专题22 锐角三角函数（讲义）（原卷版）

专题22锐角三角函数核心知识点精讲理解掌握锐角三角函数的概念；理解掌握茶馆用的特殊角的三角函数值，能够进行常规的计算；理解掌握各锐角三角函数之间的关系；理解掌握锐角三角函数的增减性并能进行运用；掌握锐角三角函数的实际应用；能够熟练地进行解直角三角形。考点1锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数。如图，在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即考点2一些特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在10考点3各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系（3）倒数关系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切关系tanA=考点4锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点5锐角三角函数的应用（1）仰角和俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度、坡角：坡度等于坡角的正切值；（3）方向角：正北或正南方向线与目标线所成的小于90度的角，叫做方向角。考点6解直角三角形1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2.解直角三角形的理论依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：【题型1：锐角三角函数的概念】【典例1】（2023•黄埔区一模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是（）A．CDAC B．CBAB C．BDCB 1．（2023•越秀区校级二模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB=35，则A．25 B．12 C．9 D．162．（2023•荔湾区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值是（）A．32 B．12 C．2553．（2023•惠东县二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值为（）A．45 B．34 C．43 【题型2：特殊角的三角函数】【典例2】（2023•佛山一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA=12，则∠A．30° B．45° C．60° D．75°1．（2023•黄埔区校级二模）在△ABC中，若|sinA-12|+（22-cosB）2＝A．45° B．75° C．105° D．120°2．（2023•宝安区校级三模）cos60°的值等于（）A．12 B．22 C．32 3．（2023•兴宁市二模）已知实数a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，则下列说法正确的是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【题型3：数轴】【典例3】（2022•河源模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=12，则tanA的值是31．（2021•荔湾区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=512，则cosA．512 B．125 C．513 2．（2020•南海区一模）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB=35，则sinA．35 B．45 C．53 【题型4：解直角三角形】【典例4】（2023•惠城区校级一模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么cos∠BAC的值为（）A．55 B．12 C．2551．（2023•南海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（）A．13 B．3 C．12 D2．（2023•台山市校级一模）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（）A．1313 B．2613 C．2626 3．（2023•中山市模拟）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值是（）A．12 B．1 C．33 D【题型5：解直角三角形的应用】【典例5】（2023•深圳模拟）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，AC＝40cm，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（）A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm1．（2023•佛山模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（）A．60sin50° B．60sin50° C．60cos50° D．60tan502．（2023•香洲区校级一模）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（）A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25° C．3+1.2cos25° D3．（2023•龙岗区校级四模）如图，用三角支架固定空调外机，已知OA⊥AB，∠AOB＝α，BO＝0.4米，则点O到墙面距离OA为（）A．0.4sinα米 B．0.4cosα米 C．0.4sinα米 D．0.4【题型6：解直角三角形——坡度角问题】【典例6】（2023•越秀区校级二模）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为10003m．（1）求BE的长度；（2）求AB的长度．（结果保留根号）1．（2023•陆河县校级模拟）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为1052．（2023•潮阳区二模）科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，AM为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流AC与水平面夹角为63°时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动10cm至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，MC＝AB．（1）求连接水管AM的长．（结果保留整数）（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，3≈1.733．（2023•越秀区校级二模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°．若新坡面底端A处与建筑物NM之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0.1米；参考数据：2≈1.41，3≈【题型7：解直角三角形——仰角俯角问题】【典例7】（2023•三水区模拟）如图，西安某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．求楼顶C的高度CD．（结果保留根号）1．（2023•花都区一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（）km．A．6sin43° B．6cos43° C．6tan43° D．6tan432．（2023•宝安区校级一模）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为58米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．3．（2023•开平市二模）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为13（即tan∠PAD=13），且M，A，D（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；（2）求建筑物MN的高度．【题型8：解直角三角形——方向角问题】【典例8】（2023•顺德区校级三模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向上，B在D的北偏西53°方向上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．（1）求证：BD⊥AB；（2）求A，B两点间的距离．1．（2023•惠州一模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东30°方向上，沿正东方向行走60米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西60°方向上．A，B两点间的距离为90米．2．（2023•潮南区模拟）为维护我国海洋权力海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，海警船A在C岛的正西方向，当岛主发现有海盗船时，测得海盗船在C岛的西北方向上的B处，已知海警测得海盗船在海警船A北偏东60°的位置B上，海警船若以60海里/时的速度航行到海盗船处需要1小时．（1）问此时海盗船离C岛的距离BC是多少海里？（2）若海盗船以30海里/时的速度向C岛出发，海警船在接到岛主报警后以60海里/时的速度向C岛出发，问海警船能否赶在海盗船之前到达C岛进行拦截（2≈1.41，3=3．（2023•佛山一模）如图，海中小岛A周围15nmile内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点处测得小岛A在北偏东63.4°方向上；航行26nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东33.7°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？（参考数据：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）一．选择题（共7小题）1．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（）A．cosC=55 B．tanB•tanC＝C．tanB=12 D2．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，则sinA的值为（）A．45 B．35 C．43 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosA的值是（）A．35 B．34 C．43 4．tan45°的值是（）A．-2 B．3 C．1 D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA=35，那么cosA．34 B．35 C．45 6．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（）A．30tanα米 B．30tanα米 C．30sinα米 D．307．已知cosA=12，则∠A．30° B．45° C．60° D．90°二．填空题（共5小题）8．若在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（4，0），则sin∠ABO的值为．9．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，cosA=44141，sinB=513，AB＝8，则BC长为10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，则tanA＝11．若0°＜α＜45°，且sin2α=32，则α＝12．若cosA=12，则锐角∠A＝三．解答题（共3小题）13．计算：（1）sin45°cos45°+3tan30°sin60°；（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°．14．计算：（1）6tan（2）2215．计算：sin260°﹣cos260°+2tan45°．一．选择题（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=1A．cosA=13 B．tanA=22 C．cosB=22．已知∠A+∠B＝90°，且cosA=35，则tanA．45 B．35 C．34 3．把△ABC各边的长度都扩大4倍得到△A′B′C′，其中A′与A是对应顶点，则锐角A′的余弦值比锐角A的余弦值（）A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍4．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（）A．203km B．(103+20)C．(103+10)km D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosC的值是（）A．35 B．45 C．34 二．填空题（共5小题）6．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏西60°和南偏西30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为m．7．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为km．8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC．cos∠ABD=45，则△BCD的面积为9．如图，是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较大的锐角为α，则cosα＝．10．已知平面直角坐标系中点A（3，4）和B（0，b），满足tan∠ABO=12（O为原点），那么b的值为三．解答题（共4小题）11．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，AB=22，sin∠C=2512．某小区门口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆OA绕点O匀速旋转，另一曲臂杆AB始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．闸机是高为1.2m，宽为0.4m的矩形PQMN，已知OA＝AB＝1.5m，点O到PM的距离为0.2m，小区门口宽度为2.8m．（1）当曲臂杆OA与AB的夹角为150°时，求点A到地面的距离；（2）因机器出现故障，曲臂杆OA最多可旋转72°，有一辆宽为2.2m、高为2.2m的货车可否顺利通过门口？（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）13．如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为37°，他又向前走了4m，测得A点关于E点的仰角为45°．已知小胖身高为1.6m，求教学楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.4114．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁．（参考数据：3≈1.732，2≈1.414，sin75°≈0.966，cos75°≈（1）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．（2）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．一．选择题（共5小题）1．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）A．3 B．23 C．1 D．22．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（）（参考数据：3≈1.732，2≈A．58J B．159J C．1025J D．1732J3．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°4．（2023•广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（）nmile．A．1033 B．2033 C．205．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的