黄金卷（试卷含解析）-备战2024年高考数学模拟卷（七省新高考）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，则阴影部分表示的集合是()2．已知复数z=11+i(aeR)，若z为纯虚数，则a的值为4．儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用．如图，在某节手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型．已知彩球的表面积为16πcm2，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上点的最远距离）为()xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．数列{an}的前n项和为Sn，a1=，若该数列满足an+2SnSn-1=0(n>2)，则下列命题中错误的是()nS2}是等比数列7．椭圆C:+=1(a>b>0)上有两点A、B，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，ABF1是以F2为中心的正三角形，则椭圆离心率为()8．定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)+f(2-x)=0，②f(2x-1)是奇函数，则下列结论可能不正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)=f(x+4)C．f(3)=0D．(x-1)f(x)关于x＝1对称二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知圆C1:(x-1)2+y2=1和圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0，则()A．圆C2的半径为4B．y轴为圆C1与C2的公切线C．圆C1与C2公共弦所在的直线方程为x+2y-1=0D．圆C1与C2上共有6个点到直线2x-y-2=0的距离为1除两个样本点(-2,1)和(2,-1)后，得到新的经验回归方程为=3x+．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中().A．相关变量x，y具有正相关关系B．新的经验回归方程为=3x-3C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小D．样本(4,8.9)的残差为-0.111．设抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3,1)为定点，则下列结论正确的是()C．|ME|+|MF|的最小值为7D．以线段MF为直径的圆与y轴相切12．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f,(x)>1，f(0)=4，则关于不等式exf(x)>ex+3的表述正确的为()第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。5的展开式中，常数项为.14．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从TB(1TB=1024GB)级别跃升到2008年全球产生的数据量为0.500ZB,2010年增长到1.125ZB．若从2008年起，全球产生的数据量P与年份t的关系为P=P0at一2008，其中P0,a均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.15．已知函数f(x)=lnx，g(x)=的方程：. 2 2且与函数y=f(x)，y=g(x)的图象均相切的直线l16．已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD」平面CBD，点M在AC上，且AM=2MC，过点M作四边形ABCD外接球的截面，则截面面积的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知M为BC边的中点，.=(2)若ΔABC的面积为4，求ΔABC周长的最小值.a(ab).218．已知等差数列{an}满足a6+a7=4，且a1,a4,a5成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)记Tn为数列{an}前n项的乘积，若a1<0，求Tn的最大值.19．目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩ξ~N(60,102),只有笔试成绩高于70分的学生才能进入面试环节.(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人,求这6人中至少有一人进入面试的概率;(2)现有甲、乙、丙3名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,,,设这3名学生中通过面试的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)~0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)~0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)~0.9973,0.841356~0.3547,0.977256~0.8710.(1)求证；AB」PC，(2)在线段PD上是否存在一点M，使得二面角M一AC一D的大小为45。，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点D(2,0),E,F是双曲线C上异于D的两个不同点，且+=一，证明：直线EF过定点，并求出定点坐标.22．已知a>0且a1，函数f(x)=logax+ax2.(1)若a=e，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678CDBBACAA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9BDABDADAC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。2b2)=a(a2b)，又CE(0,π)，故C= π .3此时‘ABC的周长最小，且最小值为12.9.故Tn的最大值为945.1912分）【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:μ=60,σ=10,所以P(ξ<70)=~=0.84135,则P(A)=1-0.841356~1-0.3547=0.6453,即这6人中至少有一人进入面试的概率为0.6453.（2）X的可能取值为0,1,2,3,则随机变量X的分布列为：X0123P(X)124 14 24 14,22,=BC2：AB」AC,∵PA仁面PAC,AC仁面PAC,且PAnAC=A，∴AB」平面PAC,（2）取BC的中点E，连接AE，则AE」BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0，0，0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)设则点M为(0,2t,4一4t)，设平面MAC的法向量是=(x,y,z)，又=(0,0,1)是平面ACD的一个法:2:解得M解得M设BM与平面MAC所成的角为θ,：BM与平面MAC所成角的正弦值为.2112分）【详解】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C的标准方程为x2一4y2=λ,2=λ,解得λ=4，所以双曲线C的标准方程为一y2=1（2）当直线EF斜率存在时，设EF:y=kx+m，米2m2244m22x2------------------------222所以m1=2k,m2=k，当m1=2k时，直线l的方程为y=k(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾，（ii）当直线EF斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE:y=x一2，与双曲线C方程联立解得xE=xF=，此时EF也过点M,0，.综上，直线EF过定点M2 ex22 ex2 ,则f,(x) x（2）函数f(x)有两个零点，常方程logax+ax2=0在xE(0,+伪)上有两个根，lnx2常lnx2x与y=alna的图象在xE(0,+伪)上有两个交点，所以g(x)=在(0,)上单调递增，在(,+伪)上单调递减，；e（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，则阴影部分表示的集合是()【答案】【答案】C【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为(ðUA)nB，而全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，故选：C2．已知复数z=11+i(aeR)，若z为纯虚数，则a的值为【答案】【答案】D【分析】由复数除法运算化简复数这代数形式，然后根据复数的定义求解.故选：D.【答案】【答案】B【分析】根据向量垂直关系的表示及向量的夹角公式即可求解.222故选：故选：B.4．儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用．如图，在某节手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠接着将毛线编制成一个彩球，放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型．已知彩球的表面积为16πcm2，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上点的最远距离）为()【答案】【答案】B【分析】先求圆锥的高和球的半径，再用勾股定理求彩球的球心到圆锥【分析】先求圆锥的高和球的半径，再用勾股定理求彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离，最后根据题意得到答案意得到答案.【详解】设圆锥的地面半径为【详解】设圆锥的地面半径为r，则2πr=2π,解得r=1，所以圆锥的高h=22一12=.设彩球的半径为设彩球的半径为R，则4πR2=16π,解得R=2.故选：故选：B.xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【答案】A【分析】构造f(t)，求出单调性，求出2x【详解】设t=2x，则1+2x5<2中x范围，再判断即可.)时为减函数，当t=[1,2)，时，所以f(t)min=f(1)=2,f(t)max<f(2)=52”的充分不必要条件，故选：A又因为f(2)=f1+2x51+<2x52<2,6．数列{an}的前n项和为Sn，a1=，若该数列满足an+2SnSn-1=0(n>2)，则下列命题中错误的是()nS2}是等比数列【答案】【答案】C【分析】利用an=Sn-Sn-1可化简已知等式证得A正确；利用等差数列通项公式可整理得到B正确；由an与Sn关系可求得C错误；由S2n=，结合等比数列定义可知D正确.当n>2时，由an+2SnSn-1:数列〈〉是以2为首项，2为公差的等差数列，A正确；=0得：Sn-Sn-1+2SnSn-1=0， 【详解】对于A，:1-1+2=0Sn-1Sna1经检验：a1=不满足an对于D，由B得：S2n=，:S2n+1=S2n，又S2=，:{S2}是以为首项，为公比的等比数列，D正确.故选：C.7．椭圆C:+=1(a>b>0)上有两点A、B，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，‘ABF1是以F2为中心的正三角形，则椭圆离心率为()【答案】【答案】C【分析】根据题意，由条件表示出AF1的长，结合椭圆的定义，再由离心率的计算公式，即可得到结果.【详解】设AB边与x轴交于点D，且‘ABF1是以F2为中心的正三角形，则AB」F1D，且F2为‘ABF1的重心，FDAFAFAF1+2FDAFAFAF1+21111故选：故选：C8．定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)+f(2一x)=0，②f(2x一1)是奇函数，则下列结论可能不正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)=f(x+4)C．f(3)=0D．(x1)f(x)关于x＝1对称【答案】【答案】A【分析】利用已知条件分析函数的对称性和周期性，再验证各个选项的结论.【详解】定义在R上的函数f(x),满足f(x)+f(2一x)=0，有f(2一x)=一f(x)，函数图像上的点(x,f(x))函数图像上，即函数图像关于点(1,0)对称；f(2x1)，函数图像上的点(2x1,f(2x1))关于点(1,0)的对称点为(2x1,f(2x1))，即(2x1,f(2x1))，所以函数图像上的点关于点(1,0)的对称点也在函数图像上，∴f(2x)=f(2x)，令2x=t，则2x=t+4，所以f(t)=f(t+4)，得函数周期为4，B选项正确；令g(x)=(x1)f(x)，g(2x)=(2x1)f(2x)=(1x)[f(x)]=(x1)f(x)=g(x)，所以g(x)的图像关于x＝1对称，D选项正确；函数函数f(x)=sinπx，满足题目中的条件，但f(x)=sinπx不是偶函数，A选项错误.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知圆C1:(x-1)2+y2=1和圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0，则()A．圆C2的半径为4B．y轴为圆C1与C2的公切线C．圆C1与C2公共弦所在的直线方程为x+2y-1=0D．圆C1与C2上共有6个点到直线2x-y-2=0的距离为1【答案】【答案】BD【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.【详解】对于A项，由圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0配方得：(x-2)2+(y-2)2=4,知圆C2的半径为2，故选项A错误；对于B项，因圆心C1(1,0)到y轴的距离为1，等于圆C1的半径，故圆C1与y轴相切，同理圆心C2(2,2)到y轴的距离等于圆C2的半径，圆C2与y轴相切，故y轴为圆C1与与C2的公切线，故选项B正确；对于C项，只需要将(x-1)2+y2=1与x2+y2-4x-4y+4=0左右分别相减，即得圆C1与C2的公共弦所在的直线方程为：x+2y-2=0,故选项C错误；对于D项，如图，因直线2x-y-2=0同时经过两圆的圆心，依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线l1与l2，其中l1与l2和圆C1都相切，各有一个公共点，l1与l2和圆C2都相交，各有两个交点，故圆C1与C2上共有6个点到直线2x-y-2=0的距离为1，故选项D正确.故选：BD.10．已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10)组成的一个样本，得到经验回归方程为=2x-0.4，且x=2，去除两个样本点(-2,1)和(2,-1)后，得到新的经验回归方程为=3x+．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中().A．相关变量x，y具有正相关关系B．新的经验回归方程为=3x-3C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小D．样本(4,8.9)的残差为-0.1【答案】【答案】ABD【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC，再由残差的概念判断D.【详解】Σxi=20，x新平均数y新平均数8新的线性回归方程=3x+，x，y具有正相关关系，A对.新的线性回归方程：=3x-3，B对.由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；故选：ABD.11．设抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3,1)为定点，则下列结论正确的是D．以线段MF为直径的圆与y轴相切【答案】AD【分析】根据抛物线方程求得直线方程，结合三角形的知识求得|ME|一|MF|的最大值，结合抛物线的定义求得|ME|+|MF|的最小值以及判断出以线段MF为直径的圆与y轴相切.当点M在线段EF的延长线上时等号成立，∴|ME|一|MF|的最大值为，故B错误；如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，∴|ME|+|MF|的最小值为5，故C不正确；设点M(x0,y0)，线段MF的中点为D，则xD==，∴以线段MF为直径的圆与y轴相切，D正确.故选：AD12．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f,(x)>1，f(0)=4，则关于不等式exf(x)>ex+3的表述正确的为()【答案】【答案】AC【解析】构造函数g(x)=exf(x)-1，求导后可推出g(x)在R上单调递增，由f(0)=4，可得g(0)=3，原不等式等价于g(x)>g(0)，从而可得不等式的解集，结合选项即可得结论.【详解】令g(x)=exf(x)-1，xeR，则g,(x)=exf(x)-1+f,(x)，∴g,(x)>0恒成立，即g(x)在R上单调递增.不等式exf(x)>ex+3可化为exf(x)-1>3，等价于g(x)>g(0)，则在[-2,2]上有解，故选项AC正确.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。5的展开式中，常数项为.【答案】【答案】-40【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由二项式展开式的通项公式可得(|（2x+5的展开式的通项公式可知通项公式为：T=C(2x)5-rr5-rx5-2r，5-5，令令52r=1可得r=2，令52r=1可得r=3，14．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从TB(1TB=1024GB)级别跃升到2008年全球产生的数据量为0.500ZB,2010年增长到1.125ZB．若从2008年起，全球产生的数据量P与年份t的关系为P=P0at一2008，其中P0,a均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.【答案】【答案】1.5【分析】通过题目数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解.所以2022年全球产生的数据量为0.5.1.514，则2023年全球产生的数据量0.5.1.515，所以2023年全球产生的数据量是2022年的故答案为：1.515．已知函数f(x)=lnx，g(x)=的方程：. 2 2且与函数y=f(x)，y=g(x)的图象均相切的直线l【分析】公切线问题，求导，再利用斜率相等即可解题.【详解】∵f(x)=lnx1 x，2x24 2x解得x1∴与函数y=f(x)，y=g(x)的图象均相切的直线l的方程为：y=x一1.22x2x22162-32AD2-DE62-32AD2-DE2OH2+AH2 2 15- 2 3，截面面积为r2-OM2=故答案为：故答案为：y=x-1.16．已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD」平面CBD，点M在AC上，且AM=2MC，过点M作四边形ABCD外接球的截面，则截面面积的最小值为.【答案】【答案】12π【分析】先由面面垂直的性质得到【分析】先由面面垂直的性质得到AE」平面CBD，求得AE、CE、OH、AH，从而求得外接球的半径，再由平行线分线段成比例的推论证得再由平行线分线段成比例的推论证得H,O,M三点共线，从而求得OM，从而求得截面面积的最小值.【详解】【详解】由题意知ΔABD和ΔBCD为等边三角形，取BD中点为E,连接AE,CE，则则AE」BD,由平面由平面ABD」平面CBD,平面ABD（平面CBD=BD,AE一平面ABD故AE」平面CBD，AE=故AE」平面CBD，AE=易知球心易知球心О在平面BCD的投影为ΔBCD的外心O1，在在AE上作OH」AE于H，易得OH//O1E,OO1//HE,则在则在RtΔOHA中，OH=,AH=2，=，连接=，连接OM,因为因为AH=2HE,OH//CE,AM=2MC,所以所以H,O,M三点共线，所以OM=MH-OH=CE-OH=,当当M为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为()()故答案为：故答案为：12π..四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知M为BC边的中点，.=(1)求角C的大小；(2)若ΔABC的面积为4，求ΔABC周长的最小值.a(ab).2 3π【答案】(1)C= 3π(2)12理计算即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得ab=16，由（1结合基本不等式计算即可求解.2b2.又CE(0,π)，故C=.22ab所以当且仅当a=b=c=4时，等号成立，此时ΔABC的周长最小，且最小值为12.18．已知等差数列{an}满足a6+a7=4，且a1,a4,a5成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)记Tn为数列{an}前n项的乘积，若a1<0，求Tn的最大值.【答案】【答案】(1)an=2或an=2n-11(2)945【分析】（1）利用a6+a7=4，和a1,a4,a5成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差，从而求解.（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.9.所以：{an}的通项公式为an=2或an=2n-11.（2）因为a1<0，所以：an=2nTa2a3a4=945，所以：Tn的最故Tn的最大值为945.19．目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩ξ~N(60,102),只有笔试成绩高于70分的学生才能进入面试环节.(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人,求这6人中至少有一人进入面试的概率;(2)现有甲、乙、丙3名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,,,设这3名学生中通过面试的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)~0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)~0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)~0.9973,0.841356~0.3547,0.977256~0.8710.【答案】【答案】(1)0.6453(2)(2)随机变量X的分布列见解析；期望为【分析】（1）由正态分布的对称性有P(ξ<70)=,求各学生能进入面试的概率,再由独立事件的乘法公式及对立事件的概率求法,求6人中至少有一人进入面试的概率.（2）求出X的可能取值为0,1,2,3的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:μ=60,σ=10,所以P(ξ<70)=~=0.84135,则P(A)=1_0.841356~1_0.3547=0.6453,即这6人中至少有一人进入面试的概率为0.6453.（2）X的可能取值为0,1,2,3,则随机变量X的分布列为：XX PP(X)241241141424241414(1)求证；ABPC，(2)在线段PD上是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.【答案】【答案】(1)证明见解析 2 2【分析】（【分析】（1）先证明出ABAC，利用PA平面ABCD得到ABPA，即可证明AB平面PAC，可以得到到ABPC；（（2）假设存在点M符合题意.以A为原点，以过A平行于CD的直线为x轴，AD,AP所在直线分别为y轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，用向量法求解.【详解】（【详解】（1）∵ADCD2,BC4，ABAC4,AB2AC2BC2,ABAC∵∵PA平面ABCD，∴ABPA.∵∵PA面PAC,AC面PAC,且PAnACA，∴∴AB平面PAC,ABPC.（（2）取BC的中点E，连接AE，则AEBC，建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，