2023年高考数学题型猜想预测卷（上海专用）猜题20空间向量与立体几何（拓展）

猜题20空间向量与立体几何(拓展)

一、解答题

1.如图，在斜三棱柱ABC-A4C中，AB1AC,AB=AC,侧面88。。为菱形，且NB|BC=60。，点。

为棱AA的中点，DB、=DC,平面与。平面8BCC.设平面8QC与平面ABC的交线为，

(1)求证：//平面88CC；

(2)求二面角C-MD-8的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵

【分析1(1)分别延长4。,区4交于E,连接CE,则CE即为平面与平面ABC的交线，取中点F,

连接。儿证得平面BBCC，又可证得〃/。尸从而有//平面BBCC；

(2)以C点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面四。C与面8Q8的法向量，用空间向量求二面角的余

弦值.

【解析】(1)

证明:分别延长耳。,84,设朋c80=E,连接CE,

则CE即为平面与平面A8C的交线，

因为力用=OC,取中点尸，连接。尸，

所以。尸_LBC，DFu平面B、CD,

因为平面片8,平面88CC,且交线为4C,

所以平面8BCC.

因为。为棱AA的中点,ABJ/AB,

所以。为用E的中点，所以〃/DF,

所以/工平面84GC;

(2)由(1)知=因为N8AC=90o,A8=AC.所以N8CE=90。，

取4G的中点G,因为侧面8耳GC为菱形，且NB由C=60。，所以GC_LBC,

由(1)知EC_L平面8BCC，所以GC_LEC,分别以CBCE,CG所在直线为x，V，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

设BC=2,因为侧面B8CC为菱形，且NB0C=60。，

所以4(1,0,G),E(0,2,0),8(2,0,0),

则Cg=(1,0,5/3),CE=(0,2,0),BE=(-2,2,0),BBi=(-1,0,73),

设平面BQC的法向量为机=(x,y,z),

CB,m=0X+yj3Z=0

则,所以<取〃i=(G,0,-l),

CE-m=02y=0

设平面用。B的法向量为"=(x,)，,z),

BE-n=0—x+y=0

则所以取九=(G,石』),

BBin=0-x+Gz=0

grpi>/3-A/3-1V7

所以cos<m.n>=----r=—=——,

2-V77

由图知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为一冬.

2.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A8C。是边长为2的菱形，E,尸,G分别是3C,PC,A。的中点，ADV

平面DEF,PG=3,且cosNPG8=-走.

3

(1)证明：PG〃平面DEF.

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵2夜

【分析】(1)由BGHDE,EFMPB,结合面面平行的判定可得平面〃平面。EF,由面面平行的性质可

证得结论；

(2)由等腰三角形三线合•性质可说明四边形ABCD是边长为2,且一个内角为g的菱形，由此可得菱形

A8CD的面积；作POJ.8G,可证得P。，平面ABC。，由角度关系可求得尸0,代入棱锥体积公式即可.

【解析】(1).E,G分别是3C,AD的中点，四边形A8CD为菱形，.•.BE〃DG,BE=DG,

四边形BEDG为平行四边形，BG//DE,

又8G<z平面OEF,小匚平面/5所，BG〃平面DEF；

E,尸分别为8cpe的中点，EF//PB,

又尸平面£>E7LEFu平面DEF,；.PB〃平面DEF,

又PBBG=B,P8,BGu平面P8G,二平面P8G〃平面DE产，

PGu平面PBG,PG//平面DEF.

(2)连接BQ,

AZ>_1_平面£>所，DEu平面。£/，.£)E,又ADMBC,BC工DE.

E为BC的中点，:.BD=CD,又BC=CD,二△BCD为等边三角形,

ZBCD=^-,,-.S,Br„=2S„r„=2xlx2x2x—=2x/3:

3ADLUDCIJ22、

延长8G至点。，使得POJ_8G,

由(1)知：AD_L平面P8G,又POu平面P8G,:.AD±PO,

又3GcA£>=G,8G,AOu平面ABC。，,PO_L平面A8C£>,

cosZ.PGB=:.cosNPGO=sinZ.PGO=——=-^―,

PO=PGsinZPGO=庭,

二%-A0CO=ABCD-P。=§X26x#=20.

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，.皿>是等边三角形，底面ABCD是棱长为2的菱形，平面刃，平面

7T

ABCD,。是AD的中点，ZDAB=^.

(1)证明：。8，平面上4。；

(2)求点。到平面PAB的距离.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)连结判断△A3。为等边三角形，证明08LA。，根据面面垂直的性质判断得到08,平

面以3.

(2)等体积法转化%—=丫13求解.

证明：连结B。，

7T

•.•底面ABCZ)是菱形，NZM8=为等边三角形，

又。是AD的中点，03，仞，

;平面PAD1•平面ABC。，平面上4。门平面458=4),。8匚平面458,

OB_L平面PAD.

(2)设点。到平面丛8的距离为力，易知OP=OB=石，

在中，PA=AB=2,PB=y[(>,：.SAWB=|XV6X

由%—=匕-。8,得k姮h=W布xlx/,解得/j=姮，

32325

点。到平面A48的距离为正.

5

【点睛】.

4.如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是等腰梯形，ABCD,AB^2CD=4.平面PA8L平

面4?C£>,。为A3的中点，ZDAO=ZAOP=f^°,OA=OP,E,F,G分别为BC,PD,PC的中点.

(1)求证：平面PC£)_L平面AFG3；

(2)求平面P£>E与平面A8C£>所成锐二面角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

⑵手

【分析】(1)根据线面垂直判定定理以及性质定理，结合面面垂直判定定理，可得答案：

(2)建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量计算公式，可得答案.

【解析】(1)如图所示，取A0的中点H,连接m)，HP,

在等腰梯形ABCD中，ABCD,AB=4,CD=2,ZZMO=60°.

•••0为48的中点，即有四边形8C。。是平行四边形,

OD//BC,ZDOA=NCBO=ZDAO=60°.

△04。为正三角形，AAD=2,HDVAO.

在“AOP中，OA=OP=2,ZAOP=60°,

，，AOP为边长为2的正三角形，，AP=2,PHLAO.

：.AP=AD,又尸为尸力的中点，/.AF1.PD.

VHD1A0,PHA.AO,HDcPH=H,HD,PHu平面PHD,

AO_L平面P”£>,即AB_Z平面PHD.：P£)u平面AABVPD.

而G为PC中点，则FG//CD〃AB,又•••McAB=A,AF,ABu平面A/GB,尸。JL平面AFGB.

；u平面PCD,.•.平面PCD±平面AFGB.

(2)VPHYAB,平面PAB11平面ABC£>,平面PLBc平面ABC£>=AS,平面PAB,

Pa_L平面ABCD,

...由(1)知，PH,HD,AB两两垂直，

以H为坐标原点，HD,HB,HP所在直线分别为x轴，)，轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则"(0,0,0),P(0,0,6),。(6,0,0),E

(22

于是HP=(0,0,6)，PD=(^,0,-V3),DE=

设平面P。石的法向量为。=(x,y,z),

yf3X—y/3z=0,

取x=5,贝lj〃=（5,疯5）,

则即＜6工5„

n-£>£=0,------x4-­y=0,

2---2

设平面灯汨与平面ABC。所成锐二面角为。，

"P为平面A3CQ的一个法向量，

n|o„|In-HP\5G5

・COS8=COS/?,HP\=——;-------r=—7=——7==—f=

,*II\n\\HP\753x73底，

sin。=Jl-cos*=,tan。=S^n--=.

V53cos。5

・・・平面PDE与平面A8C0所成锐二面角的正切值为硬.

5

5.如图，在四棱锥P-4BCD中，E为棱AD上一点,PEYAD,PA±PC,四边形88E为矩形，且

BC=3,PE=BE=K,PF=LPC,PA"平面BEF.

4

（1）求证：必工平面/1。；

（2）求二面角尸-四-。的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）7

【分析】（1）连接AC交5E于点G,连接FG,利用线面平行的性质得RW/FG,利用平行线分线段成比

例可得线段长度，从而由勾股定理得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直；

（2）利用线面关系，证明线线垂直，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别确定平面43尸与

平面液的法向量，根据坐标运算得二面角的余弦值，即可确定二面角大小.

【解析】（1）连接AC交BE于点G,连接尸G,

因为PA//平面3EF,平面PAC）平面=R4u平面PAC,所以PA//尸G,

APAFAG_PF1

又BE//CD,所以方^=~BC~~GC~~FC~3

又DE=3,所以A£=1,AQ=4.

因为所以PA=《PE2+AE?=2，PD=y]PE2+DE2=2y/3

所以RV+PD?=452，所以以_LP£>,

又A4，PC,PDcPC=P,PD,PCu平面PCD，所以R4，平面PCD.

(2)因为PA_L平面PC。，CDu平面PC。，所以

又ACC0,PAcA£)=A,PAAOu平面PAD,所以CO,平面「A。，

又PEu平面24。，所以PELCZ),又PE,AD,AD8=OARC。u平面A3CO

所以PEL平面A8CD

如图建系，

则A(l,0,0),B(0,6,0),D(-3,0,0),/-?,f,挛],

，J_733⑶

AF=,48(-1,石,0),

设平面45月的一个法向量为m=（工,y,z）,

7mJ上

AFm=0——x+——y+z=n()z=2y

则=><444n,取y=l,得帆=(6,1,2),

X=&

ABfn=Or+VJy=O

又平面47Q的一个法向量为〃=（0,0,1）,

所以cos〈九〃〉=」"=」==*,且二面角F—A8—短为锐角，

\tn\\n\202

故二面角/一AB-。的大小为;.

4

6.如图所示的多面体是由一个直三棱柱A8O-A8Q与一个四棱锥C-88QQ拼接而成的，四边形A8CO为

直角梯形，AD//BC,ABLAD,BC=4,AB=AD=2,£尸分别为48,4。的中点.

（1）求证：EF〃平面BCR；

（2）若直线AB与平面BCQ所成角的正弦值为巫，求二面角-B的余弦值.

6

【答案】（1）证明见解析

⑵4

2

【分析】（1）由三角形中位线性质可得E/〃根据线面平行的判定定理可证得结论；

（2）以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，设"=，"（加＞0）,利用线面角的向量求法可构造方程求得加,

再利用二面角的向量求法求得结果.

【解析】（1）由直三棱柱ABD-A8Q的性质知：BD//BR,

民户分别为AB,A。的中点，,即〃8。，."/〃与乌，

（3月〃€2平面4。〃，EF＜Z平面BCR,EF〃平面BCR.

（2）由直棱柱的性质得：AA，平面A8C。，

AB,ADu平面ABC。，AAA,1AB,AA,±AD.

则以A为坐标原点，分别以AB,AD"所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

设的=小＞0）,则A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,4,0）,耳（2,0,加）,0（0,2,加）,

.•.48=（2,0,0）,4c=（°，4，一机），5,0；=（-2,2,0）,

设平面4cq的法向量为〃=（x,y,z）,

n-B,C=4y-mz=0.、

则,令丁=机,解得：x=tn,z=4，..・〃=（八八4）；

nBlD]=-2x+2^=0

设直线AB与平面B}CD}所成角为巴

II2m\/G

则sin0=kos<A3,〃〉=ji-rr\=—■,=—,解得：m=2,

1MM2V2w2+166

，平面gcq的一个法向量"=（2,2,4）,

又3c=（0,4,0）,鹤=（-2,2,2）,

设平面BCD,的法向量为m=（4,6,c）,

m-BC=4/?=0

则<，令a=l,解得：b=0,c=l

m-BDX=-2a+2。+2c=0

II\m-n\6石

1H.W26x&2

由图可知：二面角片-CR-B为锐二面角，，二面角B「CR-8的余弦值为史.

2

7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCQ为菱形，ACLPE,PA=PD,E为棱A8的中点.

(1)证明：平面B4£)_L平面A8C£>；

⑵若B4=">,/5M)=60。，求二面角E—PD—A的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵迤

13

【分析】(1)根据线面、面面垂直的判定定理分析证明；

(2)建系，利用空间向量求二面角.

【解析】(D取A£>的中点。，连接OP,O8,83,OE,

•.•底面ABCO为菱形，则AC13。，

又♦.•QE分别为A£>,A8的中点，则OEBD,

故ACLOE,

注意到AC_LP£,OE\PE=E,OE,PEu平面POE,

则AC，平面POE,

OEu平面POE,则AC_LOE,

又•：PA=PD,E为棱A8的中点，则ADLOE,

ACIAO=A,ACIAO=A,AC,4£>u平面ABC£),

OE_L平面ABC£),

且POu平面PAD,故平面皿>_L平面4BCD

(2)若R4=">,44)=60。，则△ABD为等边三角形，且。为AO的中点,

故。8_L4),

由(1)得，如图所示建立空间直角坐标系。-到z,

设4)=2,则P(0,0,^),E(-,—,0),ZX-1.0,0)，

22

uiin.c收「3百)

可得QP=(I,O,G),OE=W，o,

n-DP=x+\/3z=0

设平面尸。石的法向量〃=(x,y,z),则｛3J3，

n-DE=—xd---y=0

22,

取x=G，则产一3,z=-1,

所以〃=(>/3,-3,-l),

取平面PD4的法向量m=（0』,0）,

则8S，,：>=&=_之-逆，

人」|〃||加|届13

设二面角E—P£>—A为ee0,1）,

则cos6=,可得sin。=Vl-cos20=汉叵,

1313

所以二面角E—PD—A的正弦值为巫.

13

8.如图，已知矩形A8CD是圆柱的轴截面，P是C。的中点，直线8尸与下底面所成角的正切值为：，矩形

A8CD的面积为12,MV为圆柱的一条母线（不与AB,8重合）.

（1）证明：BNLMP；

（2）当三棱锥8-MNP的体积最大时，求M到平面PBN的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵膂

【分析】（1）证明3N_L平面MNC即可证明结论;

（2）设PC=a,进而结合题意得〃=&,进而得VB“N产旦庙下，再结合基本不等式得8N=NC=3

时，三棱锥8-MNP的体积最大，最后根据等体积法求解即可.

【解析】（1）证明：连接NC,因为BC是底面圆的直径，

所以ZBNC=90。，即BN_LNC,

又BNLMN,且.MNcNC=N,MN,NCu平面MNC,

所以8NJ_平面MNC,

又MPu平面MNC,

所以8V_LMP.

PCI

（2）解：根据题意，忘=3,设PC=a,则8c=3a,CD=2a,

又因为3cxe0=12,所以6/=12,得“=&.

所以MN=C£>=2&,BC=3叵，

设•BN=t,则NC7BC?-BN2=J18-12，

由（1）可知8N_L平面MVP,又P到MN的距离为NC,

所以VB_MNP=*MN*NC}BN泻*tx718^7<与x'+（7）=3五.

当，=18-*,即f=3时，取等号.

所以，当8N=NC=3时，三棱锥B-MNP的体积最大.

设M到平面PBN的距离为儿则以一砂=匕.MW，即g（；8NxNP）x人=3人,

又BN=3,NP=dNC。+C产=拒，

所以由?（482*'2］、力=3夜得/1=^1.

312）11

所以，M到平面PBN的距离为还1

11

9.如图，球。是正三棱锥P-A8C和Q-A8C的外接球，M为MC的外心，直线AM与线段BC交于点

D,。为BC的中点，两三棱锥的高之比为尸河：。加=3：1,E为%上一点,且PE:E4=5:3.

（1）证明：PELEC,

（2）求二面角E-3C-Q的正弦值.

【答案】（1）证明见详解

⑵也

14

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求PE,EC的坐标，根据数量积的性质证明P£_LEC；

（2）由线面垂直判定定理证明PAJ_平面BCE,求平面8CE和平面BC。的法向量，根据向量夹角公式求二

面角E-8C-Q的正弦值.

【解析】（1）过用作用"'〃8（7,交于M',易证MA,MP,两两垂直，建立如图所示的空间直

角坐标系M-jqyz.

设=球。的半径为R,

有甯=（可+闺

则在，AOM中,解得R=2.

则A(6,0,0),P(0,0,3),C-4，-|，。

PE=-PA,

8

”=（一石,0,3）,所以PE=/A=祟,0,一个

135135

PECE=--+0+—=0

648

:.PELEC.

(2)因为AO_L8C,3C_L尸。，

AD=平面PAD,

所以3C1平面B4O,又PAu平面出£>,

:.BC1PA.

由(1)得B4J_EC,又ECBC=C,ECBCu平面8CE,

，PAJL平面BCE,

所以平面BCE的一个法向量为n.=AP=(-V3,0,3).

乂一字44，-|，。)，e(o,o,-i),

'3

/.CB=(0,3,0),CQ=

设平面BC。的法向量为丐=（x,y,z）,

CB-n2=3y=0,

则，733

CQ.%=—x+-y-z=0,

令x=2,则y=0,z=石，

.•.%=（2,0,6）为平面2口2的一个法向量.

设二面角E-8C-。的平面角为巴

•••MTcosW，%）卜阖=赤3金，又同0,可，

sin6=A/1-COS26=宣ZE.

14

故二面角E-8C—Q的正弦值为通.

14

10.如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC,PB=BC=CD=AD=PA.现将AAB尸沿AB折起得图乙，点M

是的中点.证明：

（1）PC1AB；

（2）PC_L平面ABM.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）如图，取A8的中点E,连接PE,CE,AC,由题意可证△P8A、△ABC是正三角形，则PE1AB.

ECA.AB.根据线面垂直的判定定理和性质即可证明；

（2）如图，取PC的中点N,连接MMBN,则MN//AB,即A,B,N,M四点共面，得BNLPC.由（1）,

结合线面垂直的判定定理即可证明.

【解析】（1）如图，取A8的中点E,连接尸E,CE,AC,

：AO=BC且AD//BC,故四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CDS.AB//CD.

又PB=PA=CD,

：.PA=PB=^AB,即APBA是正三角形，

J.PELAB,在图甲中，ZPAB=60,则NABC=60",

由A3=BC,知△ABC是正三角形，故ECJLA8.

又PE\EC=E,PE、ECu平面PEC,

.•.48JL平面PEC,又PCu平面PEC,

：.ABLPC.

（2）如图，取PC的中点N,连接MMBN,

是PD的中点，：.MN//CD.由（1）知4B〃C£）,

：.MN//AB,：.A,B,N,仞四点共面.

;PB=BC,C.BNLPC.

由（1）ABLPC,又AB?BNB,AB.BN1平面ABNM,

；.PC_L平面ABNM,即PC_L平面ABM.

2兀

11.如图1,在MC中，AB=AC=4,ABAC=—,E为8c的中点，尸为A3上一点，且现

将ABEF沿EF翻折至％B'EF,如图2.

⑴证明：EFLAB'.

JT

（2）已知N8'E4=',求四棱锥AC瓦■的体积.

【答案】（1）证明见解析

15

⑵7

【分析】（1）根据条件，证明EFJ_平面再由线面垂直的性质得到线线垂直即可；

（2）根据条件，求出四棱锥8-ACE尸的底面面积和高，再求出四棱锥B'-ACE尸的体积即可.

【解析】（1）证明：在J1BC中，EFVAB,

：.EF1AF,EFLFB',

VAFoFB!=F,所＜Z平面4月?'，所'＜=平面4阳'，

EF工平面AFB',又AHu平面AFB',

EF1AB1.

（2）作8'用_LA8交A8于

•••所/平面人用'，8川＜=平面4月?'，，创0，所，

又/WcEb=尸，ABu平面ACEF,EFu平面ACEF,

B'M_L平面ACEF.

在，MC中，A8=AC=4,ZBAC=y,

ZCBA=^,BC=4也,又E为斯的中点，EFLAB,

O

;.EF=®BF=3,又NB，FA=3,:.B'M=2.

32

7

'''四边形ACE/的面积SACEF=SABC-SBEF=—x4x4xsin---x3xyfi=三亘，

ZlCcrHoC232,2

...四棱锥8'—ACEF的体积匕,"g=48'用。,即=lx^x^=—.

D3/iter3224

12.如图所示，正方形明。。与矩形488所在平面互相垂直，AB=2AD=2,AQcA"=。，E为线段

A8上一点.

(1)当0E〃平面R8C,求证：E为A8的中点；

(2)在线段A8上是否存在点E,使得平面ROE，平面A。。？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理

由.

【答案】(1)见解析；

(2)存在，当AE=g时，平面RDE，平面4DC.

【分析】(1)由题意可知。为AQ的中点，由线面平行的性质定理可得0£〃82，即可得证；

(2)由面面垂直的性质定理可得AC,只需满足ACLDE,即可得ACJ•平面从而有平面

ROE,平面4"C,故只需找出AC_LOE成立时，AE的长度即可.

【解析】(1)证明：因为为正方形，AOc4R=。，

所以。为A?的中点，

又因为0E〃平面R8C,平面ABRc平面RBC=3。，OEu平面ABR,

所以。E〃8R,

又因为。为AR的中点，所以E为AB的中点；

(2)存在，当AE=g时，平面。QEL平面ARC,理由如下：

设ACc0E=尸，

因为例QQ为正方形，所以力Q_LA。，

又因为40=平面"ROc平面ABC。，平面A4QQ_L平面ABC。，3。＜=平面"以。，

所以A。_L平面458,

又因为ACu平面A3CO,所以。。_LAC,

又因为在矩形ABC。中，AB=2,AD=[,

1Ap1

当AE=一时，在RtZXADE中，tanNAOE=——=-,

2AD2

在RlZXABC中，tanNBAC=叁=4，

AB2

所以ZADE=NS4C,

又因为NBAD=ZBAC+ADAC=90°,

所以ZADE+ZDAC=90°,则ZAFD=90°,

所以AC_LQE,

又因为DEIDDt=D,DE,ORu平面ROE,

所以AC,平面DQE,

又因为ACu平面AQC,所以平面3QE，平面ARC.

13.如图，在四棱柱ABCO-AAGR中，已知底面ABC。是菱形，

AC=2BD=2AA,=4,AC,±CCt,AA,±BD,E是侧棱BB,上一点.

(1)若8£=8也，证明：CG，平面4GE；

(2)若BE=；gE,求二面角E-4G-C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

10

【分析】(1)由平面ACGA得BD_LG。，进而证明CG上GE,再结合己知和判定定理即可证明；

(2)过q作£F_LAC,垂足为尸，进而证明平面ABCO,再以。为坐标原点，08,0C所在直线

分别为X，y轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【解析】(1)证明：如图，设AC,BO交于点。，连接C0,AC,

因为四边形ABC。是菱形，AC=4,BD=2,

所以80,AC,BC=B©=旧.

因为A%,ACu平面ACC/,MAC=A,

所以8。2平面ACJA,

因为GOu平面ACGA，所以BCCQ,

连接BC-DC,,所以BG=£>G，

因为AG，CG，所以C0=；AC=2,

所以8G=5G=J5.

因为BE=BIE,所以所以CG上Cg.

因为AG，GEu平面AGE,AC,ClClE=Cl,

所以CG，平面AGE.

(2)解：过C1作GF^AC,垂足为尸，

因为皮>工平面ACCM，所以8CC/,

又G尸LAC,AC,3£>u平面ABC。，ACBD=O,所以C/_L平面ABCZ).

如图，以。为坐标原点，OB,OC所在直线分别为x,y轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),5(1,0,0),A(O,-2,O),C(0,2,0),G(0,1,百),

所以AG=(0,3,G),CG=B4=(0,-l,省)，

因为814号所以BE=W=01.

则牛一§,旬，所以AE=[I,|,事.

易知平面ACG4的一个法向量为i=(1,0,0),设平面AGE的法向量为〃7=(x,y,z),

3y+V^z=0

AC.-m=0

则,即5Gz

AE•加=0x+—y+——z=0

33

2

令y=i,则2=-右，x=--,所以，*=

设二面角E-4G-C的大小为a,

2

所以3Vio

|cosa|=-w",

所以sina=通，即二面角E-AG-C的正弦值为观.

14.如图，在三棱台ABC-OEF中，平面。平面ABC,平面。尸C4_L平面ABC,AB：BE：DE=4：5：

1.

(1)求证：AD1BC；

jr

(2)若AABC是等边三角形，试问：棱BE上是否存在一点H,使得二面角H—AC-B的平面角为§?若存在，

求出空的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在,总

【分析】(1)在平面ABC内，过C点作直线以AB,过B点作直线m±AC,由面面垂直的性质得出加±AD,

HAD,结合线面垂直的判定以及定义得出AO，3C：

(2)以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【解析】(1)在平面ABC内，过C点作直线/_LAB,过B点作直线加_LAC,

因为平面£＞E8AJ_平面ABC,平面OEBAc平面A8C=A8,/u平面ABC,

所以/工平面DER4.

因为45u平面DE8A,所以同理可证机_LAD.

因为/,机为相交直线，I,机＜=平面ABC,所以45_L平面A3C

又BCu平面ABC,所以AO工8c.

(2)设OE=1,则AB=4,BE=5,

易得四边形DEBA为直角梯形，所以A£)=J8£；2-(AB-£)E)2=4,

以点A为原点，以AB,A。和平面48a的一个法向量的方向分别为x轴、z轴、＞轴的正方向建立空间直

角坐标系，如图所示，

则4(0,0,0),3(4,0,0),々2,26,0),0(0,0,4),

则AC=(2,2G,0),AB=(4,0,0),AD=(0,0,4),

i3

则BE=BA+AD+DE=+AD+-AB=--AB+AD=(-3,0,4),

44

设BH=ABE（0<2<1）,则AH=AB+BH=AB+2i5£=（4-32,0,4A）,

易知％=（0,0,1）是平面ABC的一个法向量.

UU

设平面AHC的法向量为%=（x,y,z）,

则-，即-anL八，

取z=3G/l—4后，则工=4检，y=

因此%=（46人-443&-46）是平面AHC的一个法向量.

7T

假设存在点目，使得二面角”-AC-B的平面角为

则崂刎如心陷、，叱「四

31'71同|闻748A+162+3（3；1-4）

12

化简得17万—216/1+144=0,解得或％=12（舍去），

因此棱BE上存在一点H,使得二面角H-AC-B的平面角为W，此时歌=白.

JHB12

15.如图，点C在直径为A8的半圆。上，C。垂直于半圆。所在的平面，8C//平面AOE.且CD//BE.

（1）证明：平面4把，平面AC。

（2）若AC=1,ABf,异面直线40与席所成的角是45。，求三棱锥A-8CE的外接球的表面积

【答案】（1）证明见解析；

⑵6K.

【分析】（1）根据给定条件，证明8c上平面ACD,再借助线面平行可得BC〃OE,然后利用线面垂直的

判定、面面垂直的判定推理作答.

（2）取AE的中点M,连接CM,8M,确定球心为M,再计算球半径及表面积作答.

【解析】（1）因为点C在半圆。上，A8为直径，则BCLAC,而8,平面ABC,BCu平面A3C,

于是C£）J_BC,

又ACCD=C,AC,CDc®ACD,则有BC2平面AC。，由CO//BE知点民C,D,E共面，

又8C〃平面AOE,平面8a9Ec平面4）E=£>E,3Cu平面BC£>E,

因此8CV/DE,即有。E工平面AC。，又。E在平面ADE内，

所以平面ADE_L平面ACD

（2）由（1）知，CDA.AC,因为CD//BE,则NADC为4。与庞:所成的角，即NADC=45,

则CD=AC=1,平行四边形3CDE中，BE=CD=\,因为CD_L平面ABC,则有BE_L平面ABC,

ABu平面ABC,则8E_LAB,又BC_LAC,CD8C=C,CE>,BCu平面8COE,

于是AC1■平面BCDE,而CEu平面BC£>E,从而47_LCF,取AE的中点M,连接CM,8M,如图，

因此BM=A〃=EM=CM,则点M是三棱锥4-8CE的外接球球心，而=AB?+8序=6,

所以三棱锥A-8CE的外接球表面积S=4兀•AM2=4兀•(工AE)2=兀•AE?=6兀.

2

16.正四棱锥尸―ABCD中，AB=2,P0=3,其中0为底面中心，M为尸D上靠近P的三等分点.

(1)求四面体M-ACP的体积；

(2)是否存在侧棱PB上一点N,使面CMN与面ABCO所成角的正切值为正？若存在，请描述点N的位置:

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)|

(2)存在侧棱P8上一点N,使面CMV与面ABC。所成角的正切值为0,此时BN=：BP或切7=号8尸

【分析】(1)连接AC,80交于点。，过M作MQL0P于点Q,根据M位置可得MQ,以△PAC为底,

MQ为高可得四面体体积；

(2)以。为坐标原点，0C,OD,。尸分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法，结合二

面角确定点N位置.

【解析】(1)

如图所示，连接AC,BD交于点0,过M作MQL0P于点Q,

由四棱锥P-ABCD为正四棱锥，且。为底面中心,

得AC=BD=26，D0=^BD=y/2,PO上平面A88,BD1AC,

..P0A.BD,

又POIAC=A,PO,ACu平面PAC,

.♦.B£)_L平面PAC,

又MQ1.PO,则M0〃8£>,

因为M为尸。上靠近尸的三等分点,

则MQ=-DO=—,且平面PAC,

33

如图所示，以。为坐标原点，0C,0£>,0P分别为x,z轴，建立空间直角坐标系,

则0（0,0,0）,B（o,-V2,o）,C（V2,0,0）,P（0,0,3）,

因为做为PD上靠近P的三等分点,

则/0,当,2,muuuir（上行）UL1

且OP=（0,0,3）,CM=,BP=（0,^,3）,

\/

lllHlULIUUUI

设8V=43尸（0W241）,BN（0,722,32）,

则N（0,VLt_a,32）,凯=34）,

设平面CMN的法向量为n=(x»,z),

-y/2x+^-y+2z=0

CMn=0

则,即

CN-n=0-V2x+（V2A-V2）y+32z=0

令y=94—6,则5=（92-10,94-6,3g-4夜）,

又由(1)得PO1平面A8C。,

uuu

则平面ABC。的法向量为OP=(0,0,3),

所以存在侧棱尸5上一点N,使面CMN与面A8CD所成角的正切值为0,此时8N=18P或BN=,8P.

17.如图，四棱锥P-A88的底面为正方形，叨，底面A8CD,M是线段PO的中点，设平面P4O与平

面P8C的交线为/.

（1）证明/〃平面BCM

（2）已知阳=4）=1,。为/上的点，若PB与平面QC。所成角的正弦值为是远，求线段QC的长.

3

（3）在（2）的条件下，求二面角0-CQ-M的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵|QC|=6

⑶3

【分析】（1）先证明〃平面PBC,结合线面平行的性质定理可证/〃平面8CM；

（2）建立空间直角坐标系，设。（，"，0.1）,计算出平面。8的一个法向量为〃=（1,0,-加），结合尸B与平面QCQ

所成角的正弦值为是亚解出机=1,进而可得QC的长；

3

（3）分别计算二面角两个半平面的法向量，结合空间角的向量求法即可求解.

【解析】（1）在正方形ABC。中，AD//BC,

因为40U平面P8C,BCu平面PBC,所以AO〃平面P8C,

又因为A£>u平面尸A。，平面A4Dc平面尸8C=/,所以4）〃/,BC//1

因为BCu平面

MBC,平面M8C,所以/〃平面8cM

（2）如图建立空间直角坐标系。一冲z,

因为PD=AD=L则有£>（0,0,0）,C（0,l,0）,A（l,0,0）,P（0,0,l）,

，/uu

设Q（，",0,l）,则有。C=（0,l,0）,PB=（1,1,-1）,

DC•几=0fy=0

设平面QS的法向量为鼠=x,y,z）,则，即）八，令x=l,则z=f,所以平面QCD的

/DQn=0[MIX+Z=0

一个法向量为〃=。,。,一㈤，则c°s（/"，Pcc8\）=丽n-PB=瓦1+0+讨，〃

因为PB与平面所成角的正弦值为是逅，

3

所以|cos^«,4，

1'八y/3-ylm2+]3

解得机=1.所以|。。=6.

(3)由(2)可知平面QCO的一个法向量为"=(1,0,-1)

因为M是线段PO的中点，所以

于是QC=(—1J—1),MC=(0』,-g),设平面MCQ的法向量加=(x,y,z)

n\-x+y-z=0

QC-m=0.、

则<，即｛1_.令z=2,得y=l,x=-l,n?=(-l,l,2)

MCm=0y--z=0

/\tn-n-3>J3i

c°sM”六丽［=五后=一£'所以二面角。-CQ-M的正弦值为］