABCD，∴∠B＝∠C＝45°，∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP＝x，∴BP＝CQ＝x，∵BC＝9，∴CP＝9﹣x，QF＝eq\f(eq\r(2),2)xQUOTE，设△PQC的面积为y，∴y＝（9﹣x）•eq\f(eq\r(2),2)x·eq\f(1,2)，即y＝－eq\f(eq\r(2),4)xeq\s(2)＋eq\f(9eq\r(2),4)xQUOTE，∴当x＝﹣eq\f(b,2a)＝eq\f(9,2)时，y的值最大，∴当x＝eq\f(9,2)QUOTE时，△PQC的面积最大，（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，∵等腰梯形ABCD，∠B＝∠C＝45°，∴CQ＝CP＝BP＝MP，∠B＝∠C＝∠MPB＝45°，∴∠BMP＝45°，∵∠B＝∠APB＝∠BMP＝45°，不符合三角形内角和定理，∴假设不存在，∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可．10.（2011•河池）已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。分析：（1）利用待定系数法将A（6，0）和B（0，12）代入解析式，求出即可；（2）将两函数解析式联立，得出点C的坐标，再利用△OPD∽△OAC，进而求出QUOTE=QUOTE，再利用二次函数最值求出即可；（3）分别根据P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4解答：解：（1）设直线L解析式为y=kx+b，将A（6，0）和B（0，12）代入，得：QUOTE，解得：QUOTE，∴直线L解析式为y=﹣2x+12；（2）解方程组：QUOTE，得：QUOTE，∴点C的坐标为（4，4），∴S△COP=QUOTEx×4=2x；∵PD∥L，∴△OPD∽△OAC，∴QUOTE=QUOTE，而QUOTE=QUOTE，∴QUOTE=QUOTE，即QUOTE=QUOTE，∴△PCD的面积S与x的函数关系式为：S=﹣QUOTEx2+2x，∵S=﹣QUOTE（x﹣3）2+3，∴当x=3时，S有最大值，最大值是3．（3）存在点P，使得△PCA成为等腰三角形，∵点C的坐标为（4，4），A（6，0），根据P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4当P1C=CA时，P1（2，0当P2A=AC时，P2（6﹣2QUOTE，0），当P3A=AC时，P3（6+2QUOTE，0），当P4C=P4A时，P4（1，∴点P的坐标分别为：P1（2，0），P2（6﹣2QUOTE，0），P3（6+2QUOTE，0），P4（1，0）．点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及三角形的相似的性质与判定和二次函数的最值、勾股定理等知识，题目综合性较强，相似经常与函数综合出现，利用数形结合得出是解决问题的关键．11.（2011•菏泽）如图，抛物线y=QUOTEx2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．考点：二次函数综合题。分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=QUOTEx2+bx﹣2上，∴QUOTE×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=QUOTE∴抛物线的解析式为y=QUOTEx2﹣QUOTEx﹣2．y=QUOTEx2﹣QUOTEx﹣2=QUOTE（x2﹣3x﹣4）=QUOTE（x﹣QUOTE）2﹣QUOTE，∴顶点D的坐标为（QUOTE，﹣QUOTE）．（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，QUOTEx2﹣QUOTEx﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）∴OA=1，OB=4，AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM．∴QUOTE∴QUOTE，∴m=QUOTE．解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，则QUOTE，解得n=2，QUOTE．∴QUOTE．∴当y=0时，QUOTE，QUOTE．∴QUOTE．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．12.（2011•郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；解直角三角形。分析：（1）由∠EPF=∠QPM=90°，利用互余关系证明△PQE∽△PMF；（2）相等．运动速度相等，时间相同，则BP=BQ，∠B=60°，△BPQ为等边三角形，可推出∠MPA=∠A=30°，等角对等边；（3）由面积公式得S△PEM=QUOTEPE×PF，解直角三角形分别表示PE，PF，列出函数式，利用函数的性质求解．解答：证明：（1）∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，∴∠EPQ=∠FPM，∴△PQE∽△PMF；（2）相等．∵PB=BQ，∠B=60°，∴△BPQ为等边三角形，∴∠BQP=60°，∵△PQE∽△PMF，∴∠PMF=∠BQP=60°，又∠A+∠APM=∠PMF，∴∠APM=∠A=30°，∴PM=MA；（3）AB=QUOTE=QUOTE=20，BP=x，则AP=20﹣x，PE=xcos30°=QUOTEx，PF=（20﹣x）•QUOTE，S△PEM=QUOTEPE×PF，∴y=QUOTE•QUOTEx•QUOTE=QUOTE（20x﹣x2）=﹣QUOTE（x﹣10）2+QUOTE（0≤x≤10）．∴当x=10时，函数的最大值为QUOTE．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质．关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系13.（2011•郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（QUOTE）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．考点：二次函数综合题。分析：（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a，b的值确定解析式；（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；（3）可作出对称轴与x轴的交点为K，过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，因为抛物线过原点O（0，0）．所以c=0．QUOTE，QUOTE．所以y=﹣QUOTEx2+QUOTEx；（2）由（1）可知抛物线的对称轴是x=﹣QUOTE=QUOTE．所以它不会随P的移动而改变；（3）点O（0，0）可满足．设抛物线的对称轴与x轴交于K，过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点，则△Q1PB，△Q2PB是等腰三角形．因为P点的坐标是（QUOTE，QUOTE）．所以Q1Q2的解析式是：y=x﹣QUOTE，抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x．所以直线和抛物线的交点Q1，Q2两点的坐标是（QUOTE，QUOTE），（QUOTE，﹣QUOTE）．点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标．14.（2011•湘西州）如图．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．（1）求点A、点B和点C的坐标．（2）求直线AC的解析式．（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB=6，求点M的坐标．（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）令y=0求得抛物线与横轴的交点坐标，令x=0求得图象与y轴的交点坐标即可．（2）利用已知的两点的坐标根据待定系数法求得一次函数的解析式即可．（3）设出点M的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），然后表示出其面积QUOTE=6，解得即可．（4）证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．解答：（1）令﹣x2﹣2x+3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x1=﹣3，x2=1，A（﹣3，0）B．（1，0），C（0，3）；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得QUOTE，解之得QUOTE，y=x+3；（3）设M点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），AB=4，因为M在第二象限，所以﹣x2﹣2x+3＞0，所以QUOTE=6，解之，得x1=0，x2=﹣2，当x=0时，y=3，（不合题意）当x=﹣2时，y=3．所以M点的坐标为（﹣2，3）；（4）由题意，得AB=4，PB=4﹣t，∵AO=3，CO=3，∴△ABC是等腰直角三角形，AQ=2t，所以Q点的纵坐标为QUOTEt，S=QUOTE（1＜t＜4）∵QUOTE，∴当t=2时，△APQ最大，最大面积是QUOTE．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．15.（2011成都，20，10分）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK＝QUOTEKC，求QUOTE的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝QUOTEAD时，猜想线段AB．BC．CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE＝QUOTEAD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB，BC，CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。专题：计算题；几何动点问题。分析：（1）由已知得，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用求值；（2）AB＝BC＋CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB＝∠EBA＝∠GBE，则EG＝BG＝QUOTEBC，而GF＝QUOTECD，EF＝QUOTEAB，利用EF＝EG＋GF求线段AB．BC．CD三者之间的数量关系；当AE＝QUOTEAD（n＞2）时，EG＝BG＝QUOTEBC，而GF＝QUOTECD，EF＝AB，EF＝EG＋GF可得BC＋CD＝（n－1）AB．解答：解：（1）∵BK＝QUOTEKC，∴，又∵CD∥AB，∴△KCD∽△KBA，∴；（2）当BE平分∠ABC，AE＝QUOTEAD时，AB＝BC＋CD．证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，又∠EBA＝∠GBE，∴∠GEB＝∠GBE，∴EG＝BG＝QUOTEBC，而GF＝QUOTECD，EF＝QUOTEAB，∵EF＝EG＋GF，∴AB＝BC＋CD；当AE＝QUOTEAD（n＞2）时，BC＋CD＝（n－1）AB．点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．16.（2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BAC，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．

证明：∵CE平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO，

又∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4，

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，

∴四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定．解题的关键是利用对角线互相平分的四边形是平行四边形开证明四边形AECF是平行四边形，并证明∠ECF是90°．17.（2011年山东省东营市，24，12分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC

上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段0A上时，且tan∠DEC=．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC考点：一次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），

∴B（-3，1），

若直线经过点A（-3，0）时，则b=，

若直线经过点B（-3，1）时，则b=，

若直线经过点C（0，1）时，则b=1，

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，

此时E（2b，0），

∴S=OE•CO=×2b×1=b；

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

∴S=S矩-（S△OCD+S△OAE+S△DBE）

=3-[（2b-2）×1+×（5-2b）•（-b）+×3（b-）]

=b-b2，

∴S=；（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，

∴四边形DNEM为平行四边形，

根据轴对称知，∠MED=∠NED又∠MDE=∠NED，

∴∠MED=∠MDE，

∴MD=ME，

∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，=，DH=1，

∴HE=2，

设菱形DNEM的边长为a，

则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12，

∴a=，

∴S四边形DNEM=NE•DH=．

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．18.（2011山东菏泽，20，12分）如图，抛物线y=QUOTEx2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值解答：解：（1）把点A（﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=QUOTEx2+bx﹣2，整理后解得QUOTE，所以抛物线的解析式为QUOTE．顶点DQUOTE；（2）AB=5．AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．设抛物线的对称轴交x轴于点E，△C′OM∽△DEM．，，．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式．直角三角形的性质及判定．轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．19.（2011山东济南，27，9分）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线经过A、C两点，与AB边交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；②当S最大时，在抛物线的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．第27题图l第27题图l第27题备用图考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题；数形结合。分析：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，即可求得抛物线的解析式；（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．解答：解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，QUOTE，解得，∴抛物线的解析式为；（2）①∵OA=8，OC=6∴，过点Q作QE⊥BC与E点，则，图1图1E∴QUOTE，∴，∴∴当m=5时，S取最大值；②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，满足条件的点F共有四个，坐标分别为，，，，点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．20.（2011山东青岛，24，10分）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）．（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程