2024八年级数学上学期期中达标检测卷（2）（人教版）含答案

2024年八年级数学上学期期中达标检测卷（二）【人教版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019秋•宁德期末）下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2019秋•咸丰县期末）如图所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于C，BE⊥AB于B，AE交BC于点F，且BE＝CD，下列结论不一定正确的是（）A．AB＝AC B．BF＝EF C．AE＝AD D．∠BAE＝∠CAD3．（3分）（2019•江北区模拟）如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（）A．45° B．60° C．120° D．135°4．（3分）（2019秋•红安县期中）如图，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，点P为OC上任意点，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，则PD的长为（）A．2 B．1.5 C．3 D．2.55．（3分）（2019秋•荔湾区期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（）A．7 B．8 C．9 D．106．（3分）（2018秋•昆明期末）三角形内有一点到三角形三边的距离相等，则这个点一定是三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边垂直平分线的交点7．（3分）（2019•重庆模拟）如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是（）A．10 B．15 C．20 D．58．（3分）（2018秋•垦利区期中）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（）A．130° B．120° C．110° D．100°9．（3分）（2018秋•嘉荫县期末）如图，D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，则△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．1210．（3分）（2019秋•官渡区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF

第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019春•徐汇区校级月考）若等腰三角形的周长为20cm，那么腰长x的取值范围是．12．（3分）（2018秋•上杭县期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：．13．（3分）（2018秋•滨海县期末）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE．若BC＝7，AC＝4，则△ACE的周长为．14．（3分）（2019秋•襄州区期末）如图，等边三角形ABC的边长为3，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．15．（3分）（2019秋•株洲县期末）如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．16．（3分）（2019秋•岑溪市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．评卷人得分三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2018秋•新宾县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC＝BE．（1）求证：AD＝BD；（2）求∠B的度数．18．（8分）（2019秋•瑶海区期末）（1）如图1，已知△DEF，用直尺和圆规在△DEF内作出点P，使点P到△DEF三边距离相等不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图在图示的网格中，作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？19．（8分）（2019秋•涞水县校级月考）如图，已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图，若点O在边BC上，试说明AB＝AC；（2）若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC．20．（8分）（2019秋•郯城县期末）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°（1）求∠DAE的度数；（2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系，并证明你的结论．21．（10分）（2019秋•黄石期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．请解答下列问题：（1）图中与∠DBE相等的角有：；（2）直接写出BE和CD的数量关系；（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝∠C，DE与AB相交于点F．试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．22．（10分）（2019秋•河西区校级月考）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）八年级数学上学期期中达标检测卷（二）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【答案】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）如图所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于C，BE⊥AB于B，AE交BC于点F，且BE＝CD，下列结论不一定正确的是（）A．AB＝AC B．BF＝EF C．AE＝AD D．∠BAE＝∠CAD【分析】先根据∠ABC＝∠ACB，得出AB＝AC，再根据SAS判定△ABE≌△ACD，即可得到AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，据此进行判断即可．【答案】解：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，故A选项正确；又∵CD⊥AC于C，BE⊥AB，∴∠ABE＝∠ACD，又∵BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，故C、D选项正确；而BF＝EF不一定成立．故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．3．（3分）如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（）A．45° B．60° C．120° D．135°【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，即可求得n＝8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【答案】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8＝45°．故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．4．（3分）如图，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，点P为OC上任意点，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，则PD的长为（）A．2 B．1.5 C．3 D．2.5【分析】过点P作PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PN＝PM，根据角平分线的定义求出∠AOC＝30°，然后求出PM，再根据两直线平行，同位角相等可得∠PDN＝60°，求出∠DPN＝30°，再求解即可．【答案】解：如图，过点P作PN⊥OB于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，∴PN＝PM，∵OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°，∵OM＝3，∴PM＝3×＝，∵PD∥OA，∴∠PDN＝∠AOB＝60°，∴∠DPN＝90°﹣60°＝30°，∴PD＝÷＝2．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解直角三角形以及平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5．（3分）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC＝30°，AD＝CD＝AC，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，∵CE＝CD，∴CE＝AC＝3∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CD＝AC是正确解答本题的关键．6．（3分）三角形内有一点到三角形三边的距离相等，则这个点一定是三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边垂直平分线的交点【分析】根据角平分线的判定可知，到三角形三边的距离相等的点是角平分线的交点．【答案】解：在一个三角形的内部有一个点，这个点到三角形三边的距离相等，这个点是角平分线的交点．故选：B．【点睛】主要考查了角平分线的判定．本题注意不要与线段中垂线的性质或判定混淆，三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等．7．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是（）A．10 B．15 C．20 D．5【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长．【答案】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝5cm．即△PDE的周长是5cm．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用．8．（3分）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（）A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】延长BO，交AC于点D，可得∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，从而得出答案．【答案】解：延长BO，交AC于点D，∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B＝20°+80°+30°＝130°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．9．（3分）如图，D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，则△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．12【分析】根据三角形的中线的性质解答即可．【答案】解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，∴△ADC的面积＝4，∴△ABC的面积＝8，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是根据三角形的中线的性质解答．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF【分析】通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．【答案】解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，∴∠CAB＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴CE＝BE＝BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△ADF≌△BDC（AAS）∴AF＝BC＝2CE，故选项C不符合题意，∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°∴∠AHG＝67.5°，∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，∴DH＝DF，故选项D不符合题意，连接BH，∵AG＝BG，DG⊥AB，∴AH＝BH，∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，∴∠EHB＝∠EBH＝45°，∴HE＝BE，故选项B不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若等腰三角形的周长为20cm，那么腰长x的取值范围是5cm＜x＜10cm．【分析】根据已知三角形周长公式可表示出底边长，根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可．【答案】解：∵等腰三角形的腰长为xcm，周长20cm，∴底边为（20﹣2x）cm，∴20﹣2x＞0且2x＞20﹣2x，解得x＜10且x＞5．∴腰长x的取值范围是5cm＜x＜10cm．故答案为：5cm＜x＜10cm【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．12．（3分）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：K62897．【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．【答案】解：实际车牌号是K62897．故答案为：K62897．【点睛】本题考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看．13．（3分）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE．若BC＝7，AC＝4，则△ACE的周长为11．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据三角形的周长公式计算即可．【答案】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝11，故答案为：11．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为3，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是6．【分析】连接CA′交BC′于点E，C，A′关于直线BC′对称，推出当点D与B重合时，AD+BC的值最小，最小值为线段AA′的长＝6．【答案】解：连接CA′交BC′于点E，∵直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴A，B，A′共线，∵∠ABC＝∠A′BC′＝60°，∴∠CBC′＝60°，∴∠C′BA′＝∠C′BC，∵BA′＝BC，∴BD⊥CA′，CD＝DA′，∴C，A′关于直线BC′对称，∴当点D与B重合时，AD+BC的值最小，最小值为线段AA′的长＝6，故答案为6．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．15．（3分）如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．【分析】先根据三角形外角的性质得出∠A+∠B＝∠1，∠E+∠F＝∠2，∠C+∠D＝∠3，再根据三角形的外角和是360°进行解答．【答案】解：∵∠1是△ABG的外角，∴∠1＝∠A+∠B，∵∠2是△EFH的外角，∴∠2＝∠E+∠F，∵∠3是△CDI的外角，∴∠3＝∠C+∠D，∵∠1、∠3、∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为3或厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可．【答案】解：∵AB＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，∴BD＝×10＝5cm，设点P、Q的运动时间为t，则BP＝3t，PC＝（8﹣3t）cm①当BD＝PC时，8﹣3t＝5，解得：t＝1，则BP＝CQ＝3t＝3，故点Q的运动速度为：3÷1＝3（厘米/秒）；②当BP＝PC时，∵BC＝8cm，∴BP＝PC＝4cm，∴t＝4÷3＝（秒），故点Q的运动速度为5＝（厘米/秒）；故答案为：3或厘米/秒．【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC＝BE．（1）求证：AD＝BD；（2）求∠B的度数．【分析】（1）根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，根据等边对等角可得∠B＝∠BAD，再根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【答案】证：（1）∵DE⊥AB于E，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴CD＝DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，∵AC＝BE，∴AE＝BE，∴AD＝BD；（2）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝30°．【点睛】本题考查了角平分线上的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并列出求出∠CAD＝∠BAD＝∠B是解题的关键．18．（8分）（1）如图1，已知△DEF，用直尺和圆规在△DEF内作出点P，使点P到△DEF三边距离相等不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图在图示的网格中，作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【分析】（1）如图1，已知△DEF，用直尺和圆规在△DEF内作三角形其中任意两个角的平分线交点即为点P，此时点P到△DEF三边距离相等；（2）如图在图示的网格中，作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1即可，△A2B2C2是由△A1B1C1向右平移6个单位、向下平移2个单位得到的．【答案】解：（1）如图1所示：点P即为所求作的点；（2）如图2所示：△A1B1C1即为所求作的图形；△A2B2C2是由△A1B1C1经过向右平移6个单位、再向下平移2个单位得到的、【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换、角平分线的性质、坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是根据已知条件准确作图．19．（8分）如图，已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图，若点O在边BC上，试说明AB＝AC；（2）若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC．【分析】（1）先利用斜边直角边定理证明△OEB和△OFC全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B＝∠C，再根据等角对等边的性质即可得到AB＝AC；（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，与（1）的证明思路基本相同．【答案】证明：（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，∵点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，∴OE＝OF，又∵OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等），∴AB＝AC（等角对等边）；（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE＝∠OCF，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠EBO+∠OBC＝∠OCF+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的判定与性质，等角对等边的性质，熟练掌握性质作出辅助线是解题的关键．20．（8分）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°（1）求∠DAE的度数；（2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）先根据三角形内角和可得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝45°，∠ADC＝90°，求出∠AEC，然后利用∠DAE＝90°﹣∠AEC计算即可．（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C﹣∠B的关系．【答案】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝45°．∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°+45°＝75°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADE＝90°．∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣75°＝15°．（2）由（1）知，∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（）又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．∴∠DAE＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠C），＝（∠C﹣∠B）．【点睛】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．请解答下列问题：（1）图中与∠DBE相等的角有：∠ACE和∠BCD；（2）直接写出BE和CD的数量关系；（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝∠C，DE与AB相交于点F．试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠DBE＝∠ACE，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACE，得到答案；（2）延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，得到FE＝BE，证明△ACD≌△ABF，得到CD＝BF，证明结论；（3）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，分别证明△BGH≌△DFH、△BDE≌△GDE，根据全等三角形的性质解答即可．【答案】解：（1）∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠BAC，又∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，∴∠DBE＝∠BCD，故答案为：∠ACE和∠BCD；（2）延长BE交CA延长线于F，∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE，在△CEF和△CEB中，，∴△CEF≌△CEB（ASA），∴FE＝BE，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（ASA），∴CD＝BF，∴BE＝CD；（3）BE＝DF证明：过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，∵DG∥AC，∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，∵∠EDB＝∠C，∴∠EDB＝∠EDG＝∠C，∵BE⊥ED，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BHD，∵∠EFB＝∠HFD，∴∠EBF＝∠HDF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∵GD∥AC，∴∠GDB＝∠C＝45°，∴∠GDB＝∠ABC＝45°，∴BH＝DH，在△BGH和△DFH中，，∴△BGH≌△DFH（ASA）∴BG＝DF，∵在△BDE和△GDE中，，∴△BDE≌△GDE（ASA）∴BE＝EG，∴BE＝．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．【答案】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．专题01三角形章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1三角形的稳定性】【方法点拨】理解稳定性：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.【例1】（2019春•永泰县期中）如图小方做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（）A． B． C． D．【变式1-1】（2019秋•西陵区校级期中）将几根木条用钉子钉成如图的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）A．B． C． D．【变式1-2】（2018秋•桐梓县校级期中）图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2019秋•安陆市期中）我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）A．11根 B．10根 C．9根 D．8根【考点2判断三角形的高】【方法点拨】三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【例2】（2019春•海州区期中）如图，△ABC中的边BC上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE【变式2-1】（2019春•大丰区期中）要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（）A．B． C．D．【变式2-2】（2019春•苏州期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【变式2-3】（2018春•南岗区校级期中）如图，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列说法正确的有（）①BG是△EBF的高；②CD是△BGC的高；③DG是△AGC的高；④AD是△ABG的高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点3三角形边角关系的应用】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例3】（2019春•福州期末）用一根长为10cm的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【变式3-1】（2019秋•银海区期末）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【变式3-2】（2019春•秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b） C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【变式3-3】（2019•孝感模拟）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点4多边形的相关概念】【方法点拨】了解凸多边形的定义，掌握多边形对角线与所分成三角形个数之间的关系：从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.【例4】（2019春•道里区期末）下列选项中的图形，不是凸多边形的是（）A．B． C． D．【变式4-1】（2019秋•德州校级月考）要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-2】（2018秋•南城县期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6 B．5 C．8 D．7【变式4-3】（2018秋•绵阳期中）一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10【考点5多边形内角和与外角和的应用】【方法点拨】（1）掌握多边形内角和计算公式：(n-2)×180°(n≥3的整数），多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.【例5】（2019春•吴江区期中）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3，则这个多边形为（）A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形【变式5-1】（2018秋•桐梓县校级期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米．A．100 B．120 C．140 D．60【变式5-2】（2019春•江都区期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．180° B．90° C．210° D．270°【变式5-3】（2019春•江阴市期中）如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F＝α，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，则∠P的度数是（）A．α﹣180° B．180°﹣α C．α D．360°﹣α【考点6三角形内角和定理的应用】【方法点拨】三角形内角和等于180°.【例6】（2019春•石景山区期末）如图，BD平分∠ABC．∠ABD＝∠ADB．（1）求证：AD∥BC；（2）若BD⊥CD，∠BAD＝α，求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）．【变式6-1】（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）【变式6-2】（2019春•福州期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D．作∠BDE＝∠ABD交AB于点E．（1）求证：ED∥BC；（2）点M为射线AC上一点（不与点A重合）连接BM，∠ABM的平分线交射线ED于点N．若∠MBC＝∠NBC，∠BED＝105°，求∠ENB的度数．【变式6-3】（2018秋•丰城市期末）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．（1）∠DBC+∠DCB＝度；（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．【考点7三角形外角性质的应用】【方法点拨】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【例7】（2019春•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【变式7-17】（2018春•岱岳区期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠ACE和∠CDF的度数．【变式7-2】（2018春•商水县期末）如图，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求△ABC各内角的度数．【变式7-3】（2019春•南开区校级月考）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．【考点8利用互余关系倒角】【方法点拨】直角三角形两锐角互余，通常利用这一结论进行倒角.【例8】（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．【变式8-1】（2011春•越城区校级期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．【变式8-2】在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上的一点，过C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D，若∠D＝65°，求∠EAC的度数．【变式8-3】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？八上专题01三角形章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1三角形的稳定性】【方法点拨】理解稳定性：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.【例1】如图小方做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（）A． B． C． D．【思路点拨】根据三角形的稳定性进行解答．【答案】解：根据三角形的稳定性可得C是最好的加固方案．故选：C．【方法总结】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．【变式1-1】将几根木条用钉子钉成如图的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）A．B． C． D．【思路点拨】根据三角形具有稳定性进行解答．【答案】解：根据三角形具有稳定性可得A、B、D都具有稳定性，C未曾构成三角形，因此不稳定，故选：C．【方法总结】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容．【变式1-2】图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．【答案】解：如图：A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．故选：A．【方法总结】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式1-3】我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）A．11根 B．10根 C．9根 D．8根【思路点拨】根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数，由此得出答案即可．【答案】解：过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形，所以，要使一个十二边形木架不变形，至少需要12﹣3＝9根木条固定．故选：C．【方法总结】此题考查了图形的变化规律，考虑把多边形分成三角形是解题的关键．【考点2判断三角形的高】【方法点拨】三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【例2】如图，△ABC中的边BC上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE【思路点拨】根据三角形高的定义即可解答．【答案】解：△ABC中的边BC上的高是AF，故选：A．【方法总结】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高．【变式2-1】要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（）A．B． C．D．【思路点拨】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线即可．【答案】解：过点C作AB边的垂线，正确的是C．故选：C．【方法总结】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握．【变式2-2】如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【思路点拨】根据直角三角形的性质即可直接得出结论．【答案】解：∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；故选：B．【方法总结】本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．【变式2-3】如图，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列说法正确的有（）①BG是△EBF的高；②CD是△BGC的高；③DG是△AGC的高；④AD是△ABG的高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据三角形的高的定义以及平行线的性质，即可解答．【答案】解：∵BD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵EF∥AC，∴∠EGB＝∠ADB＝90°，∴BG是△EBF的高，①正确；∵∠CDB＝90°，∴CD是△BGC的高，②正确；∵∠ADG＝∠CDG＝90°，∴DG是△AGC的高，③正确；∵∠ADB＝90°，∴AD是△ABG的高，④正确．故选：D．【方法总结】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，理解定义是关键．也考查了平行线的性质．【考点3三角形边角关系的应用】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例3】用一根长为10cm的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【思路点拨】根据三角形的两边之和大于第三边，根据周长是10厘米，可知最长的边要小于5厘米，进而得出三条边的情况．【答案】解：∵三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，∴三条边分别是2cm、4cm、4cm．故选：A．【方法总结】本题主要考查了学生根据三角形三条边之间的关系解决问题的能力．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【变式3-1】a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【思路点拨】首先根据：三角形两边之和大于第三边，去掉绝对值号，然后根据整式的加减法的运算方法，求出结果是多少即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c＝0故选：A．【方法总结】此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边．【变式3-2】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b） C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【思路点拨】先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长l的取值范围即可．【答案】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得a﹣b＜x＜a+b．∴这个三角形的周长L的取值范围是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故选：B．【方法总结】考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式3-3】如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【思路点拨】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【答案】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；②选5+4、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；③选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；4+3＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；④选7+3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而5+4＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．故选：D．【方法总结】本题考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．【考点4多边形的相关概念】【方法点拨】了解凸多边形的定义，掌握多边形对角线与所分成三角形个数之间的关系：从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.【例4】下列选项中的图形，不是凸多边形的是（）A．B． C． D．【思路点拨】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形．【答案】解：图形不是凸多边形的是A．故选：A．【方法总结】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．【变式4-1】要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据三角形具有稳定性，过一个顶点作出所有对角线即可得解．【答案】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．【方法总结】本题考查了三角形具有稳定性的应用，作出图形更形象直观．【变式4-2】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6 B．5 C．8 D．7【思路点拨】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．【答案】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2＝5个三角形．故选：B．【方法总结】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．【变式4-3】一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10【思路点拨】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【答案】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是7或8或9．故选：C．【方法总结】本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．【考点5多边形内角和与外角和的应用】【方法点拨】（1）掌握多边形内角和计算公式：(n-2)×180°(n≥3的整数），多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.【例5】一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3，则这个多边形为（）A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形【思路点拨】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．【答案】解：设这个多边形的边数为n，依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，∴这个多边形为八边形，故选：D．【方法总结】此题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．【变式5-1】如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米．A．100 B．120 C．140 D．60【思路点拨】根据多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，求出即可．【答案】解：由题意得：360°÷36°＝10，则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10＝120（米）．故选：B．【方法总结】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解本题的关键．【变式5-2】如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．180° B．90° C．210° D．270°【思路点拨】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．【答案】解：延长AB，DC，∵AB∥CD，∴∠4+∠5＝180°，根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故选：A．【方法总结】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．【变式5-3】如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F＝α，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，则∠P的度数是（）A．α﹣180° B．180°﹣α C．α D．360°﹣α【思路点拨】由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，由和②即可求出结果．【答案】解：在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝（6﹣2）×180°＝720°①，∵CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，∴∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，∵∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，∴2（∠P+∠PCD+∠PDE）＝360°，即2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，①﹣②得：∠A+∠B+∠E+∠F﹣2∠P＝360°，即α﹣2∠P＝360°，∴∠P＝α﹣180°；故选：A．【方法总结】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理；熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键．【考点6三角形内角和定理的应用】【方法点拨】三角形内角和等于180°.【例6】如图，BD平分∠ABC．∠ABD＝∠ADB．（1）求证：AD∥BC；（2）若BD⊥CD，∠BAD＝α，求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）．【思路点拨】（1）想办法证明∠ADB＝∠DBC即可．（2）利用平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD∵∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC．（2）解：∵AD∥BC，且∠BAD＝α，∴∠ABC＝180°﹣α，∴∠DBC＝∠ABC＝90°﹣α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°∴∠C＝90°﹣（90°﹣α）＝α．【方法总结】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式6-1】如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）【思路点拨】（1）根据垂直的定义得到∠D＝90°，根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣100°＝80°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝50°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝25°，于是得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，得到∠ACD＝180°﹣β，求得∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），根据角的和差即可得到结论．【答案】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝100°，∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∴∠CAD＝90°﹣80°＝10°，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝25°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝35°；（2）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝β，∴∠ACD＝180°﹣β，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝β﹣90°，∵∠B＝α，∴∠BAD＝90°﹣α，∴∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝90°﹣（α+β）+β﹣90°＝β﹣α．故答案为：β﹣α．【方法总结】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．【变式6-2】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D．作∠BDE＝∠ABD交AB于点E．（1）求证：ED∥BC；（2）点M为射线AC上一点（不与点A重合）连接BM，∠ABM的平分线交射线ED于点N．若∠MBC＝∠NBC，∠BED＝105°，求∠ENB的度数．【思路点拨】（1）利用角平分线的定义，进行等量代换，得出内错角相等，从而两直线平行；（2）分两种情况分别进行解答，根据每一种情况画出相应的图形，依据图形中，角之间的相互关系，转化到一个三角形中，利用三角形的内角和定理，设未知数，列方程求解即可．【答案】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵∠BDE＝∠ABD，∴∠BDE＝∠DBC，∴ED∥BC；（2）∵BN平分∠ABM，∴∠ABN＝∠NBM，①当点M在线段AC上时，如图1所示：∵DE∥BC，∴∠ENB＝∠NBC，∵∠MBC＝∠NBC，∴∠NBM＝∠MBC＝∠NBC，设∠MBC＝x°，则∠EBN＝∠NBM＝x°，∠ENB＝∠NBC＝2x°，在△ENB中，由内角和定理得：x+2x+105°＝180°，解得：x＝25，∴∠ENB＝2x＝50°，②当点M在AC的延长线上时，如图2所示：∵DE∥BC，∴∠ENB＝∠NBC，∵∠MBC＝∠NBC，∴∠NBM＝3∠MBC，设∠MBC＝x°，则∠EBN＝∠NBM＝3x°，∠ENB＝∠NBC＝2x°，在△EMB中，由内角和定理得：3x+2x+105°＝180°，解得：x＝15，∴∠ENB＝2x＝30°，答：∠ENB的度数为50°或30°．【方法总结】综合考查角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，分类讨论，分别画出相应的图形，利用等量代换和图形中角之间的关系布列方程是解决问题常用的方法．【变式6-3】已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．（1）∠DBC+∠DCB＝度；（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．【思路点拨】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，然后把∠D＝90°代入计算即可；（2）在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°，整体代入即可得出结论．【答案】解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，而∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°；故答案为90；（2）在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，而∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．又∵MN∥DE，∴∠ABD＝∠BAN．而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．【方法总结】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出∠ABD+∠BAC＝70°．【考点7三角形外角性质的应用】【方法点拨】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【思路点拨】（1）根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；（2）根据平行线的性质解答即可．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，∴∠CBD＝124°，∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝62°；（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，∴∠CEB＝28°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝28°．【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【变式7-17】如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠ACE和∠CDF的度数．【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠ACE；根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠CDF．【答案】解：∵∠A＝30°，