江苏省镇江市2024届高三下学期期初考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省镇江市2024届高三下学期期初考试数学试卷一、选择题1.一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则分位数是（）A.18 B.20 C.21 D.22〖答案〗B〖解析〗因为，故分位数是第6个和第7个的平均数，则，故选：B.2.已知复数满足，则（）A.0 B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由题意，所以.故选：C.3.在中，，且的面积为，则（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因为，所以，解得，由余弦定理可得，所以故选：B.4.已知正数满足，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗因为正数满足，所以，当且仅当，即、时取等号.故选：D5.已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，又，所以.所以：，所以.故选：A6.等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前5项的和为（）A. B. C.5 D.25〖答案〗A〖解析〗设等差数列的公差为且，且，因为成等比数列，可得，即，即或（舍去），所以.故选：A.7.已知，则的值为（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗，，，分子分母同时除以得：①，由于，所以，所以，所以，所以，即，分子分母同时除以得：即，代入①得：，解得.故选：A.8.已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示：

设，则，而，又因为，所以，解得，所以椭圆离心率为.故选：D.二、选择题9.已知，下列命题正确的是（）A.命题“，”的否定是“，使得成立”B.若命题“，恒成立”为真命题，则C.“”是“方程有实数解”的充分不必要条件D.若命题“，”为真命题，则〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：命题“，”的否定是“，使得成立”，故A错误；对于选项B：若命题“，恒成立”为真命题，注意到的图象开口向上，则，解得，故B正确；对于选项C：若，则，可知方程有实数解，即充分性成立；例如，方程有实数解，不满足，即必要性不成立，所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件，故C正确；对于选项D：若命题“，”为真命题，注意到的图象开口向上，对称轴为，则，解得，故D正确；故选：BCD.10.正方体的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合，则（）A.中元素的个数为58B.中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2C.中每个四面体的外接球构成集合，则中只有1个元素D.中不存在四个表面都是直角三角形的四面体〖答案〗ABC〖解析〗正方体的8个顶点中任取4个，共有种情况，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体，所以中元素的个数为58，A选项正确；四面体的体积有以下两种情况：第一种情况如下图所示，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体，若正方体棱长为，则四面体体积为，第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体，若正方体棱长为，则四面体体积为，所以中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2，B选项正确；每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，中只有1个元素，C选项正确；如下图，四面体的每个面都是直角三角形，D选项错误.故选：ABC11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的一个周期B.的最小值是C.存在唯一实数，使得是偶函数D.在上有3个极大值点〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，所以是的一个周期；对于B，，故B错误；对于C，若，则，即，所以，又，所以，经检验符合题意，故C正确；对于D，设，则，令，则在上的函数值小于0，在上的函数值小于0，故所有上面的极值点都是极大值点，同时，，，所以在上各有一个极大值点，从而有三个极大值点，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.与圆和圆都相切的直线方程是______．〖答案〗〖解析〗设圆的圆心为，半径为，则，，设圆的院系为，半径为，则，，所以，所以两圆内切.联立方程，解得，所以两圆的公切线方程为.故〖答案〗为：.13.已知是圆锥底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为______．〖答案〗〖解析〗如图，以点为坐标原点，分别为轴，过点垂直为轴，建立空间直角坐标系，点为底面圆周上一点，则，又，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，，又易知平面的一个法向量为，，如图，锐二面角的余弦值为.故〖答案〗为：.14.如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为．已知，则实数的最小值为______；函数，且，则实数______．〖答案〗23〖解析〗对于第一空：由题意在上单调递增，首先有，（若，则当时，无意义），由对勾函数性质得当时，的单调递增区间为，所以，即实数最小值为2；对于第二空：显然可导，，由题意在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点，所以，解得，经检验满足题意.故〖答案〗为：2，3.四、解答题15.在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，，，为圆的内接正三角形.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：记与交于点，连接，因为是下底面圆的直径，且为圆的内接正三角形，所以垂直平分，，中，,因为，，所以故四边形为平行四边形，故，又平面,平面,故平面.（2）解：由（1）知，则面,如图建立空间直角坐标系：则,设平面的法向量为则令，则，记直线与平面所成角为，则，故，故直线与平面所成角的正切值为.16.为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮结果互不影响．（1）经过1轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及数学期望；（2）用表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求．解：（1）可能取值为．；；．所以的分布列为：01则的数学期望为．（2）设每轮比赛甲乙得分分别为，则，如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则，代入，即，而的可能取值为．所以，或者．此时有二种情况：一是甲两轮都得1分；二是两轮中有一轮甲得1分而另一轮甲得0分．所以．如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理有得，同理有四种情况：．所以．17.已知函数．（1）判断函数在区间上极值点和零点的个数，并给出证明；（2）若恒成立，求实数．解：（1）由题可得令，则因为，所以，,则．所以在上单调递减．，且和在上连续，由零点存在定理知存在唯一零点，使．所以时，，在单调递增；时，，在单调递减，所以在上只有一个极值点，且为极大值点．因为时，，则时，无零点．又因为，且，因为在单调递减，则存在唯一零点，使．所以在上只有一个零点，只有一个极大值点．（2）令，由恒成立，得．因为图象在定义域上连续不间断，只需是的一个极大值点．因为，则，解得．下证：当时，恒成立．因为．①当时，，，，在上单调递增，所以．②当时，令，，则在单调递减，则．，又因为所以当时，综上，当时，恒成立．18.已知双曲线的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为．（1）求双曲线的方程；（2）设双曲线的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，直线与轴的交点为，直线与的交点为，证明．（1）解：因为在上，则①．因为的方程分别为．到的距离之积为，则②，由①②解得，所以双曲线的方程为③．（2）证明：因为，设，则，所以④，因，且在双曲线上，则，代入上式得：，把④代入上式得：⑤．设直线，代入③得：，则：⑥，⑦，由⑤得：，即：，把⑥⑦代入上式得：，因为，所以，则．则，所以点坐标为．不妨设，因，同理，令，则，同理：，要证明，只需证明：，即证明：，将和⑥⑦代入上式显然成立，所以．19.对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．（1）数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？（2）请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为；（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？（1）解：因为，而，所以，数列是二阶等差数列．（2）解：因为数列为阶等差数列，则，则，则，，．