专题03 五大类立体几何题型（试卷含解析）-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）

专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型3点面距离（体积求算）问题】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为n=(x,y,z).②找出(求出)平面内的两个不共线的向量--n--n.a=00(③根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组〈④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.(l注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组(l有无数多个解，只需给x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量=(x1,y1,z1)，=(x2,y2,z2)是平面C内的两个不共线向量，则向量1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1)是平面C的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法记住六大图像）：中位线型如图⑴,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC.分析：：构造平行四边形如图⑵,平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：AE//平面DCF.分析：过点E作EG//AD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。：作辅助面使两个平面是平行如图⑶,在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD分析取OB中点E，连接ME,NE，只需证平面MEN∥平面OCD。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图求证：PQ∥平面CBE.AB∥面ABC；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图⑹,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面SAD；分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系D一xyz.因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为=（0，1，0）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，O为底面ΔA1B1C1的重心，D=CC1,CD:DC1=1:2.(2)若AA1」底面A1B1C1，且三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为6，设直线AB1与平面A1B1C所成的角为θ,求sinθ的值.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E、FDCC1D1的夹角的余弦值.如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，A1A=D1D=，点P是棱DD1的中点，点Q在棱BC上.(1)若BQ=3QC，证明：PQ∥平面ABB1A1；(2)若二面角P-QD-C的正弦值为，求BQ的长.AC，BC的中点.求证：MN//平面BCC1B1；AD，2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ABAD,AD//BC，BC=AD，PA=AB=2，E为棱PD的中点.求证：EC//平面PAB；(1)求证：CD平面PAD；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的大小.条件①：AB=；条件②：BC//平面PAD.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.4．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD是长度为2的底面圆的两条直径，ABnCD=O，且SO=3，P为母线SB上一点.求证：当P为SB中点时，SA∥平面PCD；5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面ABCD，AB//CD，点E在棱PB上，PE=2EB，点F，H是棱PA上的三等分点，点G是棱PD的中点.PC=CB=CD=AB=2，AC=.证明：HD//平面CFG，且EC//FG；6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PDAD，平面PAD平面ABCD，PD=AD=2，E是PC的中点，作EFPB交PB于F.求证：PA//平面BDE；7．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=PC，PBAC.(1)证明：四边形ABCD为菱形；(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合证明：AE不可能与平面PCD平行.BCD证明：B1M//平面A1C1D；必记结论：①特殊的平行四边形牵边长之比1:2，夹角为600，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形牵边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可如：要证AC」平面BDE；第一步：表示AC,表示（BDDEBE）中的两个如图，在四棱锥P一ABCD中，PA」平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，求证：BD」平面PAC.求证：BC1」平面A1B1C；分别是AB，A1C的中点.求证：MN」平面A1B1C.E是C1D1上的点,，且C1E,AA1,AB的长成等比数列，又M是BB1所在的直线l上的动点.求证：AB1平面BCE2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC平面AA1C1C，D是AA1的中点，‘ACD是边长为2的等边三角形.证明：C1DBD.3．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1平面π.AB1C,BB1AB1,AB=4,AA1=AB1=2,BACπ.2证明：AC平面ABB1A1；4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面ABCD，ABCD，点E在棱PB上，PE=2EB，(1)证明：HD∥平面CFG，且C，E，F，G四点共面；(2)证明：平面PAB平面PBC；5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD侧面PAB，F为BD中点，E是PA上的点，PA=PD=2，PAPD.求证：平面PAD平面ABCD； 2π 2π平面BCDE,F为BC中点.证明：平面AEC平面AFD；7．如图几何体中，底面ABC是边长为2的正三角形，AE平面ABC，若AE//CD//BF，求证：平面DEF平面AEFB；8．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为矩形，AB=AD=，高为h，O，E分别为底面的中心和CD的中点.求证：平面A1OE平面CDD1C1；----点面距离问题PP1PP2-(PP1.a(PP1.a)aa2PP.PP.11nnPP.PP.11nn1PP.1-n- 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()已知正方形ABCD的边长为1，PD」平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离2）求直线AC到平面PEF的距离.分别为线段BC，AD的中点，且底面ABCD为正方形.(1)求证:平面BCC₁B₁」平面EFGA到平面A₁B₁C₁D₁的距离.2．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，AF点G是线段BF的中点.(1)证明：EG//平面DAF；(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面DEF的距离.3．如图，在直三棱柱形木料ABC-A1B1C1中，D为上底面ABC上一点.(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线l与B1D垂直，应该如何画线，请说明理由；2,E为A1B1的中点，求点B到平面AC1E的距离.24．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，BAD=60。，AB=2，AA1=4，E是DD1的中点.(1)证明：BD//平面AC1E；(2)求点B到平面AC1E的距离.5．图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，(1)证明：AEPD；(2)求点C到平面BAE的距离.6．设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，若(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为√2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；7．如图，在四棱锥P一ABCD中，AD//BC，AD」PD，平面PAD」平面PCD.(1)证明：BC」平面PCD；BC，A1C1的中点.a.a.(1)求证：EF//平面ABB1(2)若底面ABC是边长为2的正三角形，且平面ACC1A1」平面ABC，求点C1到平面ABB1A1的距离.a.ba.b①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解b②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式cos,=b关键是求出.及与求出dl结论：sincdl{d牵点面距离（d往往用等体积法计算l牵线自身长度}如图，在四棱锥P一ABCD中，四边形ABCD是菱形，AC（BD=O，ΔPAC为正三角求直线PA与平面PBD所成角的大小；四棱锥PABCD中，PA」平面ABCD，四边形ABCD为菱形，经ADC=60。，PA=AD=2，E为AD的中点.求PC与平面PAD所成的角的正切值；N是AC的中点.求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，则D1正弦值为.1．如图，在几何体ABCDEF中，ADEF为等腰梯形，ABCD为矩形，AD//EF，AB=1，AD=3，DE=，EF=1，平面ADEF平面ABCD.(1)证明：BFCF；(2)求直线AF与平面CEF所成角的余弦值.的中点，N为C1E上一点.4242(1)证明：BN//平面A1DC；(2)若AB=AC,=3，求直线DN与平面A1DC所成角的正弦值.3．如图，在四棱锥Q-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，CD//AB，B平面ABCD，QA=QD，点M是AD的中点.(1)证明：QMBD.7(2)点N是CQ的中点，AD=AB=2CD=2，当直线MN与平面QBC所成角的正弦值为7时，求四棱锥Q-ABCD的体积.4．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，AF点G是线段BF的中点.(1)证明：EG//平面DAF；(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面DEF的距离.5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段(1)求三棱锥M一A1BC的体积；(2)求MC与平面MA1B所成角的正弦值.6．如图，已知三棱锥P一ABC,PB」平面PAC,PA」PC,PA=PB=PC，点O是点P在平面ABC内的射影，点Q在棱PA上，且满足AQ=3PQ.(1)求证：BC」OQ；(2)求OQ与平面BCQ所成角的正弦值.(1)求证：平面ABB1A1」平面BCC1B1；(2)求AC与平面BCC1B1所成角正弦值.8．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，且BD=CD=1,BD」CD.DE」平面ABCD，且DE=BF=,DEBF.点H,G分别为线段DC,EF上的动点，满足DH=EG=λ(0<λ<2).1212(1)证明：直线GH平面BCF；(2)是否存在λ,使得直线GH与平面AEF所成角的正弦值为？请说明理由.n.n结论：二面角的平面角cosθ=n1.n2(θe(0，πn.n提示：C是二面角的夹角，具体cosθ取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负.结论：任意二面角的平面角C满足cosC=__如（M注意：N为原图上的点，而分子_则是N点在面MAB的投影点在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，DAB=60。,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF.求二面角FBDC的余弦值.的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°,PA=AD=2，E为AD的中点.求二面角A-PD-C的正弦值.1．如图，三棱台ABC-A1B1C1中，ΔABC是边长为2的等边三角形，四边形ACC1A1是等腰(1)证明：ACBD；(2)若直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值为，求二面角A1-AC-B的大小.2．如图，在三棱锥D-ABC中，AB=AD=BD=3,AC=7,BC=CD=5.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)若E是线段CD上的点，且=4，求二面角E-AB-C的正切值.3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABC=BCD=90。,PA平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,M为侧棱PC的中点.(1)求点D到平面PBC的距离；(2)求二面角M-AD-B的正切值.4．如图，在正四面体P-ABC中，E,F是棱PC的两个三等分点.(1)证明：ABPC；(2)求出二面角P-AB-E,E-AB-F,F-AB-C的平面角中最大角的余弦值.5．如图，已知PD平面ABCD,CD=2AB=2AD=2,AB//CD,ADCD,PC与底面ABCD所成角为θ,且tanθ=.(1)求证：CB」平面PBD；6．如图，在四棱锥P一ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中ABCD，BCD=60。(1)证明：AD」PD；(2)若AB」PD，且PC与平面ABCD所成角的正切值为2，求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值.段BB1上的一个动点，E,F分别是线段BC,AC的中点，记平面DEF与平面A1B1C1的交线为l.(1)求证：EF//l；(2)当二面角D-EF-C的大小为120。时，求BD.8．如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=BC=线AC折到△APC的位置，点P在平面ABC内的射影H恰好落在直线AB上.(1)求二面角P-AC-B的正切值；(2)点F为棱PC上一点，满足PF=2FC，在棱BC上是否存在一点Q，使得直线FQ与平面ABF所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型3点面距离（体积求算）问题】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为n=(x,y,z).②找出(求出)平面内的两个不共线的向量--n--n.a=00(③根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组〈④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.(l注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组(l有无数多个解，只需给x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量=(x1,y1,z1)，=(x2,y2,z2)是平面C内的两个不共线向量，则向量1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1)是平面C的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法记住六大图像）：中位线型如图⑴,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC.分析：：构造平行四边形如图⑵,平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：AE//平面DCF.分析：过点E作EG//AD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。：作辅助面使两个平面是平行如图⑶,在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD分析取OB中点E，连接ME,NE，只需证平面MEN∥平面OCD。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图求证：PQ∥平面CBE.AB∥面ABC；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图⑹,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面SAD；分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系D一xyz.因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为=（0，1，0）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，O为底面ΔA1B1C1的重心，D=CC1,CD:DC1=1:2.(2)若AA1」底面A1B1C1，且三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为6，设直线AB1与平面A1B1C所成的角为θ,求sinθ的值.破解1）连接C1O交A1B1于E点，连接CE.因为O为底面ΔA1B1C1的重心，则EO:OC1=1:2，因为OD丈平面A1B1C,EC一平面A1B1C，（2）取AB的中点F，连接EF.」底面A1B1C1，且三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为6，可知射线EB1,EC1,EF两两垂直，以EB1,EC1,EF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，0,33,6，令y=-2，可得x=0,z=，可得=(0,-2,)，2π(2)若DC=DD1=2AD=4,经D1DC=3,AD」平面DCDCC1D1的夹角的余弦值.破解1）证明：如图，设C1D的中点为O，连接OF、AO. 2 2..又：E为AB的中点，且四边形ABCD是平行四边形，∴四边形AOFE为平行四边形.∴AOⅡEF.（2）解：在平面DCC1D1中，作DH」DC交C1D1于H.∵AD」平面DCC1D1，DH一平面DCC1D1，DC一平面DCC1D1，∴AD」DH,AD」DC.分别以射线DA、DC、DH为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，在平行六面体ABCD一A1B1C1D1中，由AD」平面DCC1D1得平行四边形ABCD是矩形.,C1HDD1H)，D0,2,2. 由AD」平面DCC1D1得是平面DCC1D1的法向量.)是平面EFN的法向量.AD2x(2)+()x0+5x03030设平面EFN与平面DCC1D1的夹角为θ,则cosθ=cos,=.常平面EFN与平面DCC1D1的夹角的余弦值为.如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，A1A=D1D=，点P是棱DD1的中点，点Q在棱BC上.(1)若BQ=3QC，证明：PQ∥平面ABB1A1；(2)若二面角P-QD-C的正弦值为，求BQ的长.破解1）证明：取AA1的中点M，连接MP，MB.又点M，P分别是棱A1A，D1D的中点，所以MP∥AD，且MP==3.在正方形ABCD中，BC∥AD，BC=4，又BQ=3QC，所以BQ=3.从而MP∥BQ且MP=BQ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以PQ∥MB.又因为MB一平面ABB1A1，PQ丈平面ABB1A1，所以PQ∥平面ABB1A1；（2）在平面AA1D1D中，作A1O」AD于O.AA1D1D，所以A1O」平面ABCD.在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则ON」OD.以}为正交基底，建立空间直角坐标系O-xyz.设二面角P一QDC的平面角为θ,由题意得cos 2θ1 又cos设二面角P一QDC的平面角为θ,由题意得cos 2θ1 1 221 解得t=0或6（舍因此BQ=1.：在平面A1ADD1中，作PH」AD，垂足为H.因为平面A1ADD1」平面ABCD，平面A1ADD1n平面ABCD=AD，PH」AD，PH一平面A所以PH」平面ABCD，又DQ一平面ABCD，所以PH」DQ.在平面ABCD中，作HG」DQ，垂足为G，连接PG.因为PH」DQ，HG」DQ，PHnHG=H，PH，HG一平面PHG，所以DQ」平面PHG，又PG一平面PHG，所以DQ」PG.因为HG」DQ，PG」DQ，所以经PGH是二面角P-QD-A的平面角.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1ADD1是梯形，A=，点P是棱DD1的中点，所以PH=2，DH=.1 根21 根1 根21 根2xx2-8x+322xx2-8x+32因为二面角P-QD-C的平面角与二面角P-QD-A的平面角互补，且二面角P-QD-C的正弦值为，所以sin经PGH=，从而tan经PGH=5. PH 所以在Rt△PHG中，HGxx2-8x+3226所以当二面角P-QD-26AC，BC的中点.求证：MN//平面BCC1B1；【详解】∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1B1的中点，所以B1M=A1B1=AB，且B1M//AB，：因为P，N分别BC，AC的中点，AB，∴PN//AB，PNAB，：PN//B1M，PN=B1M，∴四边形B1MNP为平行四边形，∴MN//B1P，又∵MN丈平面B1C1CB，B1P一平面B故MN//平面B1C1CB.BC=AD2．如图，在四棱锥P一ABCD中，PA」平面ABCD，AB」AD,BC=ADPA=AB=2，E为棱PD的中点.求证：EC//平面PAB；【详解】取PA中点为M，连接ME,MB，如下所示：在△PAD中，因为M,E分别为PA,PD的中点，故ME//AD,MEAD；又AD//BC,BCAD，故ME//BC,MEBC，则四边形MBCE为平行四边形，EC//MB；又MB面PAB,EC面PAB，故EC//面PAB.3．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAADCD2，BC3，PC2.(1)求证：CD平面PAD；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的大小.条件①：AB；条件②：BC//平面PAD.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)所选条件见解析， π 4【详解】（1）如图，连接AC，因PA」平面ABCD，AC,CD一平面ABCD，则PA」AC， 4π注意到AD=DC=2，则△ADC为等腰直角三角形，其中经 4π π .2所以CD」AD，又因为PA」CD，AD,PA一平面PAD，AD（PA=A，所以CD」平面PAD；（2）若选条件①,由余弦定理可得，AC2+BC2-AB28+9-5若选条件②,因BC//平面PAD，BC一平面ABCD，平面ABCD（平面PAD=AD，则故建立以A为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（x轴所在直线与DC平行）平面PAD法向量为=(2,0,0)，2 2.DCn.2 2.DCn.DC2根据平面角的范围可知θ=.根据平面角的范围可知4．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD是长度为2的底面圆的两条直径，ABnCD=O，且SO=3，P为母线SB上一点.求证：当P为SB中点时，SA∥平面PCD；【详解】连接PO，因为P，O分别为SB，AB的中点，所以PO为ΔBSA的中位线，所以SA//PO，又PO一平面PCD，SA丈平面PCD，所以SA∥平面PCD；5．如图，在四棱锥P一ABCD中，PC」平面ABCD，AB//CD，点E在棱PB上，PE=2EB，点F，H是棱PA上的三等分点，点G是棱PD的中点.PC=CB=CD=AB=2，AC=.证明：HD//平面CFG，且EC//FG；【详解】因为F，G分别为PH，PD的中点，所以FG//HD，又FG一平面CFG，HD丈平面CFG，所以HD//平面CFG，连接HE，在‘PAB中，==2，所以HE//AB，且HE=AB且HE=CD=AB所以CD=HE，且CD//HE，所以四边形HECD为平行四边形，所以CE//HD，又FG//HD，所以CE//FG，6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD」AD，平面PAD」平面ABCD，PD=AD=2，E是PC的中点，作EF」PB交PB于F.求证：PA//平面BDE；【详解】连接AC交BD于点O，连接EO，：四边形ABCD为正方形，常O为AC中点，又E为PC中点，常OE//PA，：OE一平面BDE，PA丈平面BDE，常PA//7．在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=PC，PB」AC.(1)证明：四边形ABCD为菱形；(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合证明：AE不可能与平面PCD平行.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（11）证明：连接AC，BD，设ACnBD=O，因为底面ABCD为平行四边形，则O为AC，BD的中点.因为PA=PC，所以AC」PO又AC」PB，PBnPO=P，PO一平面PBD，PB一平面PBD，所以AC」平面PBD，又BD一平面PBD，所以AC」BD，所以四边形ABCD为菱形.（22）方法一反证法）假设AE∥平面PDC，因为AB∥CD，AB丈平面PCD，CD一平面PCD，所以AB∥平面PDC，又AB平面PAB，AE平面PAB，ABnAEE，所以平面PAB∥平面PDC，这显然与平面PAB与平面PDC有公共点P所矛盾.所以假设错误，即AE不可能与平面PCD平行.方法二：∵P平面PAB，P平面PCD，∴平面PAB与平面PCD必相交，可设平面PAB平面PCDl，又∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，∴AB∥平面PCD，又∵AB平面PAB，平面PAB平面PCDl，∴AB∥l又∵AE平面PAB，且E不与B重合，∴AE必与l相交∵l面PCD，∴AE必与平面PCD相交，∴AE不可能与平面PCD平行.cos,，cos<,，点M为BD中点.证明：B1M//平面A1C1D；【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）连结B1D1，交A1C1于点N，连结DN，所以四边形BB1D1D是平行四边形，又点M为BD中点，则B1N=MD且B1N//MD，所以四边形B1NDM是平行四边形，从而B1M//ND，因为B1M丈平面A1C1D，DN一A1C1D，所以B1M//平面A1C1D.（2）以A为原点建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0)，D(0,1,0),C(1,1,0)，设点A1为(x,y,z)，其中z>0，------------------ 1,2-AA-A-A1|AA1.AB2|1112|(11)---(11)则A1|222设二面角B一AA1D为θ,则0<θ<π,则sinθ=1一cos2θ=，必记结论：①特殊的平行四边形牵边长之比1:2，夹角为600，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形牵边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可如：要证AC」平面BDE；第一步：表示AC,表示（BDDEBE）中的两个如图，在四棱锥P-ABCD中，PA」平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，求证：BD」平面PAC.证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.又因为PAnAC=A所以BD⊥平面PAC.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1」平面ABC，AB」BCAA1=AB=BC=2.求证：BC1」平面A1B1C；证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线在三棱柱ABC-A1B1C1中，由BB1」平面ABC，所以BB1」平面A1B1C1，因为BC1又A1B1nB1C=B1，所以BC1」平面A分别是AB，A1C的中点.求证：MN」平面A1B1C.证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）：三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，：四边形BCC1B1是正方形BC1」B1CMN」B1C.第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线M=CM，又N是A1C的中点MN」A1C.：B1C与A1C相交于点CMN」平面A1B1C.1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1上的点,，且C1E,AA1,AB的长成等比数列，又M是BB1所在的直线l上的动点.(1)求证：AB1平面BCE【详解】如图，连接C1D交CE于点F，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有BC面CDD1C1，因为DC1面CDD1C1，所以BCDC1，又因为C1E,AA1,AB的长成等比数列，所以C1E,CC1,CD的长成等比数列，即 11 CD，从而C1ECDC1C，所以C1EFEC1F90。，从而ECDC1，又因为BCDC1，BCECC,BC,EC平面BCE，所以DC1平面BCE，因为B1C1平行且等于BC，BC平行且等于AD，所以B1C1平行且等于AD，即四边形B1C1DA是平行四边形，所以DC1//AB1，又因为DC1平面BCE，所以AB1平面BCE.2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC平面AA1C1C，D是AA1的中点，ΔACD是边长为2的等边三角形.证明：C1DBD.【详解】因为ΔACD是边长为2的等边三角形，所以ADC160。，DA1C1120。，因为D为AA1中点，所以ADDA1A1C1，所以ΔA1C1D为所以A1DC130。，所以CDC190。，所以CDC1D，又因为BC平面AA1C1C，C1D平面AA1C1C，所以BCC1D，又BCCDC，BC平面BCD，CD平面BCD，所以C1D平面BCD，因为BD平面BCD，所以C1DBD；3．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1平面ABCBBAB证明：AC平面ABB1A1；2,BAC π .2【详解】由于平面ABB1A1平面AB1C,且交线为AB1,又BB1AB1,BB1平面ABB1A1，所以BB1平面AB1C,AC一平面AB1C,故BB1」AC，又AB」AC,AB（BB1=B,AB,BB1一平面ABB1A1,故AC」平面ABB1A14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC」平面ABCD，ABCD，点E在棱PB上，PE=2EB，(1)证明：HD∥平面CFG，且C，E，F，G四点共面；(2)证明：平面PAB」平面PBC；【详解】（1）因为F，G分别为PH,PD的中点，所以FG∥HD，又FG一平面CFG，HD丈平面CFG，所以HD//平面CFG.所以HE∥AB，且HE=AB，CD=AB所以CD=HE，且CD∥HE，所以四边形HECD为平行四边形．所以CE∥HD，又FG∥HD，所以CE∥FG，故C，E，F，G四点共面.所以AB2+BC2=AC2，故BC」AB.又PC」平面ABCD，AB一平面ABCD，所以PC」AB，又BCnPC=C,BC,PC一平面PBC，故AB」平面PBC，又AB一平面PAB，所以平面PAB」平面PBC.5．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD」侧面PAB，F为BD中点，E是PA上的点，PA=PD=2，PA」PD.求证：平面PAD」平面ABCD；【详解】：平面PAD」平面PAB，平面PAD（平面PAB=PA，PA」PD，PD一平面PAD，:PD」平面PAB，又AB一平面PAB，:PD」AB；：四边形ABCD为正方形，:AB」AD，：PDnAD=D，PD,AD一平面PAD，:AB」平面PAD，：AB平面ABCD，:平面PAD」平面ABCD. 2π 2π平面BCDE,F为BC中点.,平面ABC」证明：平面AEC平面AFD； 2π【详解】证明：根据题意可得F为BC中点，所以FC1,CD2,BCD 2π易知BE1,BC2,BE∥CD,EBC，所以△EBC△FCD，可得ECBFDC，易知DFCFDC90。，所以DFCECB90。，即DFEC；由ABBCAC，F为BC中点，可得AFBC，又平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，AF平面ABC，所以AF平面BCDE，又EC平面BCDE，所以AFEC；又AFDFF，AF,DF平面ADF，所以EC平面ADF，又EC平面AEC，因此平面AEC平面AFD；7．如图几何体中，底面ABC是边长为2的正三角形，AE平面ABC，若AE//CD//BF，求证：平面DEF平面AEFB；【详解】证明：设M,N分别为EF，AB边的中点，连接MN,DM,CN，因为AE平面ABC，且AE//CD//BF，AE5，CD4，BF3，所以MNCD4，且MN//CD，即四边形CNMD为平行四边形，可得MD//CN，在底面正三角形ABC中，N为AB边的中点，则CNAB，又因为AE平面ABC，且CN平面ABC，所以AECN，由于AEABA，且AE,AB平面ABFE，所以CN平面ABFE，因为MD//CN，且CN平面ABFE，则MD平面ABFE，又MD平面DEF，则平面DEF平面AEFB.8．如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为矩形，ABAD，高为h，O，E分别为底面的中心和CD的中点.求证：平面A1OE平面CDD1C1；【详解】连接AC、D1E，∵O，E分别为AC的中点和CD的中点，∴OE∥AD，，A1D1D1D，且D1DnD1C1D1，D1D、D1C1平面CDD1C1，ADD----D点面距离问题PP1PP2-(PP1.a(PP1.a)aa2PP.PP.11nnPP.PP.11nn1PP.1-n- 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1为解：第一步：识别题干属于哪一种距离空间点线距离第二步：直接利用结论中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离1------- CC. ------所以CC1在------所以CC1在EC上的投影为-124所以点C1到直线EC的距离d=--------2(.)2|-|---|441-9553在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()解：第一步：识别题干属于哪一种距离空间面面距离第二步：直接利用结论--------------333已知正方形ABCD的边长为1，PD」平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离2）求直线AC到平面PEF的距离.解：第一步：识别题干属于哪一种距离空间面面距离第二步：直接利用结论建立以点D为坐标原点，D，D，D分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示，：PD=1，E，F分别为AB，BC的中点，(11)(1)(1)(11)(1)(1)设平面PEF的法向量为=(x,y,z)，所以点D到平面PEF的距离d= 3 ，3所以点A到平面PEF的距离d,===.分别为线段BC，AD的中点，且底面ABCD为正方形.(1)求证:平面BCC₁B₁平面EFG(2)若EF与底面ABCD不垂直，直线ED与平面EBC所成角为45，且EBAB2，求点A到平面A₁B₁C₁D₁的距离.【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）因为EDAEAD，G为AD中点，所以EAED，EGAD，即EGBC，因为ABCD是正方形，所以BCAB，因为F,G分别是BC,AD的中点，所以GF//AB，所以BCGF，又EGnGFG，EG,GF平面EGF，BC平面EGF，又BC平面BCC1B1，平面BCC1B1平面EGF.（2）以F为坐标原点，过F作与平面ABCD垂直的直线为z轴，以FC,GF的方向为x,y轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，设平面EBC的法向量为x,y,z，设直线ED与平面EBC所成角为θ,---ED.--- 所以点E到平面ABCD的距离为，则点A到平面A1B1C1D1的距离为.2．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，AF点G是线段BF的中点.(1)证明：EG//平面DAF；(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面DEF的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取AF中点M，连接DM,GM，如图所示：G为BF中点，则GM//AB，又AB//DE，得GM//DE，由GM=AB，DE=AB，得GM=DE，所以四边形DEGM为平行四边形，DM//EG，又DM一平面DAF，EG丈平面DAF，所以EG//平面DAF.因为DA」平面ABF，且直线DF与圆柱底面所成角为45。，所以经AFD=45。，则有AD=.如图，以F为原点，FB,FA分别为x,y轴，过F垂直于底面的直线FN为z轴，建立空间直角坐标系F-xyz，---()---()设点G到平面DEF的距离为d，---n55故点G到平面DEF的距离.3．如图，在直三棱柱形木料ABC-A1B1C1中，D为上底面ABC上一点.(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线l与B1D垂直，应该如何画线，请说明理由；=，E为A1B1的中点，求点B到平面AC1E的距离.【答案】(1)答案见解析(2).【详解】（1）连结BD，在平面ABC上作l」BD，因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1」平面ABC，因为l一平面ABC，所以BB1」l，所以l」平面BB1D，因为B1D一平面BB1D，所以l」B1D.=，所以B1A1，B1C1，B1B两两互相垂直，以B1为原点，分别以B1A1，B1C1，B1B所在直线为x，y，z轴建立空向直角坐标系，设平面AC1E的一个法向量为=(x,y,z)，因为」，」， ---3设点B到平面AC1E的距离为d，则d=BA.=2 ---3因此点B到平面AC1E的距离为.AA1=4，E是DD1的中点.(1)证明：BD//平面AC1E；(2)求点B到平面AC1E的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）如图所示，连接BD1交AC1于F点，连接EF，由直四棱柱的性质可知F是BD1及AC1的中点，所以EF是ΔBDD1的一条中位线，即EF//BD，又EF一平面AC1E，BD丈平面AC1E，所以BD//平面AC1E；（2）如图所示，作CM」AD，交AD延长线于M，由直四棱柱的特征易知D1D」底面ADB，CM一面ADB，易知B、D1到平面AEC1的距离相等，设点B到平面AC1E的距离为h，=CMxhx11AD.DEhx12EF.AC1，解之得h=.5．图，在四棱锥P一ABCD中，PA」平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，(1)证明：AEPD；(2)求点C到平面BAE的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由PA平面ABCD，CD平面ABCD，故PACD，由底面ABCD是正方形，故CDAD，又PAADA，PA、AD平面PAD，故CD平面PAD，又AE平面PAD，故CDAE，又AECE，CECDC，CE、CD平面PCD，故AE平面PCD，又PD平面PCD，故AEPD；（2）由AEPD，ADAP，故E为PD中点，又PA平面ABCD，故点E到平面ABCD的距离为1，AEPD，由底面ABCD是正方形，故由VEABCVCABE，且VEABCBA//CD，由CDAE，故BAAE，,故VCABE2h，解得h,故点C到平面BAE的距离为.6．设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，若PAAB1,BC2.(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为√2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；【答案】(1)(2)存在，BG=1又AD」CD,PA（AD=A,PA,AD一平面PAD，所以CD」平面PAD，所以经CPD即为PC与平面PAD所成角的平面角，PDPD所以PC与平面PAD所成角的正切值为连接AG,DG，作DM」AG于点M， 5因为PA」平面ABCD，DM一平面ABCD，所以PA」DM，又PA（AG=A,PA,AG一平面PAG，所以DM」平面PAG，所以DM即为点D到平面PAG的距离，由S‘ADG=17．如图，在四棱锥P一ABCD中，AD//BC，AD」PD，平面PAD」平面PCD.(1)证明：BC」平面PCD；【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面PAD」平面PCD，平面PAD（平面PCD=PD，且AD」PD，AD一平面PAD，所以AD」平面PCD，又因为AD//BC，所以BC」平面PCD.（2）由（1）可知，AD」平面PCD，且AD一平面ABCD，所以平面ABCD」平面PCD，过P作直线CD的垂线，垂足为H，则PH」平面ABCD，因为BC」平面PCD，PC一平面PCD，所以PC」BC，则PB2=BC2+PC2，可得PB=2，在直角梯形ABCD中，因为AD=DC2所以S△DAB=x2x2xsin135O=2，在等腰‘PAB中，PA=AB=2,PB=2，取PB的中点M，连接AM，可得AM」PB，且AM=PAPA2(PB)22所以S‘PAB=PB.AM=，设点D到平面PAB的距离为h， ABD，可得.S‘PAB.h=.S‘DAB.PH，解得h=，所以点D到平面PAB的距离为.BC，A1C1的中点.(1)求证：EF//平面ABB1(2)若底面ABC是边长为2的正三角形，且平面ACC1A1」平面ABC，求点C1到平面ABB1A1的距离.【答案】(1)证明见解析(2)6262因为点D，F分别为A1B1，A1C1的中点，所以DF//B1C1，且DFB1C1，又由三棱柱的定义，结合点E为BC的中点可知：DF//BE，且DFBE，所以四边形DFEB是平行四边形，所以EF//BD，又EF平面ABB1A1，BD平面ABB1A1，所以EF//平面ABB1A1；因为CAA160，ACCC1AA1，所以△ACA1是正三角形，又点G为AC的中点，所以A1GAC，由平面ACC1A1平面ABC，有平面ACC1A1n平面ABCAC，因为A1G平面ACC1A1，所以A1G平面ABC，又BG平面ABC，所以A1GBG，所以A1G是三棱锥A1ABC的高，又因为CC1//平面ABB1A1，点C1到平面ABB1A1的距离即为点C到平面ABA1的距离，11AG2BG2ABAABABABAB22,a.a.a.ba.b①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解b②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式cos,=b关键是求出.及与求出dl结论：sincdl{d牵点面距离（d往往用等体积法计算l牵线自身长度}如图，在四棱锥P一ABCD中，四边形ABCD是菱形求直线PA与平面PBD所成角的大小；解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离直线PA与平面PBD，去掉相同的P,只需求A到平面PBD的距离即dA一PBD第二步：利用等体积法求距离VAPBDΔPBD.dAPBD=VPABD=SΔABD.dPABD 12SΔPBD=2ax 12第三步：利用结论求出答案ΔABD 0四棱锥PABCD中，PA」平面ABCD，四边形ABCD为菱形，经ADC=60。，PA=AD=2，E为AD的中点.求PC与平面PAD所成的角的正切值；解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离直线PC与平面PAD，去掉相同的P,只需求C到平面PAD的距离即dC一PAD第二步：利用等体积法求距离VΔCAD.dPCADSΔPADΔCAD第三步：利用结论求出答案N是AC的中点.回求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小.解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离直线A1B与平面BCC1B1，去掉相同的B,只需求A1到平面BCC1B1的距离即dA1一BCC1第二步：利用等体积法求距离第三步：利用结论求出答案0正弦值为.第一步：建系出现坐标如图，建立空间直角坐标系D一xyz，所以=(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向第二步：利用结论设D1C1与平面A1BC1所成角为θ,故直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为11．如图，在几何体ABCDEF中，ADEF为等腰梯形，ABCD为矩形，AD//EF，AB=1，(1)证明：BF」CF；(2)求直线AF与平面CEF所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：如图，过点F作AD的垂线，垂足为M，连接MB,MC，：平面ADEF」平面ABCD，平面ADEFn平面ABCD=AD，FM一平面ADEF，FM」AD:FM」平面ABCD，：MB，MC平面ABCD，:FM」MB，FM」MC，:BF2+CF2=BC2，:BF」CF.（2）解：建立如图所示空间直角坐标系A一xyz,设直线AF与平面CEF所成角为θ,:θe0,，:θ=即直线AF与平面CEF所成角的余弦值为332的中点，N为C1E上一点.(1)证明：BN//平面A1DC；(2)若AB=AC,=3，求直线DN与平面A1DC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接BE,BC1,DE.又D,E分别是棱AB,A1B1的中点，所以BD//A1E，且BD=A1E，所以四边形BDA1E为平行四边形，所以A1D//EB，又A1D平面A1DC,EB平面A1DC，所以EB//平面A1DC，因为DE//BB1//CC1，且DE=BB1=CC1，所以四边形DCC1E为平行四边形，所以C1E//CD，又CD平面A1DC,C1E平面A1DC，所以C1E//平面A1DC，因为C1EEB=E,C1E,EB平面BEC1，所以平面BEC1//平面A1DC，因为BN平面BEC1，所以BN//平面A1DC.（2）四边形ACC1A1,BCC1B1均为正方形，所以CC1LAC,CC1LBC.所以CC1L平面ABC.因为DE//CC1，所以DEL平面ABC.从而DELDB,DELDC.所以‘ABC为等边三角形.因为D是棱AB的中点，所以CDLDB.即DB,DC,DE两两垂直.以D为原点，DB,DC,DE所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.,A-3,0,，4242.设=(x,y,z)为平面A1DC的法向量，设直线DN与平面A1DC所成角为θ,即直线DN与平面A1DC所成角正弦值为平面ABCD，QA=QD，点M是AD的中点.(1)证明：QM」BD.7(2)点N是CQ的中点，AD=AB=2CD=2，当直线MN与平面QBC所成角的正弦值为7时，求四棱锥Q一ABCD的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)或【详解】（1）：M是AD中点，QA=QD，:QM」AD，：平面QAD」平面ABCD，平面QAD（平面ABCD=AD，QM一平面QAD，:QM」平面ABCD，又BD一平面ABCD，:QM」BD.（2）方法一：取BC中点F，连接MF,QF，作MG」QF，垂足为G，连接NG,MC，423423：M,F分别为AD,BC中点，AB//CDMF//AB，又BC」ABMF」BC；由（1）知：QM」平面ABCD，BC一平面ABCDQM」BC；：QM,MF一平面QMF，QMnMF=MBC」平面QMF，又MG」QF，QFnBC=F，QF,BC一平面QBCMG」平面QBC，7：直线MN与平面QBC所成角为经MNGsin经MNG=7,，BC=22(1)222(1)2222+3,ABCD44综上所述：四棱锥Q一ABCD的体积为或.方法二：取BC中点F，连接MF，：M,F分别为AD,BC中点，AB//CDMF//AB，又BC」ABMF」BC；由（1）知：QM」平面ABCD，以F为坐标原点，,正方向为x,y轴正方向，过F作z轴//QM，可建立如图所示空间直角坐标系，，BC=22(1)2设平面QBC的法向量=(x,y,z)，)；:cosMN,MN.MN.24 7，解得：7，解得：a=或a=3,2ABCD=xAB+CD).BC.QM=QM， 当QM时，VQABCD；当QM时，VQABCD.综上所述：四棱锥QABCD的体积为或.4．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，AF，点G是线段BF的中点.(1)证明：EG//平面DAF；(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45，求点G到平面DEF的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取AF中点M，连接DM,GM，如图所示：G为BF中点，则GM//AB，又AB//DE，得GM//DE，由GMAB，DEAB，得GMDE，所以四边形DEGM为平行四边形，DM//EG，又DM平面DAF，EG平面DAF，所以EG//平面DAF.（2）因为OB1，AF，AFB90。，所以BF1.因为DA」平面ABF，且直线DF与圆柱底面所成角为45。，所以经AFD=45。，则有AD=.如图，以F为原点，FB,FA分别为x,y轴，过F垂直于底面的直线FN为z轴，建立空间直角坐标系F一xyz，()()设点G到平面DEF的距离为d，n55故点G到平面DEF的距离.5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段(1)求三棱锥M一A1BC的体积；(2)求MC与平面MA1B所成角的正弦值.【答案】(1)(2)因为A1在底面ABC上的射影为O，所以OA1」面ABC，在三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC//面A1B1C1，在ΔA1B1C1中，M为线段B1C1的中点，B1C1」MA1，因为BC//B1C1，所以BC」MA1，O， 2727（2）设C到平面MA1B的距离为d，则在Rt‘MA1B中，MA1=112所以d=3C=设MC与平面MA1B所成角为θ,则sinθ=dd MC6，所以MC与平面MA1B所成角的正弦值为.6．如图，已知三棱锥P一ABC,PB」平面PAC,PA」PC,PA=PB=PC，点O是点P在平面ABC内的射影，点Q在棱PA上，且满足AQ=3PQ.(1)求证：BC」OQ；(2)求OQ与平面BCQ所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）连结PO，：PB」平面PAC,PA,PC一平面PAC:PB」PA,PB」PC，又：PA」PC:PA、PB、PC两两垂直，以P为原点，PA为x轴，PC为y轴，PB为z轴建立空间直角坐标系P一xyz，如下图所示：:QO.BC=0:设平面BCQ的一个法向量为=(x,y,z)，442+12+1213431343设OQ与平面BCQ所成角为θ,..则sinθ=则---cosQO,---QO.---QOn4=x3242 33.故直线OQ与平面BCQ所成角的正弦值为.(1)求证：平面ABB1A1」平面BCC1B1；(2)求AC与平面BCC1B1所成角正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)sinθ= 12,AB平面ABB1A1，所以BC」平面ABB1A1，因为BC一平面ABC1B1，所以平面ABB1A1」平面BCC1B1.（2）将棱台补全为如下棱锥DB1」平面ABC，AB,AC,BC平面ABC，则AA1」AB，AA1」AC，AA1」BC，设A到平面BCC1B1的距离为h，又VD-ABC=VA-BCD，设AC与平面BCC1B1所成角为θ,θe0,，则sinθ==.8．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，且BD=CD=1,BD」CD.DE」平面ABCD，且DE=BF=,DEBF.点H,G分别为线段DC,EF上的动点，满足DH=EG=λ(0<λ<2).(1)证明：直线GH平面B