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文档简介

等比数列前n项和数学小故事相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说：第2格：第1格：第4格：第3格：第63格：第64格：12……这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和．18,446,744,073,709,551,615=一般地，设有等比数列：它的前n项和是：(1)的两边乘以q由定义等比数列前n项和公式的推导:(1)(2)(1)-(2)整理等比数列的前n项和公式对首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an},它的前n项和公式的理解：1.运用等比数列前n项和公式时先要确定公比q是否等于1.2.当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用试一试

根据下列各题中的条件，求相应的等比数列的前n项和.例1

(1)在等比数列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;练习1若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5;练习2设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.练习3在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和公比q.解

由题意,若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2.若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,解得q=-2(q=1舍去).此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.练习4.在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn.例2

设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N+.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.练习.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n·2n,则Sn=

.

答案

(n-1)2n+1+2(n∈N+)

解析

∵an=n·2n,∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n

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