【状元桥】2017年高考数学(理)一轮总复习课件第五章数列

5．1数列的概念和简单表示最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图象、通项公式〕．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．第五章数列第五章数列1．数列的概念按照________排列着的一列数称为数列，一般用________表示．2．数列的分类一定顺序有限无限><=3.数列与函数的关系(1)从函数观点看，数列可以看成是以_____________________________为定义域的函数

＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列__________．(2)数列同函数一样有________、__________、____________三种表示方法．4．数列的通项公式如果数列{

}的第n项

与__________之间的关系可以用一个公式________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．正整数集N*(或N*的有限子集{1,2,3,…，n})函数值解析法图象法列表法序号n【思考探究】一个数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？探究点一由数列前几项求数列通项总结反思：(1)由所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察．①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(3)观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些根本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．探究点二由递推公式求数列通项公式根据以下条件，确定数列{an}的通项公式．(1)数列{an}满足an+1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an；(2)数列{an}中，a1＝1，前n项和sn＝an；(3)数列{an}的前n项和sn＝2n2－3n＋1.【变式训练】2.下面数列{an}的递推关系和前n项和，求{an}的通项公式：(1)＝＋b；(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.探究点三数列的性质研究n是正整数——应用函数知识解决数列问题易错点剖析数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，假设对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，求实数k的取值范围．解析：an是关于n的二次函数，结合函数图象知应有－<，所以k＞－3.思维提升：此题容易无视n是正整数，而得到－≤1，产生错误．我们用函数知识解决数列问题时要注意自变量为整数这个特殊性．[友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标5.1”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课时作业5.15.2等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列概念．

2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．

3．了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母______表示，定义的表达式为__________．(2)等差中项如果a，A，b成等差数列，那么____叫做a与b的等差中项且____________．(3)通项公式公差

2同一个常数如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝______________．(4)前n项和公式：Sn＝____________＝__________．【思考探究】

A＝是a，A，b成等差数列的什么条件？提示：充要条件．假设A＝⇒2A＝a＋b⇒A－a＝b－A⇒a，A，b成等差数列．反之，假设a，A，b成等差数列，那么A＝.故A＝是a，A，b成等差数列的充要条件．答案：1．B

2.B

3.B

4.10

5.20探究点一等差数列的判断与证明【变式训练】1.假设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn-1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．探究点二等差数列的根本运算设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项的和S10＝110，且

＝a1a4.(1)证明：a1＝d；(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式．【变式训练】2.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)假设S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．探究点三等差数列的综合应用(1)在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22.这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．(2)假设an＝－n＋11，{an}的前n项和为Sn，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.通过分析an来求前n项和或积的最值思维提升：an的正负对应了Sn的增减，通过分析Sn的增减性易得Sn最值．[友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标5.2”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课时作业5.25．3等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念．

2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．

3．了解等比数列与指数函数的关系．第2项前一项同一个常数等比数列ab公比q〔q≠0〕提示：b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分条件，∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；反之，假设a，b，c成等比数列，那么必有b2＝ac.等比探究点一等比数列的判定与证明探究点二等比数列的根本运算数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)假设{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；(2)假设{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn.总结反思：等比数列根本量的运算是等比数列中的一类根本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用．在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．【变式训练】2.(1)在等比数列{an}中，a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10；(2)等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(3)在等比数列{an}中，假设a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.探究点三等差、等比综合问题(1)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．(2)设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第2项与第4项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(取lg2＝0.3，lg3＝0.4)总结反思：等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．注意等差与等比的常见结合点，如：把等差数列放到指数位置就变成了等比数列，把等比数列放到真数位置就变成了等差数列．等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的根底和出发点．(1)确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q.(2)在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．(3)等比数列求和公式的推导思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前n项和．(4)在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．(5)等差数列与等比数列的关系是：①假设一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么此数列是非零常数列；②假设{an}是等比数列，且an＞0，那么{lgan}构成等差数列．转化思想在求数列通项中的应用思维提升：不是常见类型的递推关系，我们一般想法仍是将递推数列转化为等比(等差)数列．常用设参数法求得通项公式．【跟踪体验】1．a1＝2，an＋1＝2an2＋2an，求数列{an}的通项公式．2．数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．[友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标5.3”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课时作业5.35．4数列求和最新考纲1.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．

2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．探究点一分组转化求和总结反思：分组转化求和就是从通项入手，假设无通项，那么先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求出数列前n项和的数列来求之．【变式训练】1.{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．探究点二错位相减法求和总结反思：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．用乘公比错位相减法求和时，要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．探究点三裂项相消法求和裂项相消法的应用[友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标5.4”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课时作业5.45.5数列综合性问题最新考纲能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．1．数列实际应用题常见模型(1)银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，那么本利和y＝____________．(2)银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，那么本利和y＝__________________．(3)产值模型

a(1+rx)a(1+r)x(x∈N*且x>1)原来产值的根底数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝____________________．(4)分期付款模型设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，那么x＝____________________________．2．等差数列与等比数列的综合性问题(1)既是等差数列又是等比数列的数列只能是____________数列；任意一个非常数的等差数列的任意连续的三项都不可能构成等比数列，任意

N(1+p)x(x∈N*且x>1)非零的常数

一个非常数的等比数列的任意连续三项也不可能构成等差数列．(2)假设数列{an}是公差等于d的等差数列，那么{ban}(b＞0，b≠1)是________数列，其公比为________；假设数列{bn}是各项为正，且公比为q的等比数列，那么{logabn}(a＞0，a≠1)是________数列，其公差为________．3．数列与其他数学知识综合(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．等比

bd等差

logaq

答案：1．B

2.B

3.B

4.16

5.100探究点一等比数列模型的应用某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，求此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励．总结反思：(1)函数的实际应用问题中，有许多问题是以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出假设干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，并合理应用；(2)与等比数列联系较大的是“增长率”“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、本钱、效益的增减问题；在人口的研究中也涉及增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题．这都与等比数列有关．【变式训练】1.甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500mL，同时从甲、乙两个容器中各取出100mL溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n－1(n≥2，n∈N*)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an、bn.记a1＝10%，b1＝20%.(1)试用an－1，bn－1表示an，bn；(2)求证：数列{an－bn}是等比数列，数列{an＋bn}是常数列；(3)求数列{an}，{bn}的通项公式．探究点二数列与函数、不等式的综合

总结反思：解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的根底；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．探究