中考数学一轮复习课件一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用

知识点1

一元二次方程及其解法1.概念及形式概念含有①

一

⁠个未知数，并且所含未知数的最高次数是②

2

⁠的整式方程一般形式ax2＋bx＋c＝0（其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，a≠0）一22.解法解法适用情况注意事项/步骤直接开平方法（1）形如ax2＋c＝0（a≠0，ac＜0）的方程；（2）形如（x＋b）2＝a（a≥0）的方程开方后所取值前记得加“±”号因式分解法将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因式，形如x（ax＋b）＝0或（ax＋b）（cx＋d）＝0的方程不能在方程两边同除以相同的含未知数的因式解法适用情况注意事项/步骤公式法适用于所有一元二次方程，ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为x＝③

​

⁠（b2－4ac≥0）（1）使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0；（2）将a，b，c代入公式时应注意其符号配方法适用所有一元二次方程，其中当二次项系数化为1，一次项系数为偶数时，配方法较简单配方时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，不要漏加

【提分小练】1.若xm＋3x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为

2

⁠.2.若关于x的一元二次方程（k－1）x2＋2x＋k2－1＝0有一根为0，则k的值为

－1

⁠.3.解方程x2－3x＝0较为合适的方法是（

D

）A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法2－1D

（x－1）2＝3

知识点2

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系概念关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为④

b2－4ac

⁠与根的关系（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）⑤

b2－4ac＝0

⁠⇔一元二次方程有两个相等的实数根；（3）⑥

b2－4ac＜0

⁠⇔一元二次方程无实数根.（4）设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝－，

x1x2＝b2－4acb2－4ac＝0b2－4ac＜0【夺分宝典】根的判别式的作用：（1）直接判断或证明一元二次方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围（注：二次项系数不为0）.【提分小练】5.已知关于x的方程ax2－4x＋1＝0.（1）若方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是

a＜4且a≠0

⁠；（2）若方程有两个相等的实数根，则a的值为

4

⁠；（3）若方程有实数根，则a的取值范围是

a≤4

⁠；（4）若方程有两个实数根，且和为1，则a的值为

4

⁠；（5）若方程的两个实数根互为倒数，则a的值为

1

⁠.a＜4且a≠04a≤441知识点3

一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答类型等量关系变化率问题设a为原来量，若平均增长率为x%，增长次数为2，则增长后的量b＝⑦

a（1＋x%）2

⁠；若平均下降率为x%，下降次数为2，则下降后的量b＝⑧

a（1－x%）2

⁠a（1＋x%）2a（1－x%）2类型等量关系面积问题（1）如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑨

（a－2x）（b－2x）⁠；（2）如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑩

（a－x）（b－x）

⁠；（3）如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑪

（a－x）（b－x）

⁠⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠图1

图2

图3（a－2x）（b－2x）（a－x）（b－x）（a－x）（b－x）类型等量关系每每问题（1）常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量；（2）每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数

量为（×b）件循环赛问题（1）单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则＝m；（2）互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张，

则x（x－1）＝m【提分小练】6.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元.设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（

C

）A.150（1－x）＝96B.150（1－x2）＝96C.150（1－x）2＝96D.150（1－2x）＝96C7.如图，在长为50m，宽为38m的矩形地四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2，则道路的宽应为

4

⁠m.4

命题点1

一元二次方程及其解法1.若关于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一个根是2，则a的值为（

D

）A.2B.3C.4D.52.三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则该三角形的周长为

12

⁠.D12考点训练（1）x2＋2x－1＝0；

（2）x2－3x＝0；

（2）利用因式分解法解x2－3x＝0.因式分解，得x（x－3）＝0，∴x1＝0，x2＝3.3.（2022·贵阳）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.

（4）利用因式分解法解x2－4＝0.因式分解，得（x＋2）（x－2）＝0，∴x1＝－2，x2＝2.（3）x2－4x＝4；

（4）x2－4＝0.命题点2

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4.已知关于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根是2，则另一个根是（

A

）A.－7B.7C.3D.－3A5.（2022·安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a＋b）（a－b）－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，3*2＝（3＋2）×（3－2）－1＝5－1＝4.若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（

B

）A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根B

A.7B.－7C.6D.－67.（2022·铜仁）若一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为

1

⁠.

B1

命题点3

一元二次方程的应用9.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（

D

）A.（30－2x）（40－x）＝600B.（30－x）（40－x）＝600C.（30－x）（40－2x）＝600D.（30－2x）（40－2x）＝600D10.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（

B

）A.5B.6C.7D.8B11.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了

10

⁠个人.1012.在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/kg，售价不低于20元/kg，且不超过32元/kg，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（kg）与该天的售价x（元/kg）满足如下表所示的一次函数关系.销售量y/kg…34.83229.628…售价x/（元·kg－1）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/kg，求当天该水果的销售量；

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少？解：（2）根据题意，得（x－20）（－2x＋80）＝150，解得x1＝35，x2＝25.∵20≤x≤32，∴x＝25.答：该天水果的售价为25元/kg.

⁠

⁠（一题多解）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：“①该水果的进价是每千克22元.”小李：“②当销售价为每千克38元时，每天可售出160kg；③若每千克降低3元，每天的销售量将增加120kg.”根据他们的对话，解答下列问题：④超市每天要获得销售利润3640元；⑤又要尽可能让顾客得到实惠；⑥求这种水果的销售价为每千克多少元.

（38－x－22）

【自主解答】

答：这种水果的销售价为每千克29元.

（x－22）

【自主解答】

答：这种水果的销售价为每千克29元.

【对点训练】1.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，售价应定为每件多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

答：该商品至少需打8折销售.2.2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x.根据题意，得256（1＋x）2＝400，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25（不符合题意，舍去）.答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%.（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款

吉祥物每件每降价1元，月销售量就会增加20件.当该款吉祥物售价为每件

多少元时，月销售利润达8400元？解：（2）设该吉祥物售价为每件y元，则每件的销售利润为（y－35）元，月销售量为400＋20（58－y）＝1560－20y（件）.根据题意，得（y－35）（1560－20y）＝8400，整理，得y2－113y＋3150＝0，解得y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）.答：当该款吉祥物售价为每件50元时，月销售利润达8400元.1.（2023·贵阳白云区期末）用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是（

D

）A.（x＋6）2＝28B.（x－6）2＝28C.（x＋3）2＝1D.（x－3）2＝12.（2023·毕节期末）一元二次方程x2＋3x－2＝0的根的情况为（

A

）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定DA巩固训练3.（2023·铜仁模拟）若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则（

A

）A.x1＋x2＝6B.x1＋x2＝－6C.x1x2＝D.x1x2＝74.（2023·遵义期末）某市2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元.若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（

B

）A.2.7（1＋x）2＝2.36B.2.36（1＋x）2＝2.7C.2.7（1－x）2＝2.36D.2.36（1－x）2＝2.7AB5.（2023·六盘水模拟）关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（

D

）A.m＜B.m＞3C.m≤3D.m＜3D6.（2023·贵阳模拟）已知关于x的方程x2＋mx－20＝0的一个根是－4，则它的另一个根是

5

⁠.7.若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2023－6a＋2b的值为

2019

⁠.8.关于x的一元二次方程x2＋2x＋4c＝0有两个不相等的实数根，则c的值为

0（答案不唯一）

⁠.（写出一个满足条件的值）9.解下列方程：（1）x2－3x＋2＝0；解：分解因式，得（x－1）（x－2）＝0，∴x－1＝0或x－2＝0，∴x1＝1，x2＝2.520190（答案不唯一）（2）2x2＋x－2＝0.

10.如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽应为xm.根据题意，得（50－2x）（38－2x）＝1260，解得x1＝4，x2＝40（不合题意，舍去）.答：道路的宽应为4m.11.已知关于x的一元二次方程kx2－（2k＋4）x＋k－6＝0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；

（2）当k＝1时，用配方法解方程.

12.若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（

D

）A.m≥－1B.m≤1C.m≥－1且m≠0D.m≤1且m≠013.如图，在长为100m、宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（

A

）A.5mB.70mC.5m或70mD.10mDA14.若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为（

C

）A.4B.8C.12D.1615.（2023·内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2－ab