专题01空间向量与立体几何（基础12种题型+能力提升题）（原卷版）

专题01空间向量与立体几何（基础12种题型+能力提升题）一．异面直线及其所成的角（共4小题）1．（2022秋•蓝田县期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是．2．（2022秋•颍州区校级期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为．3．（2022秋•东坡区校级期末）如图，S为等边三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与AC所成的角为．4．（2022秋•涡阳县校级期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1（包括两个端点）上的动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为，则线段BD的长为．二．空间中的点的坐标（共1小题）5．（2022秋•西城区期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，3，0），B（0，3，﹣1），则（）A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy C．直线AB∥坐标平面xOz D．直线AB⊥坐标平面xOz三．空间两点间的距离公式（共1小题）（多选）6．（2022秋•凌河区校级期末）空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于5的是（）A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（2，﹣3，5） D．（3，0，4）四．空间向量及其线性运算（共6小题）7．（2022秋•定远县校级期末）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（）A． B． C． D．8．（2022秋•黄山期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则＝（）A． B． C． D．9．（2022秋•米东区校级期末）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则＝（）A． B． C． D．10．（2022秋•玉林期末）如图，空间四边形OABC中，．点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则＝（）A． B． C． D．11．（2022秋•徐汇区校级期末）已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为．12．（2022秋•淄博期末）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．（1）用向量表示；（2）求．五．共线向量与共面向量（共1小题）13．（2022秋•朝阳区校级期末）已知，，若与共线，则x+y＝．六．空间向量的数量积运算（共4小题）14．（2022秋•天宁区校级期末）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是．15．（2022秋•荔湾区校级期末）已知向量，若，则m＝．16．（2022秋•勃利县校级期末）已知向量＝（0，﹣1，1），＝（4，1，0），|λ+|＝且λ＞0，则λ＝．17．（2022秋•丰城市期末）＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，﹣4），则||＝．七．空间向量的夹角与距离求解公式（共1小题）18．（2022秋•锦州期末）直线l的方向向量为，且l过点A（1，1，1），则点P（﹣1，2，1）到l的距离为（）A． B． C． D．八．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共4小题）19．（2022秋•新余期末）已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A． B． C． D．（多选）20．（2022秋•东湖区校级期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（）A．若x+y+z＝，则x＝y＝z＝0 B．，，两两共面，但，，不共面 C．一定存在实数x，y，使得＝x+y D．+，﹣，+2一定能构成空间的一个基底（多选）21．（2022秋•花都区校级期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，22．（2023春•龙岩期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量＝（）A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．﹣+九．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共2小题）23．（2022秋•荆州区校级期末）已知x，y∈R，向量，，，且，，则＝（）A． B． C．4 D．324．（2022秋•东城区期末）已知空间向量＝（1，﹣1，0），＝（m，1，﹣1），若⊥，则实数m＝．十．平面的法向量（共2小题）（多选）25．（2022秋•西城区校级期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，3，﹣1），，﹣3，1），则l1∥l2 B．直线l的方向向量，﹣1，2），平面α的法向量是，4，﹣1），则l⊥α C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，2，﹣1），，4，2），则α⊥β D．直线l的方向向量，3，0），平面α的法向量是，﹣5，0），则l∥α26．（2022秋•兰山区校级期末）已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，若点B（m，0，2﹣m）在平面α内，则m＝．十一．直线与平面所成的角（共4小题）27．（2022秋•兴城市校级期末）如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB、BD．（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．28．（2022秋•怀柔区期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝2，点E在AB上，且AE＝1．（Ⅰ）求直线BC1与A1C所成角的大小；（Ⅱ）求BC1与平面A1EC所成角的正弦．29．（2023春•青秀区校级期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．（1）求证：C1M⊥B1D；（2）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．30．（2022秋•城区校级期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝CP，DE＝DA．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．十二．二面角的平面角及求法（共2小题）31．（2022秋•郴州期末）在空间中，已知平面α过点（3，0，0）和点（0，4，0）及z轴上一点（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面xOy上的夹角为45°，则a＝．32．（2022秋•温州期末）二面角α﹣l﹣β的棱上有两个点A、B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则平面α与平面β的夹角为．一．多选题（共3小题）（多选）1．（2022秋•薛城区期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．AP⊥B1C B．PD⊥BC C．直线PC1与平面A1BCD1所成角的最小值是 D．PC+PD的最小值为（多选）2．（2022秋•广州期末）已知空间向量＝（﹣2，﹣1，1），＝（3，4，5），则下列结论正确的是（）A． B． C． D．在上的投影数量为（多选）3．（2022秋•天河区校级期末）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AC的中点，则（）A．＜，＞＝120° B．BD1⊥AC C．BD1⊥EB1 D．∠BB1E＝45°二．填空题（共2小题）4．（2022秋•保山期末）半正多面体（又称作“阿基米德体”），是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，其构成体现了数学的对称美．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正14面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体沿共顶点的三条棱的中点截去八个相同的三棱锥所得，则这个半正多面体的体积为；若点E为线段BC上的动点，则直线DE与平面AFG所成角的正弦值的取值范围为．5．（2022秋•惠州期末）空间直角坐标系xOy中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，过点P（x0，y0，z0）且方向向量为的直线l的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x﹣y+z+1＝0，直线l是两个平面x﹣y+2＝0与2x﹣z+1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为．三．解答题（共9小题）6．（2022秋•三门峡期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是边长为2的等边三角形，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，PA＝2CD，PD＝，E是棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出T的位置；若不存在，请说明理由．7．（2022秋•中山市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F分别为棱PD，PB的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求直线DG与平面AEF的距离；若不存在，说明理由．8．（2022秋•西山区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝，PD＝DC＝2BC＝4，点E是线段AD的中点，点F在线段AP上且满足＝λ，PD⊥面ABCD．（Ⅰ）当λ＝时，证明：PC∥平面BFE；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？9．（2022秋•邵东市校级期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，，PA＝PB＝PD＝2．（1）证明：PA⊥BD；（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值．10．（2022秋•湖北期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，AB∥CD，∠APD＝∠ABC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA中点．（1）求证：DE∥面PBC；（2）求证：PA⊥面PBD；（3）点Q在棱PB上，设，若二面角P﹣AD﹣Q的余弦值为，求λ．11．（2022秋•九龙坡区校级期末）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．（Ⅰ）试用表示向量；（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．12．（2022秋•温州期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离．13．（2022秋•浉河区校级期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面A