2023-2024学年山东省临沂市高一年级上册期末考试数学试题

2023-2024学年山东省临沂市高一上册期末考试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1,已知集合"0}N={xeZ|x<3},则“乂=（）

A.MB.NC.{-1,1}D.{-1,0,1}

【正确答案】D

【分析】集合M中元素是实数，集合N中元素是整数，先化简集合用再与集合N取交集即可解

决.

【详解】方程--4=0有两根%=2或々=-2,则由不等式/一4<0可得—2<x<2

则A/={x|x2-4<01={x|-2<x<2}

又N={xeZ|x<3}

故McN={x|-2<x<2}c{xeZ|x<3}={—1,0,1}

故选：D

2.命题“任意xeR,都有e'〉。”的否定为（）

A.存在x0eR,使得e与<0

B.不存在xwR,使得e*40

C.存在Xo^R,使得e%>0

D.对任意xeR,都有ex«o

【正确答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论，即得答案.

【详解】命题“任意xeR,都有e*>0”的否定为“存在与eR,使得40"，

故选：A

3.设q=3°3,b=，c=log060.8,贝ija,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【正确答案】D

【分析】结合指数、对数函数单调性判断出。，仇c大致范围，即可求解.

【详解】因为73S（J、>，。<喻&8—“所以

c<\<a<h.

故选：D.

4.在直角坐标系中，已知圆。的圆心在原点，半径等于1,点P从初始位置（0,1）开始，在圆。

24

上按逆时针方向，以角速度prad/s均速旋转3s后到达尸'点，则P的坐标为（）

9

A.丄B.2

2'2

/

（

C.D.电丄]

-2，-T[2，2

\/丿

【正确答案】D

【分析】首先求得尸'点所在终边对应的角度，然后以三角函数定义去求P的坐标即可.

【详解】点P（0,1）为角a=、的终边上一点，3s后点尸按逆时针方向旋转到达尸'点,

万27

点P落在角4=W+3x]〃=t%的终边上，

071V3..7_-1_1

cosB=cos—1=-cos—7i=------，sinp=sin=—sin—=——

“662662

故P'的坐标为——

[22,

故选：D

5.已知a>b>0,c<d<0,e<0,则下述一定正确的是（）

A.ae>beB.c2<d2

c.-^+^—>0D.（d-cY>-

a-cd-bh

【正确答案】C

【分析】根据不等式的性质即可判断ABC,举出反例，如。=21=1,。=一1,1=—丄,6=-1即

2

可判断D.

【详解】解：因为a>b>0,c<d<0,e<0,

所以oe<be,c2>d2故AB错误；

—c>—（1>0,以a—c>b—d>0,

所以一1^<—1^,所以一e^>e丁三，

a-cb-da-cb-d

即」一+—J>0,故C正确；

a-cd-b

对于D,若Q=2,6=l,c=—l,d=—丄,e=—1时，

2

则（d—c）e=2=,，故D错误.

故选：c.

6.设工611,则“:^~—<0”是“k一1|<1"的（）

x-2

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】分别求出两个不等式的工的取值范围，根据》的取值范围判断充分必要性.

x+3

【详解】一^<0等价于（x+3）（x-2）<0,解得：-3<X<2；,一1|<1等价于

x-2

解得：0<x<2,0<x<2可以推出一3Vx<2,而一3Vx<2不能推出0<x<2,所以

一3<x<2是0<x<2的必要不充分条件，所以“--<0”是“|x-1|<1"的必要不充分条件

x—2

故选：B

7.已知x/，z都是正实数，若乎=1,则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【正确答案】D

【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.

【详解】由》>0,>>0/>0可知

x+y>2y[xy>Q(当且仅当x=_y时等号成立)

y+z>2y[yz>Q(当且仅当V=z时等号成立)

x+zN2伝>0(当且仅当x=z时等号成立)

以上三个不等式两边同时相乘，可得

(x+y)(y+z)(z+x)28及子？=8(当且仅当x=N=z=l时等号成立)

故选：D

8.定义在(0,+8)上的函数/(x)满足<0,且/(丄]=3,/⑶=9,则不

MF12丿

等式〃x)>3x的解集为()

A.(3,+QO)B.(0,3)

仁1星)

)I，丿

【正确答案】B

【分析】对上—<。变形得到小构造新函数g(x)=/@，得到

X,-X2X]x2

g(x)在(0,+8)上单调递减，再对/(x)〉3x变形为丄区>3,结合/(3)=9,得到

X

g(x)>g(3),根据g(x)的单调性,得到解集.

【详解】•，（玉）二）/（上）＜0,不妨设司＞々＞0,故//（须）—须/（%）＜0,即

X\~X2

/（西）/㈤

-----＜------，

X]x2

令g（x）=£l^I,则g（xj＜g（x2）,故g（x）=£⑷在（0,+8）上单调递减,/（x）＞3x,

不等式两边同除以X得：/区＞3,因为/（3）=9,所以g（3）=丄（2=3,即g（x）＞g（3）,

x3

根据g（x）在（0,+s）上单调递减，故x＜3,综上：0＜x＜3

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.函数y=的图象不经过第四象限

B.函数丁=tanx在其定义域上为增函数

C.函数丁=2、与y=2T的图象关于＞轴对称

D.函数y=2"与y=log2X的图象关于直线V=x对称

【正确答案】ACD

【分析】选项A,函数y=x-的图像经过第一、三象限;

选项B,计算正切函数的定义域和单调区间；

选项C,（x,歹）与（一x,歹）关于y轴对称；

选项D,反函数关于歹=》对称.

【详解】对于A：

函数＞=犷|的图像经过第一、三象限，故A正确；

对于B：

函数J=tanx的定义域为＜x|x+左乃，左ez),

(rrjrA

--+k7T,-+k7r\,(keZ),故B错误；

对于C：

若(x,y)在歹=2”的图象上，贝U(-x,y)在y=2T的图象上，所以图象关于y轴对称，故

C正确；

对于D：

由于；；=2*与歹=log2%互为反函数，所以图象关于V=x对称，故D正确.

故选：ACD

10.已知。为第一象限角，下述正确的是()

A.0＜。＜一B.上为第一或第三象限角

22

C.sin。＜tan。D.cos(sin^)＞—

【正确答案】BCD

【分析】根据。为第一象限角，可得2左乃＜。＜々+2左乃，左eZ,即可判断A,求出土的范围,

22

从而可判断B,结合商数关系即可判断C,根据余弦函数的性质即可判断D.

TT

【详解】解：因为。为第一象限角，所以2%%＜。＜一+2左匹左EZ,故A错误;

2

.97tr

K7T＜—＜—+k小k£乙，

24

371

当左=0时，0＜—＜一,为第一象限角，

24

当左=1时，71＜一＜---,为第三象限角,

24

0

所以一为第一或第三象限角，故B正确;

2

0<sin^<l,0<cos^<l,所以tan8="—>sin，，故C正确;

cos。

COS(sin^)>cosl>cos—=—,故D正确.

'丿32

故选：BCD.

11.下列说法中，正确的有()

A.若。<b<0,则〃

B.若3>6>0,则2>区

ah

C.若对Vre(0,T8),x+丄2加恒成立，则实数"的最大值为2

X

D.若a>0,b>0,a+b=\,则丄+丄的最小值为4

ab

【正确答案】ACD

【分析】根据不等式的性质可以说明A正确；利用中间值1验证B错误；利用基本不等式加上恒

成立可以说明C正确；巧用“1”可以说明D正确.

【详解】<a<b,b<0,左右两边同时乘以6得，故A正确；

*.*<2>6>0,/.—>1,一<1,.,.—>一9故B错误；

baba

vxe(0,+oo),x+->2.x--=2,要使x+丄2加恒成立，则加4(x+丄),“而，故实数机的最

x\xxx

大值为2,故C正确；

•1,a>0,b>Q,(a+b)=2+-+->2+2.1---=2+2=4，故丄+丄

ababab\abab

的最小值为4,故D正确.

故选：ACD.

12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组

成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆。的圆心在

原点，若函数的图像将圆。的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆。的一个“太极

函数”，则()

A对于圆O,其“太极函数”有1个

,、lx2-x(x>0)

B.函数/(x)=12/人是圆O的一个“太极函数”

[-x-x(x<0)

C.函数〃x)=x3-3x不是圆。的“太极函数”

D.函数〃x)=ln(Jx2+1+x)是圆0的一个“太极函数”

【正确答案】BD

【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.

【详解】解：对于A选项，圆O,其“太极函数”不止1个，故错误;

X1-x(x>0)

对于B选项,由于函数/(x)=当xNO时，f{-x)=-x2+x=-f(x),当

-x1-x(x<0)1

X2—X(X>0)

x<0时，f(-x}=x2+x=-/(%),故/'(x)=<2'/一为奇函数，故根据对称性可知

1

„z、{x-x(x>0)

函数/(x)=〈272为圆。的一个“太极函数”，故正确；

[-X-x(x<0)

对于C选项，函数定义域为R,/(-x)=-x3+3x=-/(x),也是奇函数，故为圆。的一个“太

极函数”，故错误；

对于D选项，函数定义域为R,

/(-x)=ln[Vx2+l-x]=ln/——=-ln(7x2+l-x]=-/(x),故为奇函数，故函

')\yjx2+1)

数/(x)=In(Vx2+1+X)是圆O的一个“太极函数”，故正确.

故选：BD

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)是定义在R上的周期4的奇函数，若=则/(2023)=.

【正确答案】T

【分析】根据函数为奇函数求得了(-1)=-1,再根据函数的周期性即可得解.

【详解】解：因为函数/(尤)是定义在R上的周期4的奇函数,

所以/(2023)=/(506x4-1)=/(-1)=一/(1)=一1.

故-1.

14.和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1

密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采

用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字

之间画一条短线，如：469密位写成“4—69”1周角等于6000密位，记作“60—00”.如果一

个扇形的半径为2,面积为工兀，则其圆心角可以用密位制表示为

6-----------

【正确答案】12-50

【分析】先用扇形面积公式求出圆心角的弧度制，再转化为密位制.

【详解】设圆心角为a,则扇形面积公式5=丄同戸，其中火=2,S=-n,代入公式得：

2116

527r7ESIT

a=二兀，其中1密位=亠_=」_,故二兀+--=1250,所以其圆心角可以用密位制表

1260003000123000

示为12-50.

故答案为.12-50

“、\(\-a]x+2a,x<0

15.已知函数/(x)=:।)的值域为R,则实数。的取值范围为____________.

[3,x>0

【正确答案】-<a<\

6

1-(7>0

【分析】由题意可得41,计算不等式组即可求得结果.

2a>-

I3

、\(\-a\x+2a,x<0,1

【详解】•••函数/x=丿的值域为R,又当xNO时，

'73A-1,x>03

1-a>0

c1，解得丄Wa<l.

2a>-6

3

故答案为.一Wa<1

6

x+2,-2<x<l,/(七)

则丄3

16.己知函数/（x）=r-，若/（尤）一m=o有两个实根国,々（无1<々），

Vx,l<x<9,X2-X]

的取值范围为.

’3272+1

【正确答案】

【分析】原问题等价于函数V=/'（X）与直线V=〃2的图象有两个不同的交点，即求

/㈤二m

的值域即可.

2

x2-Xjm-m-\-2

【详解】原问题等价于函数歹=/（x）与直线y=加的图象有两个不同的交点,

2

此时=X,=m-2,x2=m,me(l,3),

/(xj_加_1

2

•••々一石m-m+2加+2_]

m

由对勾函数的性质知，卜=加+一在（1,、历丿上单调递减，在（J5,3）上单调递增,

2

2崂,

所以当相e(l,3),y=m+—e

所以用+2一1£2A/2-1,—

m3

-f(32V2+1

故答案为.---

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在平面直角坐标系X。中，角。的顶点在坐标原点O,始边与不轴的非负半轴重合，角。的

4

终边经过点力3,3),cosa-——.

5

(1)求。和tana的值;

JI

sin(—a)+2sin(—+a)

(2)求-----=----------Z------的值.

37r

3sin(-+a)+sin(%-a)

3

【正确答案】(1)a=-4,tana=-；

4

【分析】（1）根据三角函数的定义求出“，进而求岀tana；

（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.

【小问1详解】

a43

由题意得：cosar=,---,解得。=-4,所以tana=—.

3+954

【小问2详解】

3+2

-4-sina+2cosa-tana+211

原式=-........:----=---------4

一3cosa+sina-3+tana15

4

18已知全集0=1<,集合Z={y|y=2-2sinx,xeR},集合6=y=+

集合C={乂V=2国+l,xeR}.

(1)求集合NcB；

(2)求集合(a4)。。.

【正确答案】(1)[0,1]；

(2)(—oo,0)[2,+oo).

【分析】(1)利用正弦函数的性质可得集合4=[0,4],进而可得集合5=[-8,1],再利用交集的

定义运算即得；

(2)利用指数函数的性质可得C=[2,+8),再利用补集的概念及并集的定义即得.

【小问1详解】

,/xeR,sinxe[-l,1],

/.j/=2-2sinxe[0,4]，即Z=[0,4],

8=卜y=_：x+l,xe/}=卜8,1],

：.AI5=[0,1];

【小问2详解】

VxGR,|x|>0,

...2^>i,2w+l>2,

C=[y\y=2|x|+l,xeR}=[2,+8),又4=[0,4],

a/1={力<0或工>4},

：.(^/4)uC=(-oo,0)u[2,+oo).

TT

19.已知函数/(x)=sin(2x-§).

(1)求函数函x)的单调递增区间;

（2）当时，求不等式/（x）的解集.

TT57r

【正确答案】（1）一乃+左兀,石■+E（左£Z）

兀//5兀A兀//兀

（2）<x——<x<-----或一WxW—>

21242

rJlJi'7L

【分析】（1）由----F2/CTI2x—W—F2E可得答案.

232

（2）先解出不等式再与xe[-1,g求交集，从而得到答案.

【小问1详解】

JIJIJiJ!5JI

令——+2kn<2x——<—+2kji,ksZ,解得-----\-kTt<x<一+左兀，kwZ.

2321212

IT，7T

所以，函数/（X）单调递增区间为-0+碗,五+加（左eZ）.

【小问2详解】

不等式即sin（2x-1）N；.

77TT57r7t77r

则2k兀H——<2x——<2/CTT+——,kwZ,即厶乃H——WxSk兀+——,kwZ

636412

当左=0时，—<x<—,又工£[-生,工],所以&<X（工

4122242

、1771r»-4-3万//57r—71兀、匚广|、|乃//5）

当左二—1时，--------------9又—,一],所以----KxW------

41222J212

1jr57r7C7C

所以不等式/（x）2—的解集为<x-不Wx4一;或工<了<不）

221242I

20.己知函数f（x）=log2（2+x）-log2（2-x）.

（1）求函数/（x）的定义域，并判断函数/（x）的奇偶性；

（2）解关于x的不等式/""log?。—》）.

【正确答案】（1）（-2,2）,奇函数

（2）[0,1）

【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数/（x）的奇

偶性；

2+x

（2）将/（x）Nlog2（l-x）化为log2>log（l-x）,再利用函数的单调性得到

2-x2

2+x

解不等式结合函数的定义域可得答案.

2—x

【小问1详解】

2+x>0“、

由八，得函数/（X）的定义域为（-2,2）,定义域关于原点对称,

2—x>。

又〃T）=log2（2—x）-log2（2+x）=-/（x）,

所以函数/（x）奇函数；

【小问2详解】

/24-X

因为/（X）=log2（2+x）-log2（2—x）=log2|——

12-x

2+x]

所以不等式/（X）>log2（l-x）可化为log22-xJ>log2（l-x）

因为N=log,X在（0,+8）是增函数，所以有---->l-x,

2-x

1-x>0

又2-x>0,所以工2一4140，解得0<x<4,又〈。,

-2<x<2

因此不等式/。）2喚2（1-.丫）的解集为[0,1）.

21.春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.

已知某火车站候车厅，候车人数与时间r相关，时间f（单位：小时）满足0<f<24,fwN.经

测算，当164t424时•，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当0<f<16时，候车人

数会减少，减少人数与《16-。成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人

数为/（7）.

（1）求/⑴的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为「=厶匕卫"+320,则一天

中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

5160-20/(16-/),(0</<l)、

【正确答案】（I）/«）=<15160,(16</.24)(z/"),候车厅候车人数为42。。人

（2）f=10时，需要提供的矿泉水瓶数最少

【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入（6,3960）,可得解析式，代入/=12,可得答案;

（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.

【小问1详解】

当0<f<16时，设/⑺=5160-h(16—),,7(6)=3960,则。=20,

5160-20/(16-r),(0<Z<l)

：•/(/)=”(/eN).

5160,(164f424)

7（12）=5160-20x12x4=4200,

故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.

【小问2详解】

20,+並

,(0</<16)

P=4(，eN),

^^+320,(16</<24)

①当0<r<16时,400,当且仅当，=10时等号成立;

2000

②当164f424时,P>+320-403

24

又403>400,所以1=10时，需要提供的矿泉水瓶数最少.

22.己知定义域为R的函数/（乃=丄?一是奇函数，且指数函数丁="的图象过点（2