2024七年级数学上册专题03 与数有关的排列规律重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

2024七年级数学上册专题03与数有关的排列规律重难点题型汇编【举一反三】【人教版】【考点1周期规律】【方法点拨】解决此类问题的关键在于找到一列数的周期，而周期可通过列举法来发现，根据题意从第一项开始列举直至找到重复第一项，即为一个周期，由此可解.【例1】（2019春•宝安区校级期中）让我们按以下步骤计算第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得；依此类推，则A．26 B．65 C．122 D．无法计算【变式1-1】（2018秋•景德镇期中）对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（1）末位数字），（2）的末位数字），（3）的末位数字），则（1）（2）（3）的值是A．4028 B．4030 C．4032 D．4038【变式1-2】（2019秋•台州期中）在一列数：，，，，中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2016个数是A．9 B．3 C．7 D．1【变式1-3】（2018春•雨花区校级期中）有一列数，，，，，满足，，之后每一个数是1与前一个数的差的倒数，即，则A． B． C． D．【考点2数图规律】【方法点拨】解决此类问题在于通过数图找到数与数之间的关系式.【例2】（2018秋•常熟市期中）根据图中数字的规律，则的值是A．729 B．550 C．593 D．738【变式2-1】（2018秋•瑶海区期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为A．19 B．21 C．32 D．41【变式2-2】（2018秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，下列各三角形的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律最后一个三角形中的值是A．418 B．420 C．424 D．422【变式2-3】（2018秋•汉滨区期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的根据此规律确定的值为A．252 B．209 C．170 D．135【考点3数式的排列规律】【方法点拨】解决此类问题在于通过数式的排列规律找到数与数之间的关系.【例3】（2018秋•江城区期中）观察下列三行数：0，3，8，15，24，①2，5，10，17，26，②0，6，16，30，48，③（1）第①行数按什么规律排的，请写出来？（2）第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？（3）取每行的第个数，求这三个数的和．【变式3-1】（2018秋•汉滨区期中）仔细观察下列三组数第一组：1，4，9，16，第二组：1，8，27，64，第三组：，，，，（1）写出每组的第6个数各是多少？（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？（3）取每组的第20个数，计算这三个数的和．【变式3-2】（2018秋•福州期中）观察下列三行数，并完成后面的问题：①，4，，16，，；②1，，4，，16，；③0，，3，，；（1）根据排列规律，分别写出上面三行数的第6个数；（2）设、、分别表示第①、②、③行数的第2019个数字，计算的值．【变式3-3】（2018秋•洪山区期中）观察下面三行数、4、、16、、64、①0、6、、18、、66、②5、、11、、35、、③（1）第①行数的第7个数是；（2）设第②行数中有一个数为，第③行数中对应位置的数为，则和之间等量关系为；设第①行数的第个数为，取每行的第个数，这三个数的和是；（3）根据（2）中的结论，若取每行的第9个数，计算这三个数的和．【考点4三角形数阵中的排列规律】【例4】（2018秋•厦门期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，，，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，（1）第10行中从左边数第4个数是；（2）前7行的数字总和是．【变式4-1】（2018秋•江阴市期中）如图，将正整数按如图所示规律排列下去，若用有序数对表示排从左到右第个数．如表示9，则表示．【变式4-2】（2018秋•上杭县期中）将整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是，第3行最后一个数是9，第4行最后一个数是，，依此类推，第21行的第21个数是．【变式4-3】（2018秋•二七区校级期中）观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是．【考点5长方形数阵中的排列规律】【例5】（2018秋•高邮市期中）如图1，在五列若干行的表格中，将2、4、6、8、10、12、若干个偶数有规律的放入．（1）第7行第二列的数是．（2）若用表示第三列的某一个数，则该数左上角的与右下角的两个数的和为；（3）若小颖用图2所示的的方框框住的9个数之和等于612，求这个方框内右下角的那个数．【变式5-1】（2018秋•新洲区期中）把2016个正整数1、2、3、4、、2016按如图方式排列成一个表，用一方框按如图所示的方式任意框住9个数．（方框只能平移）（1）若框住的9个数中，正中间的一个数为39，则：这九个数的和为．（2）方框能否框住这样的9个数，它们的和等于2016？若能，请写出这9个数；若不能，请说明理由．（3）若任意框住9个数的和记为，则：的最大值与最小值之差等于．【变式5-2】（2018秋•黄陂区期中）如图（1）2018在第行，第列；（2）由五个数组成的“”中：①这五个数的和可能是2019吗，为什么？②如果这五个数的和是60，直接写出这五个数；（3）如果这五个数的和能否是2025，若能请求出这5个数；若不能请说明理由．【变式5-3】（2018秋•雨花区校级期中）把正整数1，2，3，，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、，从左到右分别称为第1列、第2列、．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为、、、．设．（1）在图1中，2018排在第行第列；排在第行第列的数为，其中，，且都是正整数；（直接写出答案）（2）若，求出所表示的数；（3）在图（2）中，被阴影覆盖的这些数的和能否为4212？如果能，请求出这些数中最大的数，如果不能，请说明理由．【考点6数式求和—裂项法】【例6】（2018秋•开封期中）请观察下列算式，找出规律并填空：，，，，则：（1）第10个算式是；（2）第个算式为；（3）根据以上规律解答下题：【变式6-1】（2018秋•潮州期中）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）猜想并写出：（2）直接写出下列各式的计算结果：①②（3）探究并计算：【变式6-2】（2018秋•兴庆区校级期中）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：按以上规律解答下列问题：（1）列出第五个等式：（2）计算的结果．（3）计算的结果．【变式6-3】（2018秋•安徽期中）阅读并验证下列计算：，，，计算：理解上述解题力法，思考其中的规律，完成下列任务：（1）（直接填得数）（2）计算：；（3）填空：①；②．【考点7数式求和—等差类】【例7】（2018秋•赣榆区期中）问题探究：观察下面由“※”组成的图案和算式，解答问题：问题解决：（1）试猜想的结果为；（2）若表示正整数，请用含的代数式表示的结果．问题拓展：（3）请用上述规律计算：．【变式7-1】（2018秋•蒙城县期中）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：加数的个数连续偶数的和12345（1）如果时，那么的值为；（2）根据表中的规律猜想：用的代数式表示的公式为：；（3）根据上题的规律计算的值（要有计算过程）．【变式7-2】（2018秋•殷都区期中）探索规律，观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：（1）请猜想；（2）请猜想；（3）请计算：．【变式7-3】（2018秋•射阳县期中）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：加数的个数和12345（1）按这个规律，当时，和为（2）从2开始，个连续偶数相加，它们的和与之间的关系，用公式表示出来为（3）应用上述公式计算①②【考点8数式求和—等比类】【例8】（2018秋•宝安区期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果为正整数）表示这个数列的第项，那么，；②如果欲求的值，可令①将①式右边顺序倒置，得②由②加上①式，得；；由结论求；（2）①观察一列数2，4，8，16，32，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果为正整数）表示这个数列的第项，那么，；②为了求的值，可令，则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算【变式8-1】（2018秋•和平区期中）观察下列各等式：用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：为正整数）；（2）计算：①；②【变式8-2】（2019秋•中原区校级期中）观察下面的几个式子（1）根据上面的规律，第5个式子为：；（2）根据上面的规律，第个式子为：；（3）利用你发现的规律写出；（4）利用你发现的规律求出的值并写出过程．【变式8-3】（2019春•丹阳市期中）运算、观察、猜想、运用．（1）填空（2）猜想第个等式是：并说明第个等式成立．（3）计算专题图形中的排列规律重难点题型汇编【考点1图形中的周期规律】【方法点拨】观察题目中图形的变化特点，找到重合点即为一个周期，利用数形结合思想进行求解.【例1】依次观察如图三个图形，并判断照此规律从左到右第2019个图形是（）A． B． C． D．【变式1-1】观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角 C．第505个正方形的右下角 D．第505个正方形的左上角【变式1-2】如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2018cm时停下，则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C【变式1-3】如图，物体从A点出发，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D→A→E→F→G→A→B……的顺序循环运动，则第2018步到达（）A．A点 B．C点 C．E点 D．F点【考点2图形中的等差规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，会发现后一项与前一项的差均相等，即为等差规律，应用公式：第n个图形的个数=第一个图形的个数+差数×（n-1）.【例2】用黑白两种颜色的正方形纸片，按白色纸片数逐渐加1并按下图的规律拼成一列图案，则第100个图案中黑色正方形纸片的张数是（）A．300 B．301 C．302 D．303【变式2-1】用棋子按下面的规律摆图形，则摆第2018个图形需要围棋子（）枚．A．6053 B．6054 C．6056 D．6060【变式2-2】下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（）A．15 B．17 C．21 D．27【变式2-3】如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照此规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第10个“上”字需用多少枚棋子（）A．36 B．38 C．42 D．50【考点3图形中的乘方规律】【方法点拨】观察题目中图形的特点，出现1,4,9,16,25.....正方形的图阵，即可联想到利用乘方来表示.【例3】如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（）A．42 B．43 C．56 D．57【变式3-1】如图是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2个图案由8个基础图形组成，……，如果按照以下规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第20个图案需要（）个基本图形．A．402 B．404 C．406 D．408【变式3-2】下面是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，则第10个小房子用了____颗石子．（）A．119 B．121 C．140 D．142【变式3-3】如图，们一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中共有6个小黑点，第②个图形中有10个黑点，第③个图形中一共有16个小黑点，…，按此规律，则第⑩个图形中小黑点的个数是（）A．112 B．114 C．116 D．118【考点4图形中的自然数求和规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.【例4】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和；②300是三角点阵中前24行的点数和；③前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式4-1】如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．14 B．20 C．24 D．27【变式4-2】如图图形是用同样大小的铜币摆放的四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（）A．29 B．36 C．37 D．46【变式4-3】下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第③个图形中有18根火柴棒，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中火柴棒的根数是（）A．63 B．60 C．56 D．45【考点5图形中的奇数求和规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.【例5】如图，将等边三角形按一定规律排列，第①个图形中有1个小等边三角形，第②个图形中有4个小等边三角形，按此规律，则第⑥个图形中有（）个小等边三角形．A．36个 B．49个 C．35个 D．48个【变式5-1】如图是由一些黑点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，黑点的个数有（）A．4n﹣1 B．n2﹣1 C．n2+2 D．2n+1【变式5-2】如图用棋子摆成三角形的图案，第（1）个三角形中有4枚棋子，第（2）个三角形中有9枚棋子，第（3）个三形