陕西省西乡二中2023-2024学年数学高三第一学期期末调研模拟试题含解析

陕西省西乡二中2023-2024学年数学高三第一学期期末调研模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

JI

1.已知函数/(x)=sin2x+sin2(x+—),则/（x）的最小值为（）

11

A.-B.-C.BD.正

2442

2.下列函数中，图象关于y轴对称的为（)

A./(x)=-^B./(x)=J7+2%+,7-2%,xe[-l,2]

Vx2+1

ex+e~x

C./(x)=sin8xD.f(x)=——

X

3.若双曲线C：三—二=1的焦距为4岔，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（）

4m

A.2B.4c.V19D.2A/19

已知三棱锥的顶点都在球。的球面上，PA=6,，记，PAB±^ABC,

4.P-A3CPB=A/14»AB=4,C4=C3=

则球O的表面积为（）

IOTT257r40»507r

A.B.C.------D.——

3693

5.设兀r）是定义在R上的偶函数，且在（0,+s）单调递减，则（）

304403

A./(log30.3)>/(2-°-)>/(2--)B./(log30.3)>/(2-°-)>/(2--)

0340403

C./(2--)>/(2-°-)>/(log30.3)D./(2--)>/(2--)>/(log30.3)

6.设是虚数单位，贝心复数2=。+沅为纯虚数”是=的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件

2

7.已知双曲线C的一个焦点为（0,5）,且与双曲线亍->2=1的渐近线相同，则双曲线c的标准方程为（）

222〜22

A.x2-^=lB.乙-二=1C.工-匕=1D.丁-土=1

45202054

8.已知定义在[0,+8）上的函数/Xx）满足/（x）=g/（x+2）,且当尤e[0,2）时，/（》）=-2+2-设/（元）在

[2〃-2,2”）上的最大值为%eN*）,且数列｛凡｝的前“项的和为S”.若对于任意正整数"不等式

MS0+1）22〃—9恒成立，则实数上的取值范围为（）

137

A.[0,+8)B.—,+coC.——,+coD.——,+co

326464

9.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图，这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

频率.

组距]

O.ldL-----------

8

8.10

,08

OS.,04

.002

17.52022.52527.5自习时间/小时

A.56B.60C.140D.120

10.设机，〃是空间两条不同的直线，戊，夕是空间两个不同的平面，给出下列四个命题:

①若zn//a,〃///,allh则加〃〃；

②若。_L/?,mlB,mBa,则根//a；

③若m上几，mLa,all。,则〃//月；

④若a_L/?,a\(3=1,mlla,mJ_/,则相其中正确的是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

11.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为。的正方形及正方形内一段圆弧组成,

则这个几何体的表面积是（）

12.已知全集一一［一］「；v/「；nVn一则Fl仃一（）

一，一1―；—二**_U_j—yJ―匚j-■

A-（-J）B-（-;,a）c.卜；―⑷o-a；.：）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到

抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选出的2只牛蛙中至少有1只

雄蛙的概率是.

14.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为

15.已知点M是曲线y=2加x+/-3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为

16.已知数列｛4｝的前〃项和公式为S“=2〃2—〃+1,则数列｛%,｝的通项公式为一—.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图所示的几何体中，面底面ABC。，四边形ADE尸为正方形，四边形ABC。为梯形，

JT

ABHCD,ZBAD=~,AB=AD=2CD=4,G为8尸中点.

2

（1）证明：CG〃面ADEF；

（2）求二面角A—BE—C的余弦值.

18.（12分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携

带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：A4为开

红花，Aa和一样不加区分为开粉色花，为开白色花.生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包

含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以1

的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的.可以把第〃代的遗传设想为第九次实验的结果，每一次实

验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父系来说，如果抛出正面就选择因子4,如果抛出反面就选择因

子。，概率都是1，对母系也一样.父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状.假设三种遗

传性状A4,Aa（或oA）,因在父系和母系中以同样的比例："：v:w（〃+v+w=l）出现，则在随机杂交实验中，遗

传因子A被选中的概率是0="+；,遗传因子。被选中的概率是4=w+称P,q分别为父系和母系中遗传因子

A和。的频率，夕：4实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比.基于以上常识回答以下问题：

（1）如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是A。，后代遗传性状为A4,Aa（或oA）,。。的概率各是多少？

（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状窈具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状

为A4和Aa（或M）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为。被选中的概率为4,

p+q=l.求杂交所得子代的三种遗传性状A4,Aa（或oA）,所占的比例内,匕,吗.

（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为w的个体假设得到的第九代总体中3种遗传

性状A4,Aa（或oA）,或?所占比例分别为％匕,吗优+v“+吗=1）.设第九代遗传因子4和4的频率分别为0和

U+」上1

q,已知有以下公式〃"2“_2.证明一是等差数列.

nPn------；------，”一1,27,…q

1一%1一%I

（4）求%,乙,%的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生?

711

19.（12分）如图，在正四棱锥尸—A5CD中，AB=2,NAPC=—,〃为Qfi上的四等分点，即

34

（1）证明：平面AMCJL平面「5C；

（2）求平面PDC与平面所成锐二面角的余弦值.

20.（12分）已知C（x）=|x+1卜麻-

（1）当。=1时，求不等式/（力＞1的解集

(2)若尤＜0,1)时不等式〃尤)＞无成立，求。的取值范围.

21.(12分)在直角坐标系xOy中，已知点G的参数方程为＜x—鼻+’。为参数)，以坐标原点。为极

3

点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线a的极坐标方程为r=2+cos2g.

P

(1)求G的普通方程和02的直角坐标方程；

11

(2)设曲线G与曲线02相交于A，B两点,求两+口间的值.

22.(10分)已知函数〃"=一，

(1)求函数/(尤)的单调区间；

4尤2

(2)当0＜相＜7时，判断函数g(x)=——〃z,(x＞0)有几个零点，并证明你的结论；

(3)设函数〃(％)=；%--+/(%)-^x---f(x)-cx2,若函数在(0,+8)为增函数，求实数C的取值

范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

先通过降嘉公式和辅助角法将函数转化为/(x)=l-gcos[2x+m),再求最值.

【详解】

71

已知函数/(x)=sin2x+sin2(x4—),

=1-cos2x

2

1cos2xgsin2「=Jc°s2”71,

2~2J2I3J

因为cos+—JG[—1,1],

所以/(X)的最小值为;.

故选：A

【点睛】

本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2、D

【解析】

图象关于y轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于y轴对称的函数为偶函数；

~x

中，/(-%)=故/(x)=为奇函数;

AxeRJ(-x)~+1

B中，/(x)=j7+2x+,7-2%的定义域为[-1,2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数;

C中，由正弦函数性质可知，/(x)=sin8x为奇函数;

。中，xeR且尤WO,/(-x)=e=/⑶，故以x)=靖+；'为偶函数.

(1%)1一

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法：

⑴定义法：对于函数/'(尤)的定义域内任意一个x都有〃x)=-/(-X),则函数f(x)是奇函数；都有/(%)=/'(-%),

则函数f(x)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数O函数图象关于原点(V轴)对称.

3、B

【解析】

根据焦距即可求得参数相，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.

【详解】

22_

因为双曲线C:二-与=1的焦距为4百，

4m2

故可得4+/九2=（2逐），解得m2=16，不妨取加=4；

又焦点歹（2布,0）,其中一条渐近线为y=-2x,

由点到直线的距离公式即可求的d=也目=4.

V5

故选：B.

【点睛】

本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.

4、D

【解析】

由题意画出图形，找出A融5外接圆的圆心及三棱锥尸的外接球心O,通过求解三角形求出三棱锥尸-5。的

外接球的半径，则答案可求.

【详解】

如图；设A5的中点为O；

•:PA=拒,PB=714»AB=4,

...△ELB为直角三角形，且斜边为A3,故其外接圆半径为：r==45=40=2；

2

设外接球球心为0；

•.•CA=C3=而，PAB±^ABC,

.••。，43可得。，面9&且。C=,042—5=屈.

二。在C£）上；

L5

故有：AO1=OD2+AD2^R2=(a_R)2+/nR=店;

\2

55071

工球0的表面积为：4疝？2=47rx

7丁

故选：D.

c

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.

5、D

【解析】

利用/(%)是偶函数化简/(log30.3),结合/(%)在区间(0,+。)上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

/(x)是偶函数，.•.〃log30.3)=/(—Iog3号)=加幅号)，

4

而log3y>1>243>2-°->0,因为在(0,+8)上递减，

304

••/(log3y)</(2-°-)</(2--)I

即/(1嗅0.3)</(2")</(2-04).

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

6、D

【解析】

结合纯虚数的概念，可得/0,再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.

【详解】

若复数z=a+沅为纯虚数，则。=03/0,所以"=0,若"=0,不妨设。=13=0,此时复数2=。+初=1,

不是纯虚数，所以“复数z=a+bi为纯虚数”是“ab=0”的充分不必要条件.

故选：D

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.

7、B

【解析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.

【详解】

•.•双曲线C与上-丁=1的渐近线相同，且焦点在y轴上,

4

22

...可设双曲线C的方程为右-一个焦点为（。,5）'

22

.•.左+4左=25,.•.左=5,故C的标准方程为二—二=1.

520

故选：B

【点睛】

此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.

8、C

【解析】

由已知先求出了（x）m、=2'T,即进一步可得再将所求问题转化为女2答对于任意正整

2〃一9

数〃恒成立，设g只需找到数列｛g｝的最大值即可.

【详解】

当2〃一2Vx<2〃时，则0〈x+2-2〃<2,f(x+2-2n)=-(x+2-2n)(x-2n),

11

所以,f(x)=T-f[x-2(n-1)]=-2"-(x+2-2n)(x-2ri),显然当x=2”一l时,

/（X）max=2'i，故4=2"，邑=可二0=2"-1,若对于任意正整数“不等式

1—2

。o

左（邑+1）22〃—9恒成立，即左2"22”—9对于任意正整数“恒成立，即左之号?对于任

2〃一911—2〃11-2〃

意正整数〃恒成立，设c〃=—y，。用-。“=亍百，令>0，解得n<—

2"+i29

n—2〃<0,解得〃〉修，考虑到“eN*，故有当时，｛g｝单调递增,

令2〃+i

33

当〃26时，有｛%｝单调递减，故数列｛%｝的最大值为。6==二三,

264

3

所以左2二.

64

故选：C.

【点睛】

本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前〃项和、数列单调性的判断等知识，是一道较

为综合的数列题.

9、C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(016+0.08+004)x2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

10、C

【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.

【详解】

解：①：心、〃也可能相交或异面，故①错

②：因为(z_L〃，mL/3,所以根ua或机//1，

因为7篦tz,所以〃z//1,故②对

③：“//分或"U，，故③错

④：如图

因为。，分，a/3=1,在内々过点E作直线/的垂线。，

则直线a，，，a±l

又因为m〃a,设经过机和戊相交的平面与a交于直线力，则力//b

又mLl,所以b，/

因为a_U,b±l,bua,aua

所以b//a//m,所以m_L/?,故④对.

故选：C

【点睛】

考查线面平行或垂直的判断，基础题.

11、C

【解析】

画出直观图，由球的表面积公式求解即可

【详解】

这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉1个球而形成的，所以它的表面积为

S=3a2+3/一丝_+勾助。2=(6-2]/.

I4J8I4；

故选：C

【点睛】

本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.

12、C

【解析】

先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.

【详解】

由题意得二=1{口二；<4.26二}={二I一？4二<2.ZeZ}={-Z-IAUJ,

••1一={.:'?

故选C.

【点睛】

本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3

13、—

5

【解析】

记4只雌蛙分别为a,dGd,2只雄蛙分别为A,3,从中任选2只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为

(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,,共15个,选出

的2只牛蛙中至少有1只雄蛙包含的基本事件为(。，4)，(。，3)，3,4),(久3),(。,4),(。,3),(44),3,3),(43),共9个，故选

出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是尸=29=(3.

8

14、—

21

【解析】

试题分析：从编号分别为1,1,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有G1=210种不同的结果，

由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件4为“取出球的编号互不相同”，

QAQ

则事件A包含了80个基本事件，所以P(A)=旃=^p

考点：1.计数原理；L古典概型.

15、y=x-3

【解析】

先求导数可得切线斜率，利用基本不等式可得切点横坐标，从而可得切线方程.

【详解】

y'=—+2x-3,

x

,2c。

k=—+2x“—3,%M=1时有最小值1，此时M(L-2),

XM

故切线方程为：y+2=x—1,即y=x—3.

故答案为：y=x-3.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

-2,n=l

16、a=<

[4n-3,n>2

【解析】

由题意，根据数列的通项4与前n项和S”之间的关系，即可求得数列的通项公式.

【详解】

由题意，可知当九=1时，％=H=2；

当〃之2时，a”=S”一S“_]=2n2-n-2（n-l）"+n-l=4«-3.

___f2,n=1

又因为4=1不满足=4"-3,所以a'=<]，.

4«-3,n>2

【点睛】

本题主要考查了利用数列的通项4与前n项和S“之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项4与

前n项和S“之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）-

3

【解析】

⑴取AF的中点结合三角形中位线和长度关系，CDHG为平行四边形，进而得到CG根据线面平行判定

定理可证得结论；

（2）以A3,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据

二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；

【详解】

（1）取AF的中点"，连结GH,HD

因为G为3E中点，AB//CD,AB=2CD,

所以GH〃CD,G〃=C。，二为平行四边形，

所以CG//HD,

又因为HDu面ADEN,CG<Z面ADEN

所以CG〃面ADEN；

（2）由题及（1）易知AB,AD,AF两两垂直，

所以以AB,AD,AE为％,V,z轴建立空间直角坐标系，

则40,0,0）,5（4,0,0）,0（0,4,0）,F（0,0,4）,C（2,4,0）,而=（<0,4）,FC=（2,4,^）

易知面AB厂的法向量为勺=（0,1,0）

设面ABF的法向量为4=（九,Xz）

贝叶%•BF=-4x+42=0

4•FC=2%+4y-4z=0

【点睛】

本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角，正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.

111。，

18、(1)A4,Aa(或@4),的概率分别是一，一，一.(2)%==2。/吗=Q(3)答案见解析(4)答

424

案见解析

【解析】

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

(2)利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

(3)由(2)知M〃+I=p『,y"+]=2，〃“,吗+i求出p“+i、q,1+l,利用等差数列的定义即可证出.

(\2

11/V、。C

(4)利用等差数列的通项公式可得一=一+(〃-1),从而可得纵=丁—，再由吗+1=/2」一,利用式子

/11+nq

的特征可得叼越来越小，进而得出结论.

【详解】

(1)即Aa与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是工，

2

故A4出现的概率是,义工，Aa或她出现的概率是Lx1+Lx』=2,

2222224

aa出现的概率是一x—

22

所以：AAf(或。4),的概率分别是:，—9—

424

21

(2)=p,v1=2pq,wx^q

⑶由(2)知M〃+I=。/"华=2卫/，吗+]

于是

P„i

+i—%+ii-q；1+公

%+1

2

q”+i=1p.q.―p“q.―q.

1一%+1i-qj。-/)(1+或)1+%

是等差数列，公差为1

11

(4)—=-+(«-11X)

%1

v12pq

其中，=2=9(由(2)的结论得)

1］一“l-^21+q

iiq

所以一=—+〃=%

Qn5l+〃q

C、2

于是，%+1=%2q

p+nq/p+nq、2

PL1FL刊/+LP〃2=

J十的,

CCP(p+nq)

V-=2M=2-7TW-

f、2

q,〃越大，叫+1越小，所以这种实验长期进行下去,

很明显wn+1

明越来越小，而吗是子代中。。所占的比例，也即性状。。会渐渐消失.

【点睛】

本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属

于中档题，

19、(1)答案见解析.(2)3

7

【解析】

(1)根据题意可得PB=PD=PA=PC=20，在4M中，利用余弦定理可得AM,依，然后同理可得

CMLPB,利用面面垂直的判定定理即可求解.

UUU

(2)以。为原点建立直角坐标系，求出面PDC的法向量为4,AMC的法向量为%,利用空间向量的数量积即可

求解.

【详解】

(1)由AB=2=AC=2后

由ZAPC=-^>PA=PC=AC=2>j2

3

因为是正四棱锥，故PB=PD=PA=PC=2应

于是BM=丝,PM=-^f2

22

由余弦定理，在△PA3中，设NAPB=e

cPA2+PB--AB23

cost)=---------------------

2PAPB4

再用余弦定理，在△/法M中，

7

AM2=PA2+PM2-2PA-PMcos6=-

2

7i

AM2+MB2=-+-=4=AB2

22

•••/AMB是直角，AM±PB

同理CMJLPB,而P5在平面P5C上，

/.平面AMC±平面PBC

(2)以。为原点建立直角坐标系，如图:

z

y

则£>(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),P(l,l,娓),BQ,2,0)

uuu

设面PDC的法向量为4,AMC的法向量为%

则%=PDxDC=(0,276,-2)

nJ/PB,m«2=PB=(l,1,-76)

于是，二面角。的余弦值为：cos8=一，仁%-=零

l^l-l^l7

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.

20、(1)<xx>^>,(2)(0,2]

【解析】

-2,x<-1,

分析：(1)将4=1代入函数解析式，求得/(%)=卜+1|—除一1|，利用零点分段将解析式化为"x)=2x,—

2,x>1.

然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式/(%)>1的解集为

(2)根据题中所给的xe(0,1),其中一个绝对值符号可以去掉，不等式/(x)>x可以化为时—1|<1,分

情况讨论即可求得结果.

-2,x<-1,

详解：⑴当a=l时，/(x)=|x+l|-|x-l|,即〃x)={2x,—1<X<1,

2,x>1.

故不等式/(%)>!的解集为{H»；

(2)当尤«0,1)时,+1卜卬-1|>%成立等价于当尤40,1)时阿-1]<1成立.

若aWO,则当为e(O,l)时辰

若〃>0,|依一的解集为。<犬<一,所以一21,故。<〃<2.

aa

综上，。的取值范围为(0,2].

点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问

题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二

问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.

21、(1)y=6x一旦x2+^=l(2)4

23

【解析】

(D消去G参数方程中的参数乙求得G的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得。2的直角坐标方程・

(2)求得曲线G的标准参数方程代入的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得

修「阿的直

【详解】

-1

X--Fta为参数)，消去参数可得y=1，

(1)由G的参数方程2

J=亚

由曲线C,的极坐标方程为3=2

+cos，，^2p2+p2COS26>=3,

P

2=3,即/+空=1.

所以的直角坐方程为3x+2y2

3

(2)因为孝j在曲线G上

x=[+-t

，a为参数)，

故可设曲线G的参数方程为<

y=—+—t

22

代入3Y+2y2=3化简可得3/+争+2=0.

Q2

设A,3对应的参数分别为叫t,贝U]+/2=—§=一

2123

1111忖+%2

所以网+画—=—-=4.

1同■同回

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的

几何意义进行计算，属于中档题.

22、(1)单调增区间(0,2),单调减区间为(—8,0),(2,+8)；(2)有2个零点，证明见解析；(3)eV-3

【解析】

(1)对函数/(九)求导，利用导数(%)的正负判断函数/(%)的单调区间即可;

2

⑵函数g(x)=土-〃(x20)有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;

ex

(3)记函数2x)=/(x)-(x-L)=三-x+±x〉0，求导后利用单调性求得产⑴•F(2)<0，由零点存在性定理及单

xexx

调性知存在唯一的毛6(1,2),使R(％)=0,求得网龙)为分段函数,求导后分情况讨论：①当》>/时，利用函数的单

调性将问题转化为2c<“"皿的问题;②当0<x<x°时，当cWO时,勿⑴>0在(0,%)上恒成立，从而求得c的取

值范围.

【详解】

2x-ex-x2-exx(2-x)

(1)由题意知,/'(x),列表如下:

G)2

X(-8,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(X)—0+0—

/(X)极小值T极大值

所以函数/(%)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-8,0),(2,+8).

V2

(2)函数g(%)=----冽，(冗20)有2个零点.证明如下:

ex

44

因为0〈根<不时，所以g(2)