北师大版高一数学必修第一册测试题（5-7章）

试卷第=page11页，总=sectionpages33页北师大版高中数学必修第一册测试题（5-7章）第五章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数中没有零点的是（）A. B. C. D.2.方程的实根所在的区间为（）A. B. C. D.3.函数的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.34.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A.118元 B.105元 C.106元 D.108元5.用二分法求方程在区间内的唯一实数解时，经计算得，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.6.关于的方程在）内有实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.或7.函数只有两个零点，则（）A. B. C. D.或8.设函数若，则关于的方程的解的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.若函数唯一的一个零点同时在区间，，，内，那么下列说法中正确的是（）A.函数在区间内有零点B.函数在区间或内有零点C.函数在区间内无零点D.函数在区间内无零点10.如下图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距的两城镇间旅行的函数图象.根据这个函数图象，关于这两个旅行者的信息正确的是（）A.骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动C.骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者D.骑自行车者实际骑行的时间为6小时11.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费用0.5元0.7元销售价格3.00元8.40元则下列说法中正确的是（）A.买小包装实惠 B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多 D.卖1大包比卖3小包盈利多12.已知函数则使函数有零点的实数的取值范围可以是（）A. B. C. D.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.已知函数，则函数的零点是________.14.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为.现测得某种放射性元素的剩余质量随时间变化的6组数据如下：（单位时间）036912153202261601138057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为________.15.方程的实数根的个数为________.16.若关于的方程在上有解，则的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）若函数有一个零点3，求函数的零点.18.（本小题满分12分）在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满.五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金.经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？19.（本小题满分12分）已知函数为上的连续函数.（1）若，试判断在内是否有根存在？若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根存在的区间.（2）若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）有时可用函数，描述学习某学科知识的掌握程度，其中表示某学科知识的学习次数表示对该学科知识的掌握程度，正实数与学科知识有关.（1）证明：当时，掌握程度的增长量总是下降的；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的的取值区间分别为.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科（参考数据：）.21.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且时，.（1）求的解析式；（2）若有两个零点，求集合.22.（本小题满分12分）如上图，将宽和长都分别为的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为.（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形.）（1）求关于的函数解析式；（2）当取何值时，该正十字形的外接圆面积最小？并求出其最小值.

第五章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】由于函数中，对任意自变量的值，均有，故该函数不存在零点.2.【答案】B【解析】设函数，故是上的单调递增函数.因为，故函数在区间上有零点，即方程在区间上有实根，故选B.3.【答案】B【解析】如上图，在同一坐标系中作出与的图象：可知只有一个零点.4.【答案】D【解析】设该家具的进货价是元，由题意得，解得元.5.【答案】C【解析】由于，则.6.【答案】C【解析】只需即可，即解得，选C.7.【答案】D【解析】令，由题意函数只有两个零点，即这两个函数图象只有两个交点，利用数形结合思想，作出两函数图象（如下图），可得选D.8.【答案】C【解析】依题意是的对称轴，，故，令，解得，方程的解的个数为3.选C.二、9.【答案】BC【解析】由题意可得，函数在内有零点，在内无零点，故选BC.10.【答案】ABC【解析】由图象可得，骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，A正确；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，B正确；骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，C正确；骑自行车者实际骑行的时间为5小时，D错误.故选ABC.11.【答案】BD【解析】买小包装时每克费用为元，买大包装时每克费用为（元），，所以买大包装实惠.卖3小包的利润为（元），卖1大包的利润是（元），，所以卖1大包比卖3小包盈利多.因此BD正确，故选BD.12.【答案】BC【解析】函数的零点就是方程的根，作出的图象，如下图所示，观察它与直线的交点，得知当或时有交点，即函数有零点的实数的取值范围是.故选BC.三、13.【答案】1或3【解析】或.14.【答案】6【解析】从题表中数据易知半衰期为6个单位时间，初始质量为，则经过时间的剩余质量为.15.【答案】2【解析】分别画出与的图象，有2个交点.16.【答案】【解析】依题意，当时，的最小值为；当时，的最大值为1.所以.四、17.【答案】函数的一个零点是3.，即，令得或，的零点是或.18.【答案】设每件棉衣日租金提高个5元，即提高元，则每天棉衣减少出租件，又设棉衣日租金的总收入为元.，当时，，这时每件棉衣日租金为，棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6750元.19.【答案】（1）当时，，即.可以求出，则.又为上的连续函数，在内必有根存在.取中点0，计算得，，取其中点，计算得，，取其中点，计算得，，取其中点，计算得.，又存在的区间为.（2）函数的对称轴为.函数在内存在零点的条件为，即，解得.的取值范围是.20.【答案】（1）证明：当时，，设，易知的图象是抛物线的一部分，在上单调递增，故在上单调递减，所以当时，掌握程度的增长量总是下降的.（2）由，可知，整理得，解得.又，所以该学科是乙学科.21.【答案】（1）是上的奇函数，.设，则，，，，所以的解析式为.（2）画出函数的图象如下图：由图可得.22.【答案】（1）由题意可得，则，，解得.关于的解析式为.（2）设正十字形的外接圆的直径为，由图可知，当且仅当时，正十字形的外接圆直径最小，最小值为，则半径的最小值为，正十字形的外接圆面积的最小值为.第六章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的，，，四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知，，，四种产品的数量比是，则该样本中类产品的数量为（）A.22 B.33 C.40 D.552.在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，是其中的一组.已知该组的频率为，该组上的频率分布直方图的高为，则等于（）A. B. C. D.3.我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位：）如下表：上班时间182021262728303233353640下班时间161719222527283030323637则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（）A.28与28.5 B.29与28.5 C.28与27.5 D.29与27.54.下列数据的分位数为（）20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22.A.14 B.20 C.28 D.305.下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.36.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在内适合跑步训练，体重在内适合跳远训练，体重在内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（）A. B. C. D.7.设有两组数据，，…，与，，…，，它们的平均数分别是和，则新的一组数据，，…，的平均数是（）A. B. C. D.8.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为，最大频率为0.32，则的值为（）A.64 B.54 C.48 D.27二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，，三者关系不可能是（）A. B. C. D.10.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.抽样方法不合理的是（）A.①抽签法，②分层随机抽样B.①随机数法，②分层随机抽样C.①随机数法，②抽签法D.①抽签法，②随机数法11.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的是（）甲 乙①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差A.① B.② C.③ D.④12.某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：次品数01234频率0.50.20.050.20.05则次品数的众数、平均数不可能为（）A.0，1.1 B.0，1 C.4，1 D.0.5，2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：时间12345命中率0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________.14.一个样本，，，的平均数是，且，是方程的两根，则这个样本的方差是________.15.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲________，乙________，丙________.16.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）：甲108999乙1010799如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数管理技术开发营销生产总计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200总计16032048010402000（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？18.（本小题满分12分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形的高的比为，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？19.（本小题满分12分）为了更好地进行精准扶贫，在某地区经过分层随机抽样得到本地区贫困人口收入的平均数（单位：万元/户）和标准差，如下表：劳动能力差有劳动能力但无技术有劳动能力但无资金户数10128平均数1.22.02.4标准差144求所抽样本的这30户贫困人口收入的平均数和方差.20.（本小题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们的培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（1）指出甲、乙两位学生成绩的中位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由.21.（本小题满分12分）某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”.统计结果如下图表所示.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组0.5第2组18第3组0.9第4组90.36第5组3（1）分别求出，，，的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？22.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组频数62638228（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

第六章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】根据分层随机抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，样本中类产品的数量为.2.【答案】C【解析】在频率分布直方图中小长方形的高等于，所以，，故选C.3.【答案】D【解析】上班时间行驶速度的中位数是，下班时间行驶速度的中位数是.4.【答案】C【解析】把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，因为有12个数据，所以，不是整数，所以数据的分位数为第9个数28.5.【答案】C【解析】①错，众数可以有多个；②错，方差可以为0.6.【答案】B【解析】体重在内的频率为，体重在内的频率为，体重在内的频率为，，可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为，故选B.7.【答案】B【解析】设，则.8.【答案】B【解析】前两组中的频数为.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为.又最大频率为0.32，故第四组频数为.所以.故选B.二、9.【答案】ABC【解析】在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为，所以.10.【答案】BCD【解析】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样.11.【答案】ABCD【解析】，，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故甲大于乙；甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为；③正确，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差等于4，④正确.12.【答案】BCD【解析】数据出现的频率为，则，，…，的平均数为.因此次品数的平均数为.由频率知，次品数的众数为0.三、13.【答案】0.5【解析】小李这5天的平均投篮命中率.14.【答案】5【解析】的两根是1，4.当时，，3，5，7的平均数是4，当时，，3，5，7的平均数不是1.，.则方差.15.【答案】众数平均数中位数【解析】甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征.甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数；丙：该组数据的中位数是.16.【答案】甲【解析】，，，，甲的方差较小，故甲入选.四、17.【答案】（1）解：不同年龄段的人的身体状况有所差异，所以应该按年龄段用分层随机抽样的方法来调查该单位的职工的身体状况，老年、中年、青年所占的比例分别为，，，所以在抽取40人的样本中，老年人抽人，中年人抽人，青年人抽取人；（2）解：因为不同部门的人对单位的发展及薪金要求有所差异，所以应该按部门用分层随机抽样的方法来确定参加座谈会的人员，管理、技术开发、营销、生产人数分别占的比例为，，，，所以在抽取25人出席座谈会中，管理人员抽人，技术开发人员抽人，营销人员抽人，生产人员抽人.18.【答案】（1）解：依题意知第三组的频率为，又因为第三组的频数为12，本次活动的参评作品数为（件）.（2）解：根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有（件）.（3）第四组的获奖率是，第六组上交的作品数量为（件），第六组的获奖率为，显然第六组的获奖率高.19.【答案】解：由表可知所抽样本的这30户贫困人口收入的平均数为（万元），这30户贫困人口收入的方差为.20.【答案】（1）解：甲的中位数是83，乙的中位数是84.（2）解：派甲，理由是：甲的平均数是85，乙的平均数是85，甲的方差是35.5，乙的方差是41，甲成绩更稳定.21.【答案】（1）解：由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知，，，，.（2）解：第2，3，4组回答正确的共有54人，利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：（人），第3组：（人），第4组：（人）.22.【答案】（1）解：频率分布直方图如图：（2）解：质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.第七章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列事件中，随机事件的个数是（）①2020年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④，则的值不小于0.A.1 B.2 C.3 D.42.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（）A.0.2 B.0.28 C.0.52 D.0.83.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”4.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A. B. C. D.5.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙领到的钱数不少于乙、丁的概率是（）A. B. C. D.6.A.颜色相同 B.颜色不全同 C.颜色全不同 D.无红球7.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为（）A. B. C. D.8.设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.若在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，则随着的逐渐增加，下列说法不正确的是（）A.与某个常数相等B.与某个常数的差逐渐减小C.与某个常数差的绝对值逐渐减小D.在某个常数附近摆动并趋于稳定10.下列四个命题中，假命题有（）A.对立事件一定是互斥事件B.若，为两个事件，则C.若事件，，彼此互斥，则D.若事件，满足，则，是对立事件11.下列说法中错误的是（）A.抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B.如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖C.在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平D.一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数212.在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则（）A.恰有1件一等品的概率为B.恰有2件一等品的概率为C.至多有1件一等品的概率为D.至多有1件一等品的概率为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是团员的概率为________，戴眼镜的概率为________.14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.15.A，B，C，D四名学生按任意次序站在一排，则A或B在边上的概率为________.16.如图，元件通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.18.（本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.19.（本小题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.20.（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体.（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.21.（本小题满分12分）在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为，求：（1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率；（3）只有1人通过体能测试的概率.22.（本小题满分12分）某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40，50），[50，60），…，[90，100]），（1）求成绩在[70，80）的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率.

第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件.2．【答案】A【解析】设“摸出红球”为事件M，“摸出白球”为事件N，“摸出黑球”为事件E，则，所以.故选A.3．【答案】A【解析】由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件.4．【答案】A【解析】设2名男生记为，2名女生记为，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，有，共12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有，共4种情况，则所求事件发生的概率为.故选A.5．【答案】C【解析】用枚举法列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有（2，2，5），（2，3，4），（2，4，3），（2，5，2），（3，2，4），（3，3，3），（3，4，2），（4，2，3），（4，3，2），（5，2，2），共有10种可能性，而丙领到的钱数不少于乙、丁的情况有（2，4，3），（2，5，2），（3，3，3），（3，4，2），共计4种，故所求概率为.故选C.6．【答案】B【解析】有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为；颜色不全同的结果有24种，其概率为；颜色全不同的结果有6种，其概率为；无红球的结果有8种，其概率为，故选B.7．【答案】A【解析】每一个图形有2种涂法，总的涂色种数为，三个图形颜色完全相同的有2种（全是红或全是蓝），则三个图形颜色不全相同的涂法种数为.所以三个图形颜色不全相同的概率为，故选A.8．【答案】B【解析】设事件A和B发生的概率为和

A发生而B不发生的概率,B发生而A不发生的概率

,所以

独立事件A和B都不发生的概率

则

则二、9．【答案】ABC【解析】随着的增大，频率会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系，A、B、C错误，D正确.10．【答案】BCD【解析】A正确；当且仅当A与B互斥时才有，对于任意两个事件，，满足，B不正确；不一定等于1，还可能小于1，所以C不正确；D不正确，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球），显然事件A与B不互斥，但.故选B、C、D.11．【答案】ABD【解析】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.故选A、B、D.12．【答案】ABD【解析】将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.其中恰有1件一等品的取法有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），故恰有1件一等品的概率为；恰有2件一等品的取法有（1，2），（1，3），（2，3），共3种，故恰有2件一等品的概率为，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为.故选A、B、D.三、13．【答案】0.640.73【解析】500名学生中共青团员有320人，即共青团员的频率为，所以随机抽查一名学生，估计他是团员的概率为0.64；500名学生中戴眼镜的365人，即戴眼镜的学生的频率为，所以随机抽查一名学生，估计他戴眼镜的概率为0.73.14．【答案】【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种.故所求概率为.15．【答案】【解析】A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，基本事件共24种，如下图所示.A，B都不在边上共4种，所以A或B在边上的概率为.16．【答案】0.8829【解析】电流能通过A1，A2的概率为，电流能通过A3的概率为0.9，故电流不能通过A1，A2且也不能通过A3的概率为.故电流能通过系统A1，A2，A3的概率为.而电流能通过A4的概率为0.9，故电流能在M，N之间通过的概率是.四、17．【答案】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为.18．【答案】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2)，(A1，A3)，{A1，A4}，{A1，A5)，{A1，A6)，{A2，A3}，{A2，A4)，{A2，A5}，{A2，A6)，{A3，A4)，{A3，A5)，{A3，A6)，{A4，A5)，{A4，A6)，{A5，A6}，共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为(A1，A2)，{A1，A3)，{A2，A3)，共3种.所以.19．【答案】（1）从3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，而此人任一天到达该地的概率均为，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.20．【答案】（1）总体平均数为.（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以，所求的概率为.21．【答案】设A表示事件“甲通过体能测试”，B表示事件“乙通过体能测试”，C表示事件“丙通过体能测试”.由题意有：.（1）设M1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即.由事件A，B，C相互独立，可得.（2）设M2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则，由于事件A，B，C，，，均相互独立，并且事件两两互斥，因此所示概率为.（3）设M3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则，由于事件A，B，C，，，均相互独立，并且事件两两互斥，因此所求概率为.22．【答案】（1）.（2）依题意可得，.（3）[40，50）与[90，100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50）分数段的3人编号为A1，A2，A3，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，则由样本点构成集合{（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，共15个，其中，在同一分数段内的事件所含样本点为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共6个，故概率.期末综合测试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．2．若函数的定义域是，则函数的定义域为（）A． B． C． D．3．已知函数，若函数在开区间上恒有最小值，则实数的取值范围为（）．A． B．C． D．4．已知，，，则（）A． B． C． D．5．设，函数在上单调递减，则（）A．在上单调递减，在上单调递增B．在上单调递增，在上单调递减C．在上单调递增，在上单调递增D．在上单调递减，在上单调递减6．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1，2，3，4，5，6这六个数字当中任选一个数字(两人所选的数字可以相同)，如果所选出的两个数字相差不超过1，则称这两个小朋友“心有灵犀”．两个小朋友“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．8.已知函数．下列命题正确的是（）A．必是偶函数B．当时，的图像关于直线对称C．若，则在区间上是增函数D．有最大值二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．对任意实数．若不等式恒成立，则实数可取的值为（）A． B． C． D．10．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（）A．若函数的定义域为，则函数的定义域是；B．函数（其中，且）的图象过定点；C．当时，幂函数的图象是一条直线；D．若，则的取值范围是.11．已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（）A． B． C． D．12．在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图.则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是（）A．甲省的平均数比乙省低B．甲省的方差比乙省大C．甲省的中位数是27D．乙省的极差是12三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．计算：_________．14．设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则的值为________．15．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率_____．16．已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是_______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知二次函数．（1）若的解集为，解关于x的不等式；（2）若不等式对恒成立，求的最大值．19．（本小题满分12分）已知函数为奇函数.（1）求实数a的值并证明是增函数；（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.20．（本小题满分12分）已知且，．（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当的定义域为时，解关于的不等式（3）若恰在上取负值，求的值．21．（本小题满分12分）某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？22．（本小题满分12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.23．（本小题满分12分）已知函数（1）若，求证：函数恰有一个正零点；（用图像法证明不给分）（2）若函数恰有三个零点，求实数取值范围.参考答案1．C不等式的解集为，和2是方程的两个根，且，，可得，则不等式等价于，即，解得或，故不等式的解集为.2．C函数的定义域是满足，即又分母不为0，则所以函数的定义域为：3．A由题恒成立，所以定义域为R，，所以为定义在R上的偶函数，当在单调递减，在单调递增，所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，所以函数在和处均取得最小值，若函数在开区间上恒有最小值，则或，解得：4．A由为单调递增函数，则，所以，由为增函数，所以，所以，综上所述，.5．A设，当时，单调递增，而在上单调递减，所以单调递减，所以，当时，单调递增，又单调递减，所以在上单调递减，当时，单调递减，又单调递减，所以在上单调递增.6．C设，因为，所以的图象关于直线