2022-2023学年浙江省杭州市西湖区景汇中学八年级上学期期中考数学试卷含详解

2022.2023学年浙江省杭州市西湖区景汇中学八年级第一学期期中数学试卷

一、选择题（本大题有10小题，每题3分，共30分）

1.下列四个手机人出图标中，是轴对称图形的是（)

A.S画C.

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（)

A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,11

3.下列图形中，正确画出4c边上的高的是（)

B

A.

C.

4.如果一个三角形的三个内角的度数之比为2:3:5,)

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断

5.能说明命题“若124,则X22”为假命题的一个反例可以是（)

A.x=—3B.x=-lC.x=2D.x=5

6.如图，下列条件中,不能证明△ABO也△ACO的是（）

AZB=ZC,BD=DCB.BD=DC,AB=AC

C./B=/C,ABAD=ACADD.ZADB=ZADC,BD=DC

7.如图，点A,D,C,E在同一条直线上，AB//EF,AB=EF,NB=NF,AE=IO9AC=7,则CO的长为

)

B

A.5.5B.4C.4.5D.3

8.如图，在二ABC中，AB=20cm,AC=12cm,点。在BC边上，作于E、£>F_LAC于/，若

DE=5cm,一ABC的面积为122cm2,则的长为（）

A9cmB.10cmC.11cmD.12cm

9.如图钢架中，NA=。，焊上等长的钢条64，P2P3,P,P4,来加固钢架.若［A=［鸟，且恰好用了3根

钢条，则下列各数中哪个可能是a的值（）

A.25°B.20°C.15°D.30°

10.如图，在ABC中，AD是NB4c的平分线,且AB=AC+CO,若NB4C=〃°,则NABC的大小为

()

180°—〃°n°

D.T

二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）

11.命题“如果a2=b2,那么a=b."的否命题是.

12.已知在心△/用中，斜边上的中线=5°初,则斜边的长=.

13.已知等腰三角形的一个外角是40°,则其底角的度数为.

14.如图，在中，OE是AC的垂直平分线，A£=4，△A6O的周长为14,则一ABC的周长为

15.如图，在.ABC中，若A8=AC,NA=40°,。点是的角平分线8。及高线CE的交点，则

/DOC的度数为.

16.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCOE的外部A的位置，且A与点C在直

线AB的异侧，折痕为OE，已知NC=90。，若A'EBC,当NA=3O。时，则NADE的度数；当

NA=a时，则NADE的度数为（用a表示）.

三、解答题（本大题有7小题，共66分）

17.如图，AD平分/BAC,其中/B=30。，ZADC=70°,求/C度数.

18.如图，在一ABC中，AD是边上的中线，延长至点E使得4）=£应，连接CE.

A

BD

E

(1)求证：ABg.ECD；

(2)求证：ABCE.

19.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A,B,C在小正方形的顶点上.

①在图中画出与AABC关于直线1成轴对称的△A，B，C；

②请在直线I上找到一点P,使得PC+PB的距离之和最小.

20.如图，在」1^。中，CDA.AB,AB=5,BC=^，CD=2.

(1)求。8的长；

(2)求证：ACJ.BC.

21.小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈(篱笆全部用完)，用于饲养家兔.已知第一条边长为

〃米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米.

(1)请用”的代数式表示第三条边长：

(2)第一条边长可以为7米吗？为什么？

(3)如果围成三角形是等腰三角形，求a的值.

22.如图，在-ABC中，AO是边上的中线，3E是AC边上的高线，EG_LAQ于G,AG^DG.

A

(1)求证：CD=A£；

(2)已知CZ)=5,AC=11,求八!。。的面积.

23.如图，在ABC中，ABAC=90°，AS=AC,点O为线段BC延长线上一点，以A£＞为腰作等腰直角三角

形△以尸，使ND4尸=90°,连接CF.

(1)请判断。户与3C位置关系,并说明理由;

(2)若6c=4,4CD=BC,求线段AD的长;

(3)如图2,在(2)的条件下，将沿线段。尸翻折，使点A与点E重合，连接CE,求线段CE的长.

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区景汇中学八年级第一学期期中数学试卷

一、选择题（本大题有10小题，每题3分，共30分）

1.下列四个手机人出图标中，是轴对称图形的是（）

尔）

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【详解】A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,11

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系解答.

【详解】解：A、由1+2<4,故该三条线段不能组成三角形;

B、由4+5=9,故该三条线段不能组成三角形;

C、由4+6>8,故该三条线段能组成三角形;

D、由5+5<11,故该三条线段不能组成三角形;

故选：C.

【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形中任意一条边都小于另两边的和，大于另两边的差，熟记三边关

系是解题的关键.

3.下列图形中，正确画出AC边上的高的是（）

【分析】根据高的定义即可求解.

【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高,

故选：D.

【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义.

4.如果一个三角形的三个内角的度数之比为2:3:5,那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断

【答案】B

【分析】设其三个内角分别是2Z,3k,5k,然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出上，再求解即可.

【详解】解：设其三个内角分别是2%,3k,5k.

根据三角形的内角和定理，得

2A:+3%+5攵=180,k=\8.

则2左=36,3Z=54,5Z=90.

则该三角形是直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设&法”求解更简便.

5.能说明命题“若则为假命题的一个反例可以是（）

A.%=-3B.—1C.x=2D.x=5

【答案】A

【分析】当x=—3时，满足小..4,但不能得到"2,于是x=—3可作为说明命题“若旧.4,则X..2"是假命题

的一个反例.

【详解】解：说明命题“若丁..4,则x..2"是假命题的一个反例可以是》=一3.

故选：A.

【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、

论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

6.如图，下列条件中，不能证明△A5O也△ACD的是（）

A

B.BD=DC,AB=AC

C.ZB=ZC,ABAD=ACADD.ZADB=ZADC,BD=DC

【答案】A

【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可.

【详解】解：A、NB=NC,BD=CD，再加公共边49=AD不能判定△AB。名△ACD,故此选项符合题意;

B、BD=DC,AB^AC,再加公共边">=A£>可利用SSS定理进行判定，故此选项不合题意；

C、ZB=NC,ABAD=ACAD,再加公共边AD=4)可利用AAS定理进行判定，故此选项不合题意；

D、ZADB=ZADC,BD=DC,再加公共边AT>=4)可利用SAS定理进行判定，故此选项不合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相

等时，角必须是两边的夹角.

7.如图，点A,D,C,E在同一条直线上，AB//EF,AB=EF,ZB=ZF,AE=10,AC=7,则CD的长为

()

A.5.5B.4C,4.5D.3

【答案】B

【详解】解：因为AB〃EF,所以NA=NE,

又AB=EF,ZB=ZF,

所以△ABC^AEFD,

所以AC=ED=7,

又AE=10,

所以CE=3,

所以CD=ED-CE=7-3=4,

故选B.

8.如图，在4ABe中，AB=20cm,AC=12cm,点D在BC边上,作£>E_LA8于£、OF_LAC于尸，若

DE=5cm,_ABC的面积为122cm,，则。E的长为（）

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【答案】D

【分析】连接AD,根据SABC=S5D+S.co列式计算即可得解.

【详解】解：如图，连接A。，

°ABC一°ABDT2.ACD>

ABDE+^ACDF,

AB=20cm,AC=12cm,DE=5cm,_ABC的面积为122cmz,

,1x20x5+yxl2xDF=122,

解得OF=12cm.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的面积，作辅助线把ABC分成两个三角形列出方程是解题的关键

9.如图钢架中，NA=a,焊上等长的钢条巴鸟，P道,……来加固钢架.若勺4=勺2,且恰好用了3根

钢条，则下列各数中哪个可能是a的值（）

A.25°B.20°C.15°D.30°

【答案】A

【分析】根据等边对等角可得NA=Nq6A,NRAA="朋,舄=/£8巴，根据三角形的外角性质

可求得N[A2=4a,N62B=180。—3a,结合题意恰好用了3根钢条，可得NA《BN90。，且

ZP5P3P4<90°,求解即可得到22.5°<aW30°,即可判断出答案.

【详解】解：[4=々巴，《6=66，P2P3^P3P4,

：.ZA=ZPfP2A,NRP2P4=NPF4P「

ZA=a，

：.N[gA=ZA=a,

则=N[鸟A+NA=2a,

:./鸟66=/鸟66=23,

则Z.PyP.yP^=NP,P3Pl+NA=2ct+a=3a,

：.NP3PAp2=NP3Plp4=3a,

则=/LPyP^P-,+Z.A.—3a+cc-4a,

“45=180。—“Ng=180。—3a,

:恰好用了3根钢条，

故/鸟舄8290。，且NH舄<90。，

[180°-3«>90°

即4,

[4«<90°

解得：22.50<aW30°；

故选：A.

【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键.

10.如图，在ABC中，AO是NB4c的平分线，且A3=AC+C£>,若NB4C=n°,则/ABC的大小为

90°—〃。180°-n°180°—〃°

【答案】B

【分析】在AB上取一点C'，使得AC'=AC,根据全等三角形的判定和性质可得CZ>=8，

ZACAC,结合题意可得8C'=8=C'。，根据等边对等角可得ZB=NC'。？，根据三角形的外角性质

可得ZAC'D=NB+NC'DB=2NB,推得NC=2ZB,根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：在AB上取一点C'，使得AC'=AC,如图：

在,ACD和VAC'。中，

AC'^AC

<NC'AD=NCAD,

AD=AD

ACOgAC£>(SAS),

:.CD=CD,ZAC'O=NC,

AB=AC'+C'B,

又,：AB=AC+CD，AC=AC,

/.BC=CD=C'D,

■:BC=C'D,

：.4B=NC'DB,

又,,,ZAC'D=/B+NC'DB=2NB,

ZC=ZACD=2ZB,

又=N3+NC+N朋。=180°，

ZB+NC=180°-Z£MC=180°—〃°,

即3ZB=18O°-n°

3

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理.作出辅助

线，构建全等三角形是解题的关键.

二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）

11.命题“如果a2=b2,那么a=b."的否命题是.

【答案】如果/力力2,那么标b

【分析】根据否命题的定义，写出否命题即可.

【详解】如果a2Hb2,那么标b

故答案为：如果"工从，那么加b

【点睛】本题考查了否命题的问题，掌握否命题的定义以及性质是解题的关键.

12.已知在位中，斜边上中线=5c处则斜边A?的长=.

【答案】10cm

【详解】己知CD的长，则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得AB的长.

解：；在RtZ\ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD=5cm,...AB=10cm.

故答案为10cm.

13.已知等腰三角形的一个外角是40°,则其底角的度数为.

【答案】20°##20度

【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角的外角还是顶角的外角，故应分40。的角是底角的外角还是顶角

的外角.

【详解】解：当40°的角为等腰三角形的顶角的外角时，顶角=180°—40°=140°,

当40°的角为等腰三角形底角的外角时，其底角为140°,不符合题意，

故它的底角的度数是20。.

故答案为：20°.

【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40。的角是等腰三角形的底

角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想

14.如图，在ABC中，OE是AC的垂直平分线，AE=4，△ABO的周长为14,则qA8C的周长为.

A

E

B/DC

【答案】22

【分析】根据线段垂直平分线性质可得D4=OC，AC=2AE=8,根据三角形的周长公式计算，即可得到答

案.

【详解】解：•••£>£是4C的垂直平分线，A£=4，

ADA=DC,AC=2AE=8,

,/△ABO的周长为14，

BC+BD+CD=\A,

BC+BD+DA=BC+AB=\4,

的周长=5C+AB+AC=14+8=22,

故答案为：22.

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题

的关键.

15.如图，在一ABC中，若AB=AC,NA=40°,。点是二ABC的角平分线及高线CE的交点，则

ZDOC的度数为.

【答案】55°##55度

【分析】在A3C中，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出NABC=70°,根据角平分线定义得出

NDBC=-ZABC=35°.根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余求出

2

ABCE=90°—ZABC=20°,再根据ZDOC=ZDBC+/BCE即可求解.

【详解】解：中，若AB=AC,NA=40°,

ZABC=NACB=1(180°-40°)=70°,

Q8。是.ABC的角平分线,

，ZDBC=-ZABC=35°.

2

•C£是的高线，

:.ZBEC=9Q°,

/BCE=900-ZABC=20°,

/DOC=ZDBC+/BCE=350+20°=55°.

故答案为：55°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线与高的定义，求出NOBC与

ZBCE的度数是解题的关键.

16.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形8COE的外部A的位置，且A与点C在直

线A3的异侧，折痕为DE，己知NC=90°,若A'EBC,当NA=30°时，则/ADE的度数；当

NA=a时，则NADE的度数为（用。表示）.

【答案】①.30°##30度②.45°--a

2

【分析】根据直角三角形两锐角互余可得NABC=60°,再根据折叠的性质可得AE=4E，A0=A'O，

ZADE=ZADE，连接A4'，则N2=NABC=60。，可证得VA47）是等边三角形，从而得到

乙M>A'=60°,即可解决问题；当NBAC=a时，可得NB=N2=90°-a,再根据折叠的性质可得

ZDA'E=ZDAE=a,ZA'DE=ZADE,从而得到NAF£>=N2+mTE=N2+NZME=90°，进而得到

NAE4'=90°，进而得到NAD4'=90°-a,即可求解.

【详解】解：•••NC=90°,ZA=30°,

ZABC=60°,

由折叠的性质得：AE=A'E，AD=AD,ZADE=ZADE，

当AEBC时，如图，连接AA，则N2=NA3C=60°,

/.ZA,AB=ZA4,E=30°,

，NZ%4'="42=60。，

•••VAAO是等边三角形，

‘ZAZM'=60°,

：.ZADE=ZA'DE=-NADA=30°；

2

当NB4C=a时，

二ZB=Z2=90°-a,

VADE沿DE折叠到...A'DE，

/.ZDA'E=ZDAE=a,ZADE=ZADE,

/.ZAFD=Z2+ZDA'E=N2+ZDAE=90°,

ZADA=9()°-ABAC^90°-a,

1

」(。a

ZADE=ZA'DE=-Z/WA90-a-2

22、

故答案为：30°；45°--a

2

【点睛】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质等知识，能根据题意，运用分类讨论思想分别画出图形是解

题的关键.

三、解答题（本大题有7小题，共66分）

17.如图，AD平分NBAC,其中/B=30。，ZADC=70°,求/C的度数.

【答案】70。.

【分析】首先根据邻补角的知识求出NADB的度数，再根据三角形内角和定理求出NBAD的度数，又根据角平分

线的知识求出/BAC的度数，最后再次利用三角形内角和定理求出NC的度数.

【详解】VZADC=70°,

.,,ZADB=180o-70o=110°,

ZBAD=180°-ZB-ZADB=180°-30°-ll0°=40°,

：AD平分/BAC,

ZBAC=2ZBAD=2x40°=80°,

.,.ZC=180o-30o-80o=70°.

故答案为70°.

【点睛】此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，邻补角，解题关键在于求出NBAD的度数.

18.如图，在一A8C中，A0是边上的中线，延长AO至点E使得4)=£应，连接CE.

(1)求证：以..EC。；

(2)求证：ABCE.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】(1)根据SAS即可证明ADB学.EDC；

(2)结合(1)得NB=NECD,然后利用内错角相等，两直线平行，即可解决问题.

小问1详解】

证明：是边上的中线，

BD-CD,

在，AOB和△EDC中，

BD=CD

<ZADB=2EDC,

AD=ED

，.ADB/EDC(SAS);

【小问2详解】

证明：ADB^-EDC,

：.NB=NECD,

：.ABCE.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解

题的关键.

19.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A,B,C在小正方形的顶点上.

①在图中画出与4ABC关于直线1成轴对称的△A，B，C；

②请在直线1上找到一点P,使得PC+PB的距离之和最小.

【答案】①画图见解析；②点P见解析.

【分析】(1)利用轴对称的性质，先找出点A、B、C的对称点A\B\C,再顺次连接即可

(2)要直线1上找到一点P,使得PC+PB的距离之和最小，因此作点B关于直线1的对称点B，，连接CB，，就可

得出点P的位置

【详解】解：如图，△A，B，C、点P即为所求

【点睛】本题考查作图-轴对称，轴对称的应用-最短距离问题.

20.如图，在ABC中，CD1AB,AB=5,BC=V5-CD-2.

(1)求08的长；

(2)求证：AC1BC.

【答案】(1)1(2)详见解析

【分析】（1）根据垂直定义可得NCa4=NCD3=90°,然后在RtZSCDB中，利用勾股定理进行计算，即可解答；

（2）利用（1）的结论可得4）=4,然后在Rt^ACD中，利用勾股定理求出AC的长，从而利用勾股定理的逆定

理证明_ABC是直角三角形，进而可得NACB=90。，即可解答.

【小问1详解】

解：•.•CDL43,

NCDA=NCDB=9Q。,

在RtaSB中，BC=y/5,CD=2,

DB=^BC'-CD1=，（⑸4=1，

/.DB的长为1：

【小问2详解】

证明：•••AB=5,DB=1，

：,AD=AB-DB=5-1=4,

在RtZ\AC£>中，AC=,3+0）2=,42+22=26,

/.AC2+BC2=（2逐『+（司2=25,AB2=52=25.

•••AC2+BC2^AB2,

是直角三角形，

ZACB=90°,

ACIBC.

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键.

21.小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈（篱笆全部用完），用于饲养家兔.己知第一条边长为

“米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米.

（1）请用a的代数式表示第三条边长；

（2）第一条边长可以为7米吗？为什么？

（3）如果围成的三角形是等腰三角形，求a的值.

【答案】（1）（28-纭）米

（2）不能，详见解析（3）当a=g时，能构成等腰三角形

【分析】（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；

（2）先求出三边的长，再根据三角形三边关系进行判断；

（3）根据题意需要先分类讨论，分别求出。的值，然后即可得出三角形的三边长，再根据三角形的三边关系进行

判断即可.

【小问1详解】

解：根据题意得：第二条边长为（2。+2）米，

•••第三条边长为30-a-（2a+2）=（28—3a）米；

【小问2详解】

解：不能，理由如下：

当a=7时，三边长分别为7,16,7,

由于7+7＜16,所以不能构成三角形，

即第一条边长不能为7米；

【小问3详解】

解：根据题意，需要分以下三种情况：

当a=2a+2时，a=-2,不合题意，不能构成等腰三角形；

当。=28-3。时，a=7,则该三角形的三边为：7,16,7,由于7+7＜16,

所以不能构成三角形；

当2a+2=28—3a时，a=—,则该三角形的三边为：,由于0＜国＜生，所以能构成等腰三角形；

555555

综上所述，当。=暂时，能构成等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及等腰三角形的性质，在解题时根据三角形的三边关系，是本题的关

键.

22.如图，在一ABC中，是边上的中线，BE是AC边上的高线，£＜；，40于6,AG=DG.

(1)求证：CD=AE

（2）已知CD=5,AC=11,求八4。。的面积.

【答案】（1）详见解析

(2)22

【分析】(1)根据垂直定义可得N3EC=90。，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得OE=OC,再利用线

段垂直平分线的性质可得EA=ED，从而利用等量代换即可解答；

(2)利用(1)的结论可得AE=CD=5,BC=10,从而可得£C=6,然后利用勾股定理求出3E=8,从而

求出.ABC的面积，最后根据线段中点的性质，可得AC。的面积=；Swe=22.

【小问1详解】

证明：

ZBEC=90°,

•.•点。是8C的中点，

DE=DC=-BC,

2

VEG±AD,AG=DG,

•••EG是A£＞的垂直平分线，

二EA=ED，

CD=AE；

【小问2详解】

由(1)可得：AE=CD=5,BC=2CD=U),

'：AC=11,

二EC=AC-AE=6,

在RtZ^BEC中，BE=yjBC2-CE2=7102-62=8'

，_A8C的面积=—AC•BE=—x11x8=44,

22

:点。是8C的中点，

ACD的面积=；SABC=22,

AAPC的面积为22.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，

熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键.

23.如图，在中，ABAC=90°，AB^AC,点。为线段6C延长线上一点，以AO为腰作等腰直角三角

形△mF，使ZQ4F=9O°,连接CF.

（1）请判断与BC的位置关系，并说明理由:

（2）若8C=4,4CD=BC，求线段A£＞的长;

（3）如图2,在（2）的条件下，将△H4F沿线段OE翻折,使点A与点E重合，连接CE,求线段CE的长.

【答案】（1）ChBC，证明见解析

（2）V13

⑶3亚

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得NZMF=90°,AD=AF,故NB4C=NZMR,推得

ABAD=ZCAF,根据全等三角形的判定和性质可得Z43O=NACF,根据等边对等角和三角形内角和定理可

求得