2.6 直角三角形（原卷版）

2.6直角三角形1.认识直角三角形2.掌握直角三角形的两个锐角互余的性质定理3.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质知识点一直角三角形我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(righttriangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC知识点二直角三角形性质定理直角三角形性质定理1直角三角形的两个锐角互余因为“三角形三个内角的和等于180°”,直角三角形两个锐角的和为180-90°=90°直角三角形性质定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形性质定理3（含30°角的直角三角形的性质）在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半即学即练1如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，∠1=62°，则∠2的大小是（

）

A．56° B．58° C．60° D．62°即学即练2（2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC，若AE=4，则BD的长等于(

)

A．1 B．32 C．2 D．即学即练3（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为（）

A．12 B．14 C．16 D．18知识点三直角三角形的判定定理有两个角互余的三角形是直角三角形.事实上,根据“三角形三个内角的和等于180°”,当一个三角形中有两个角互余时,它的第三个角就等于90°,所以这个三角形是直角三角形.即学即练1（2023秋·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）已知线段AB的垂直平分线上有两点E，F，直线EF交AB于点C，且∠AEC=70°，∠AFC=45°，则∠EAF=．即学即练2（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）最近，小明同学学习了定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”请验证小明同学的猜想．已知：如图，在△ABC中，CD是ΔABC边AB上的中线，且CD=求证：△ABC为直角三角形．证明：用直尺和圆规，作线段AB的垂直平分线交AB于点D（保留作图痕迹），连接CD，则点D是线段AB的中点，CD是△ABC的中线∴①又∵CD=∴AD=BD=CD∵AD=CD∴②∵BD=CD∴③又∵∠DCA+∠A+∠DCB+∠B=180°∴∠A+④=90°∵∠A+∠ACB+∠B=180°∴⑤=90°∴△ABC为直角三角形题型一直角三角形的两个锐角互余例1（2023秋·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考阶段练习）如图，已知ΔABC，∠C=90°，AC<BC

(1)用直尺和圆规作出∠BAC的角平分线交BC于点D，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的基础上，若∠B=36°，求∠CAD的度数．举一反三1（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大面小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（

）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO举一反三2（2022秋·浙江杭州·八年级校考阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（

）A．若a=b，则aB．若ab=1，则a与b互为倒数C．直角三角形两个锐角互余D．角平分线上的一点到角的两边距离相等举一反三3（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，高线CE⊥AB于E，角平分线CD平分∠ACB，∠ACE=34∠B，且∠ECD=10°，则

题型二含30度角的直角三角形例2（2022秋·浙江台州·八年级校考期中）如图所示，∠AOB=60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP=4，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段

A．1 B．2 C．3 D．4举一反三1（2023秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB

(1)∠ACD=°，AE=；(2)若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；(3)若点M在线段CD上，连接MP、ME，则MP+ME的值最小时CP=．举一反三2（2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC，若AE=4，则BD的长等于(

)

A．1 B．32 C．2 D．举一反三3（2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP=2cm/s，VQ=1.5cm/s，当点

(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？题型三斜边的中线等于斜边的一半例3．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE=BE，则∠C的度数（）

A．65° B．70° C．75° D．80°举一反三1．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°．延长AB到D，使得CD=AB，则∠BCD=°．

举一反三2（2023秋·浙江·八年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=6，则∠B的度数为（

A．30° B．45° C．60° D．75°举一反三3（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，

(1)求∠AEB的度数；(2)求线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．单选题1.（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠AA．25° B．30° C．45° D．60°2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=25∘，O为斜边中点，将线段OA绕点O逆时针旋转a0∘<α<A．80∘ B．65∘ C．50∘3．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．若∠C=70°，则∠BAD的度数为（

）A．20° B．30° C．35° D．40°4．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图是一张长方形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=CD，则∠DAF的度数为（

）A．15° B．16° C．18° D．20°5．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA=PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC=30°；②△PAE为等边三角形：③PD=CE-CP；④S四边形AECP=A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（

A．5 B．10 C．5或4 D．10或87．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB=7.5，则CD的长度是（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5二、填空题1.（2021秋·浙江台州·八年级校考期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC中点，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为．

2．（2021秋·浙江台州·八年级校考期中）如图，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中∠C'

3．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C=90°，若A'E∥BC，当∠A=30°时，则∠ADE的度数；当∠A=α时，则∠ADE的度数为（用

4．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE的度数是

5．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连接DC，则∠DCB的度数是

三、解答题1.（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，过AB边上一点D作DE⊥BC于点E，延长ED，与CA的延长线相交于点F．

(1)求证：AF=AD．(2)若D是AB的中点，DE=4，求DF的长