高考数学函数解题技巧方法总结(一)

高中数学函数知识点总结

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y=竺出的定义域是

（答：（0，2）U（2,3）U（3,4））

lg（x-3）2

函数定义域求法：

•分式中的分母不为零；

•偶次方根下的数（或式）大于或等于零;

•指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

JI

•正切函数."=1211%x€7?,且x丰k7C+—,keZ

•余切函数^=85（x£R,且x工k兀,kGZ）

•反三角函数的定义域

,［二」］一

函数y=arcsinx的定义域是［—1,1］,值域是.22,函数y=arccosx的定义域是［—1,1］,

值域是［0,，函数y=arctgx的定义域是R,值域是2'2'.,函数y=arcctgx的定义域是R,

值域是（0,JT）.

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他

们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？

复合函数定义域的求法：已知y=/（x）的定义域为何,〃］,求y=/［g（x）］的定义域，可由m4g（x）4"解

出x的范围，即为歹=/［g（x）］的定义域。

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例求函数y=，的值域

X

2,配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=--2x+5,xe［-1,2］的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方

法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

y=—I型：直接用不等式性质

a.

k+x2

hx

b.y=一^一型，先化简，再用均值不等式

x+mx+n

,r,x11

y1+x21-2

x+—

X

yj+m'x+n'型通常用判别式

x+mx+n

x2+mx+n

d.y=---------型

x+n

法一:用判别式

法二:用换元法，把分母替换掉

,,lX2+X+1(x+l)2-(x+l)+l,1c11

例r：y=--------=-----------------=(x+l)+-----1>2-1=1

X+lx+lx+l

13.反函数存在的条件是什么？

求反函数的步骤掌握了吗？

(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)

1+X(X>0)

如：求函数f(x)=,〉J的反函数

-x2(x<0)

[x-1(X>1)

(答：fT(X)=\\)

[-V-X(x<0)

14.反函数的性质有哪些？

反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)

2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,bsC,则f(a)=b=—(b)=a

r'[f(a)]=r'(b)=a,f[r'(b)]=f(a)=b

15.如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：

根据定义，设任意得X“Xz，找出f(X),f(X2)之间的大小关系

可以变形为求的正负号或者与1的关系

X]-*2/(%2)

⑵参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称，函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性；(特

例：奇函数)

②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调

性。(特例：偶函数)

⑶利用单调函数的性质：

①函数f(X)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c>0时，它们是同向变化的；当c<0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数函(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加)

④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化，则函数正(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数门(2)与

f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；(函数相乘)

⑤函数f(x)与右在f(x)的同号区间里反向变化。

/(X)

⑥若函数u=6(x),x［a,B］与函数y=F(u),u@［6(a),6(B)］或u@［6(B),6(a)］同向变

化，则在［a,B］上复合函数y=F［6(x)］是递增的；若函数u=6(x),x［a,8］与函数y=F(u),u

e［4)(a),6(B)］或u£(B),@(a)］反向变化，则在［a,B］上复合函数y=F［e(x)］是递减

的。(同增异减)

⑦若函数y=f(x)是严格单调的，则其反函数x=fT(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g(

)))]x)X)都是

正数

增增增增增

增减减//

减增减//

减减增减减

如：求y=log1-*?+2x)的单调区间

2

(设u=-x2+2x,由u>0则0<x<2

且log]uJ,u=-(x-1)2+1,如图：

当x£(0,1]时，uT,又1.yJ

2

当xw[L2)时,uJ,又log]uJ,AyT

2

…)

17.函数千(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(_x)=-f(x)总成立of(x)为奇函数=函数图象关于原点对称

若f(-x)=f(x)总成立<=>f(x)为偶函数<=>函数图象关于y轴对称

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的

定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算/(-X)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶

性.

这种方法可以做如下变形

f(x)+f(-x)=0奇函数

f(x)-f(-x)=0偶函数

f(x)

偶函数

f(x)

f(x)

奇函数

f(-X)

三、复合函数奇偶性

f(g)g(x)f[g(Xf(x)+g(f(x)*g(

)]x)x)

奇奇奇奇偶

奇偶偶非奇非奇

偶

偶奇偶非奇非奇

偶

偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函数的定义吗？

(若存在实数T(TwO),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数，T是一个周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),贝ij

(答:f(x)是周期函数,T=2a为f(x)的一个周期)

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=O,我们要马上反应过来，这时说这

/(x)+f(x+r)=01,,

个函数周期2t推导：/(x+,)+〃x+2f)=o[=>"x)="x+2')，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说

f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直

线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。

比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于

直线x=a对称。

y=sinx

如：

,.

7r

-37-1

22

又如：若/(x)图象有两条对称轴x=a,x=b

即/'(a+x)=/(a—x),/(b+x)=f(b-x)

/(x)=/(2a-x)'

>=>f(.2a-x)=f(2b-x)

/(x)=/(2b—x).

令f=2a-x,则2b-x=t+2b-2a,f(t)=f(t+2b-2a)

^f(x)=f(x+2b-2a)

所以,函数/G)以2\b-a\为周期(因不知道凡b的大小关系

为保守起见，我加了一个绝对值

19.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(-x)的图象关于包机对称联想点(x,y),(-X,y)

f(x)与-f(x)的图象关于四对称联想点(x,y),(x,-y)

f(x)与-f(-x)的图象关于遮良对称联想点(x,y),(-x,-y)

f(x)与fT(x)的图象关于直线y=x对称联想点(x,y),(y,x)

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称联想点(x,y),(2a-x,y)

f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称联想点(x,y),(2a-x,0)

将y=f(x)图象左移a(a>0)个单位:y=f(x+a)上移b(b>0)个单位:y=f(x+a)+b

右移a(a>0)个单位y=f(x-a)下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b

(这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实

根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的

坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)

注意如下“翻折”变换：

/(X)—>|/(x)|把x轴下方的图像翻到上面

/(%)——>/(|x|)把y轴右方的图像翻到上面

如：f(x)=log2(x+1)

作出y=1og2(x+l)|&y=Iog2|x+l|的图象

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0)Ay

。'(码/一

(1)一次函数：y=kx+b(kwO)(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

kV

(2)反比例函数：y=—(k70)推广为y=b+----(kw0)是中心O，(a,b)

的双曲线。

(3)二次函数丫=2*2+bx+c(a70)=a(x+2)+――J图象为抛物线

顶点坐标为-?4ac-b

，对称轴x=-■—

向上，函数Ymin=与"

开口方向：a>0,

X%2=一，

1次函数的几种表达形式：

/(x)=ax2+bx+c(一般式)

/(x)=a(x-加/+〃(顶点式，(m,n)为顶点

/(x)=a(x-X1)(x-%,0是方程的2个根)

/(x)=a(x-X1)(x-X2)+'(函数经过点5㈤(马㈤

应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax2+bx+c=0,A〉0时，两根x「x2为二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

区间在对称轴左边(〃<---)fmax=f(m),fmin=/(〃)

2a

h

区间在对称轴右边(m>-----)fmax=min=f(/w)

2a

区间在对称轴2边(〃<-2〈加)

2a

4ac—b~

/min=-----,/max=max(/(加),/(〃))

4a

也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大

(只讨论。〉0的情况)

③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

A>0

b.

如：二次方程ax?+bx+c=O的两根都大于ko.----->k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于k=f(k)<0

A>0

b

在区间(m,n)内有2根=2a

/(⑼>0

./(〃)>0

在区间(m,n)内有1根=/(〃z)/(〃)<0

(4)指数函数：y=ax(a>0,awl)

(5)对数函数y=logax(a>0,awl)

由图象记性质！(注意底数的限定！)

k

(6)“对勾函数"y=x+-(k>0)

X

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？(均值不等式一定要注意等号成

立的条件)

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a°=l(a*0),a-P=；(a*0)

a

m____m[

a"=Va^(a>0),a-"=-=(a>0)

nam

对数运算：log。(MxN)=log4M+logwN(M>0,N>0)

log=logM-logN,logVM=-logM

aNaaana

对数恒等式：a'0&x=x

对数换底公式：log"b==>log,„bn=—logb

"g"a

log(,a"m

,1

log“x="；----

•og.va

21.如何解抽象函数问题？

(赋值法、结构变换法)

如:(1)xeR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=>f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=-1=f[<-t)(-t)]=f(t•t)

.\f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

•••f(-t)=f(t)……)

(3)证明单调性:f(x2)=f[(x2-X])+x2]=...

(对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1>代丫=*,

2、令x=0或1来求出f(0)或f⑴

3、求奇偶性，令丫=—x；求单调性：令x+y=X]

几类常见的抽象函数

1.正比例函数型的抽象函数

5(x)—kx(A#0)----------------f(x±y)—fCx)±f(y)

2.鬲函数型的抽象函数

fQx)=x-----------------f(xy)-fix)f(y)；f(-)=

yf(y)

3.指数函数型的抽象函数

f(x)—a--------------------f(x+y)=f(x)f(y)；f(x-y)=

f(y)

4.对数函数型的抽象函数

Y

f(x)—IogaX(a>0且a#1)-----f(x•y)=f(x)+f(y)；f(—)=f(x)—f(y)

y

5.三角函数型的抽象函数

f(x)=tgxf(x+y)

■/WQO-i

f(x)=cotxf(x+y)=

〃x)+/(y)

例1已知函数尸(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+尸(v),且当x>0时，Hx)>0,

H—1)=-2求Hx)在区间[—2,1]上的值域.

分析：先证明函数/(x)在R上是增函数(注意到"X2)=丹(%—为)+x,]=f(x2-x.)+f

(X));再根据区间求其值域.

例2已知函数尸(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=F(x)+f(y),且当x>0时，f(x)>2,

f(3)=5,求不等式f(a-2a-2)<3的解.

分析：先证明函数尸(x)在R上是增函数(仿例1)；再求出f(1)=3；最后脱去函数符号.

例3已知函数fQx)对任意实数x、y都有fCxy)="x)f(y),且"-1)=1,f(27)=9,

当0WxV1时，f(x)e[0,1].

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)判断大(x)在［0,+8］上的单调性，并给出证明；

(3)若a20且f(a+1)求a的取值范围.

分析：(1)令y=-1；

(2)利用f(%,)=尸(五•木)=尸(辽)f(x2)；

x2x2

(3)0WaW2.

例4设函数”x)的定义域是(-8,H-co),满足条件：存在xHxz，使得/(%)WA(xz);

对任何x和y,f(x+y)="x)尸(V)成立.求：

(1)f(0)；

(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.

分析：(1)令x=y=0；(2)令y=xW0.

例5是否存在函数五(x),使下列三个条件：①式(x)>0,xW/V；②"a+b)=f(a)尸(b),a、

be/V；③汽(2)=4.同时成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出尸(x)=2'；再用数学归纳法证明.

例6设fix)是定义在(0,+°°)上的单调增函数，满足f(x,y)=f(%)+f(y),f(3)

=1,求：

(1)f(1)；

(2)若尸(x)+尸(x—8)W2,求x的取值范围.

分析：(1)利用3=1X3；

(2)利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y=尸(x)的反函数是y=g(x).如果尸(ab)="a)+f(b),那么g(a+b)=

g(a)・g(b)是否正确，试说明理由.

分析：设尸(a)—m,f(b)=n,则g(m)—a,g(〃)=b,

进而m+n—/(a)+f(b)=f(ab)=f\_g(m)gCri')］

例8已知函数/(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①%、%是定义域中的数时，有六(%一%)=夕)［(2+1；

/(X2)-/(X1)

②尸(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数)；

③当0<x<2a时，f(.X)<0.

试问：

(1)尸(x)的奇偶性如何？说明理由；

(2)在(0,4a)上，f(x)的单调性如何？说明理由.

分析：(1)利用f［―(%—%)］二一尸［(%—%)］，判定f(X)是奇函数；

(3)先证明f(x)在(0,2a)上是增函数，再证明其在(2a,4a)上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数

问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求

特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f(%)(xWO)满足f(xy)=f(x)+f(y),

(1)求证：f(1)(-1)=0；

(2)求证：f(x)为偶函数；

(3)若大(x)在(0,+8)上是增函数，解不等式大(x)+f(x-1)<0.

2

分析：函数模型为：f(x)=log」x|(a>0)

(1)先令x=y=1,再令x=y=—1；

(2)令y——1；

(3)由大(x)为偶函数，则尸(x)=F(|x|).

例10已知函数