2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第4讲空间直线平面垂直的判定与性质课件

第四讲空间直线、平面垂直的判定与性质知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一直线与平面垂直1．直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面α内的________一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．任意(2)判定与性质

判定定理性质定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)垂直于同一平面的两直线平行图形语言l⊥al⊥ba∩b＝Pa∥b过一点垂直于已知平面的直线________________.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，________________叫做这个点到该平面的距离．一条直线与一个平面平行时，这条直线上_________________________，叫做这条直线到这个平面的距离．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．有且只有一条垂线段的长度任意一点到这个平面的距离2．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条斜线和这个平面所成的角．若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为______，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_______.锐角0知识点二平面与平面垂直1．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角θ的范围：θ∈[0，π]．两个半平面垂直2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定与性质

判定定理性质定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．(线面垂直⇒面面垂直)两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.(面面垂直⇒线面垂直)直二面角α⊥βa⊥ba⊥β归

纳

拓

展1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.()(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．()(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()××√×√×题组二走进教材2．(必修2P164T15)(2022·广州中学教学研究会调研)如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EGF中()A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEFA[解析]

由题意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故选A.3．(必修2P152例4)(2022·河南许昌质检)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AB，BC的中点，则直线MN与平面DCA1所成角的大小为()A[解析]

连接AC、AD1，设AD1∩A1D＝H，连HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，∴∠HCA即为MN与平面DCA1所成的角，题组三走向高考4．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1DA[解析]

正方体中DD1⊥EF，又AC⊥BD，EF∥AC，∴BD⊥EF，∴EF⊥平面BDD1，EF⊂平面B1EF，从而平面B1EF⊥平面BDD1，∴A正确；若平面B1EF⊥平面A1BD，则BD⊥平面B1EF，∴BD⊥B1E，又BB1⊥BD，∴BD⊥平面BB1E，又AD⊥平面BB1E，∴AD∥BD这与AD、BD相交矛盾，∴B错误；取A1B1的中点H，则AH∥B1E，由于AH与平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，C错误；取AD的中点M，很明显四边形A1B1FM为平行四边形，则A1M∥B1F，由于A1M与平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，D错误．故选A.5.(2023·新课标全国Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；[解析]

(1)证明：连接AE，DE，因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC①，因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，∴AC＝AB，从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而AD⊂平面ADE，所以BC⊥DA.∴AE2＋DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC⊂平面BCD，∴AE⊥平面BCD.以点E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，考点突破·互动探究空间垂直关系的基本问题——自主练透1.(2024·江苏部分四星级高中调研)设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，在下列命题中，真命题为()A．若m⊥n，n⊥l，则m⊥lB．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βD．若m∥n，m∥α，则n∥αC[解析]

若m⊥n，n⊥l，则m∥l或m，l相交或m，l异面，所以A错误；若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，所以B错误；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n∥β，则α⊥β，所以C正确；若m∥n，m∥α，则n⊂α或n∥α，所以D错误．故选C.2．(多选题)(2022·湖南名校联考)对于不同直线m，n和不同平面α，β，有如下四个命题，其中正确的是()A．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βB．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βC．若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥αBC[解析]

选项A，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能相交可能平行，故A不正确；选项B，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故B正确；选项C，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正确；选项D，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D不正确．故选BC.名师点拨：解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决，其实最好的办法是笔当线，纸、手掌当面动态演示．【变式训练】1．(多选题)(2022·江苏泰州调研)已知直线l与平面α相交于点P，则()A．α内不存在直线与l平行B．α内有无数条直线与l垂直C．α内所有直线与l是异面直线D．至少存在一个过l且与α垂直的平面[解析]

α内的直线与l相交或异面，A对，C错；直线l与它在平面α内的射影m所确定的平面β与平面α垂直，D对；平面α内与射影m垂直的直线也与l垂直，显然这样的直线有无数条，B对．故选ABD.ABD2．(2024·河南名校联考)已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，m⊥l，m⊥α，n⊥l，n⊥β，则下列命题错误的是()A．若m⊥n，则α⊥βB．若m∥n，则α∥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则n⊥α[解析]

若m∥β，则m⊥n，所以α⊥β，C错误．C直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1线、面垂直的判定[解析]

解法一：取AD的中点O，连接SO，OE，OF.因为四边形ABCD是矩形，O，E分别是AD，BC的中点，所以EO綉AB，所以EO⊥AD.因为△SAD是等边三角形，所以SO⊥AD.因为SO∩OE＝O，所以AD⊥平面SOE.因为SE⊂平面SOE，所以AD⊥SE.因为SA＝2AB，所以△SOE是等腰三角形．因为F是SE的中点，所以OF⊥SE.因为OF∩AD＝O，所以SE⊥平面ADF.如图，连接AE，DE，因为E为BC的中点，所以AE＝DE＝2.所以SD＝DE，SA＝AE.又F为SE的中点，所以DF⊥SE，AF⊥SE.因为DF∩AF＝F，所以SE⊥平面ADF.解法三：由解法一易得AD，OE，SO两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，角度2线、面垂直的性质(2023·广东潮州模拟(节选))如图，在斜三棱柱BCE－ADF中，侧面ABCD⊥侧面ABEF，AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，M为CD上的中点．证明：EM⊥BF.[解析]

连接AE，AM，由AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，可知四边形ABCD，ABEF均为含60°的菱形，故AE⊥BF当M为CD的中点时，则AM⊥AB，又侧面ABCD⊥侧面ABEF，AB＝侧面ABCD∩侧面ABEF，故AM⊥平面ABEF，从而AM⊥BF，AE∩AM＝A，所以BF⊥平面AEM，又EM⊂平面AEM，故EM⊥BF.角度3直线与平面所成的角(2022·江苏无锡高三期末)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线B1M与平面A1C1B所成角的正弦值为()D[解析]

解法一：连接B1D1交A1C1于H，连接BD，DB1，DB1∩BH＝O，BH∩B1M＝N，易证B1D⊥平面A1C1B.∴∠B1NO即为B1M与平面A1C1B所成的角，且B1O⊥ON.设正方体棱长为1，名师点拨：1．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．如：直径所对圆周角是直角；菱形对角线互相垂直；等腰三角形底边上的中线、顶角平分线垂直底边．等等．(2)若知某些线段长度，常利用勾股定理的逆定理．(3)利用直线与平面垂直的性质．(4)向量法：a⊥b⇔a·b＝0.2．证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.3．求直线与平面所成角的方法(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角；③求，通过解三角形，求角．【变式训练】证明：PA⊥平面PBC.则∠APB＝90°，所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.证法二：因为△ABC是底面圆O的内接正三角形，且AE为底面直径，所以AE⊥BC.因为DO(即PO)垂直于底面，BC在底面内，所以PO⊥BC.又因为PO⊂平面PAE，AE⊂平面PAE，PO∩AE＝O，所以BC⊥平面PAE.又因为PA⊂平面PAE，所以PA⊥BC.设AE∩BC＝F，则F为BC的中点，连接PF.因此PA2＋PF2＝AF2，从而PA⊥PF.又因为PF∩BC＝F，所以PA⊥平面PBC.证法三：空间直角坐标系法所以AP⊥BP，AP⊥CP.又BP∩CP＝P，故AP⊥平面PBC.(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[解析]

(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.(2)解法一：连接PE，又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB.∴AB⊥平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE.∴∠DPE为PD与平面PAB所成的角．解法二：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，两个平面垂直的判定与性质——师生共研证明：平面PAD⊥平面ABCD.[证明]

证法一：取AB的中点F，连接BD，DF.在四边形ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，故四边形ABCD为直角梯形，又AB＝2BC＝2CD＝2，又由CD∥BF，CD＝BF，所以四边形BCDF为正方形，故BD⊥PD.由PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，从而BD⊥平面PAD，又BD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.证法二：取AD的中点O，AB的中点F，连接PO，BO，DF.在四边形ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，故四边形ABCD为直角梯形，又AB＝2BC＝2CD＝2，故CD∥BF，且CD＝BF＝BC＝1，所以四边形BCDF为正方形，所以△PAD≌△FAD，从而∠APD＝∠AFD＝90°，由AO∩BO＝O，AO⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，从而PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.名师点拨：1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(一般在一个平面内找交线的垂线，证此线与另一面垂直．)2．在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．3.【变式训练】(2024·广东珠海实验中学适应性考试(节选))如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，△APD是等腰直角三角形，∠APD是顶角．求证：平面PAB⊥平面PCD.[证明]

因为平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥CD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为AP⊂平面PAD，所以CD⊥AP，因为△APD是等腰直角三角形，∠APD是顶角，所以AP⊥PD，又PD∩DC＝D，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PCD，所以AP⊥平面PCD，又AP⊂平面PAB，所以平面PAB⊥