河北省沧衡联盟2024届高三上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省沧衡联盟2024届高三上学期期末联考数学试题一、单项选择题1.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，所以.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，，所以.故选：D.3.已知向量满足，，则（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知向量满足，，故，则，故选：A4.已知，则“”的充要条件为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，则当时，，即，即，故，由于，则，故；当时，，故“”的充要条件为，故选：C.5.已知椭圆的左焦点为F，M，N为上关于坐标原点对称的两个点，若的周长为22，则（）A.4 B.5 C.8 D.10〖答案〗B〖解析〗由可得：，取椭圆的右焦点为，连接，所以的周长为22，所以，因为，所以四边形是平行四边形，，所以，所以，所以，所以.故选：B.6.某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为（）A.18 B.27 C.36 D.45〖答案〗C〖解析〗先从3人中选出2人参加第三场双打，有种选法；这2人参与除双打外的另外四场中各选一场单打，剩余一人参加剩余的两场单打，有种出场安排方法，所以由分步计数原理知：共有种不同的出场安排．故选：B.7.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取中点，连接，交平面于点，由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且，故为二面角的平面角，设正三棱锥侧棱长为2，易得，则，在中由余弦定理得.故选：D.8.直线与曲线的公共点的个数为（）A1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗直线与曲线的公共点的个数，转化为函数的零点的个数，所以转化为函数与图象交点的个数.，，所以，使得，又，所以，使得.所以在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，如图所示：由图可知函数与图象有个交点，故直线与曲线的公共点的个数为.故选：C.二、多项选择题9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.该班数学成绩的极差大于40B.该班数学成绩不低于115分的频率为0.15C.该班数学成绩在内的学生比在外的学生少D.估计该班数学成绩的分位数为97.5〖答案〗BD〖解析〗A选项，该班数学成绩最高分位于中，最低分位于中，故该班数学成绩的极差小于等于，A错误；B选项，该班数学成绩不低于115分的频率为，B正确；C选项，该班数学成绩在内的频率为，该班数学成绩在外的频率为，由于，故该班数学成绩在内的学生比在外的学生多，C错误；D选项，该班数学成绩在的频率为，该班数学成绩在的频率为，故该班数学成绩的分位数落在区间内，设为，则有，解得，估计该班数学成绩的分位数为，D正确.故选：BD10.已知函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则（）A.B.C.在上单调递减D.的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数〖答案〗AC〖解析〗由图象以及，可得函数的周期为4，所以，故A正确，将代入可得，结合点在单调递增区间内，所以,又，所以，故B错误，，，则，故在上单调递减，C正确，将的图象向右平移个单位得到，可知为非奇非偶函数,D错误，故选：AC11.已知函数满足（为的导函数），且在处的切线倾斜角小于，则（）A. B.C.有且仅有1个零点 D.有且仅有1个极值点〖答案〗BCD〖解析〗，由，得，所以，即，所以，故A错误；则，，因为在处的切线倾斜角小于，所以，所以，故B正确；令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值点为，无极大值点，故D正确，，又当时，，，所以函数仅有唯一零点，故C正确.故选：BCD.12.已知抛物线的焦点为，准线为，是上除坐标原点以外的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，与轴交于点，，垂足为，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2 B.若点落在上，则的横坐标为2C.四边形为菱形 D.,,成等比数列〖答案〗CD〖解析〗对于选项A，因为，当且仅当三点共线时取等号，即运动到原点时取等号，此时，由题知是上除坐标原点以外的动点，故选项A错误，对于选项B，易知，设直线的方程为，由，消得到，则，解得，当时，代入，得到，解得，当时，代入，得到，解得，所以选项B错误，对于选项C，设，设直线的方程为，由，消得到，由，又，所以，解得，所以直线的方程为，令，得到，所以，又由抛物线的定义知，，所以，又，所以为平行四边形，又，所以为菱形，故选项C正确，对于选项D，由选项C知直线的方程为，又，令，得到，所以，又，，得到，，得到，所以,,成等比数列，故选项D正确，故选：CD.三、填空题13.已知，数列的前项和为，则_________.〖答案〗〖解析〗因，所以所以.故〖答案〗为：.14.若正数a，b满足，则的最小值是_________.〖答案〗〖解析〗由题意知，正数满足，即关于的方程存在正实数解，由方程的图象表示开口向上的抛物线，且对称轴为，要使得方程存在正实数解，则只需满足，即，因为，可得，解得，所以的最小值为.故〖答案〗为：.15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知，Q为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗由阿波罗尼斯圆定义，设，定点，令，则，平方化简得，因为此方程与为同一方程，所以，解得，所以点，所以，当且仅当、、三点共线时，等号成立，即最小值为点到直线的距离：，故〖答案〗为：.16.已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系，,则，设，故，由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线，故解得，所以故，故〖答案〗为：四、解答题17.已知在等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若是等比数列，且，，求数列的前项和.解：（1）设的公差为.由得，解得所以；（2）由（1）可知，，则，因为是等比数列，所以公比为，所以，所以.所以.18.在中，.（1）求；（2）若，点在边上，平分，求的长.解：（1）因为，所以，由正弦定理得，故由余弦定理可得，因为，所以；（2）因为平分，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以.19.如图，在四棱锥中,底面为菱形,,平面，，为棱的中点，点在棱上.（1）证明：平面平面；（2）若Q为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：如图，连接.由已知可得为正三角形，又为的中点，所以.因为平面，平面，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：因为平面，平面，所以，由已知得，所以两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.设，则由题意，，，，，，，.设平面的法向量为，则，可取.设直线与平面所成的角为，则.20.一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.（1）求第4次闪光为红光的概率；（2）求第次闪光为红光的概率.解：（1）由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，所以.（2）设事件表示“第n次闪光为红光”，事件表示“第n次闪光为黄光”，事件表示“第n次闪光为蓝光”，且，，则，由题意知，当时，，即，整理得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，即第次闪红光的概率为.21.已知双曲线是关于轴和轴均对称的等轴双曲线，且经过点.（1）求的方程；（2）若是上一动点，直线与交于B，C两点，证明：的面积为定值.（1）解：因为是关于轴和轴均对称的等轴双曲线，故可设其方程为，又经过点，所以，所以的方程为，即.（2）证明：因为在上，所以.联立方程得消去整理可得，将代入，可得.所以.设，，则，，所以.点A到直线的距离为，所以的面积为，所以的面积为定值.22.已知函数.（1）设且，求在区间内的单调递减区间（用表示）；（2）若，函数有且仅有2个零点，求的值.解：（1），由，得，当时，，所以，即，当时，，当或时，，所以在区间内的单调递减区间为.（2）依题意，，定义域是.（i）当时，有.当时，，，所以；当时，由（1）知在单调递增，在单调递减，又，所以，又，所以.所以在总有唯一的零点.（ii）当时，有，，,令，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即，若，有，当且仅当时两个不等