2023-2024学年辽宁省鞍山市高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省鞍山市高一上册期末数学试题

一、单选题

1.已知集合厶={0,2,4,6},B={0,1,2,3},C={2,3,4},那么Ac（37C）=（）

A.{2}B.{0,2}C.{2,4}D.{0,2,4}

【正确答案】D

【分析】根据并集、交集的定义计算可得.

【详解】；A={0,2,4,6},B={0,1,2,3},C={2,3,4},

:.BC={0,l,2,3,4},

Ac®C）={0,2,4}.

故选：D.

2.命题：VxeN,x>石的否定为（）

A.VxeN,x<4xB.不存在xwN,x<\[x

C.HxeN,x>&D.3x&N,x<y[x

【正确答案】D

【分析】含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论即可.

【详解】解：命题：VxeN,x>我的否定为：Bx&N,苍,五.

故选：D.

3.某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示：

年龄45403632302928

人数2335241

下列说法正确的是（）A.29.5是这20人年龄的一个25%分位数B.29.5是这20人年

龄的一个75%分位数

C.36.5是这20人年龄的一个中位数D.这20人年龄的众数是5

【正确答案】A

【分析】分别计算25%,75%分位数得到A正确，B错误，再计算中位数和众数得到CD

错误，得到答案.

【详解】对选项A：20x25%=5,25%分位数为^^=29.5,正确；

对选项B：20x75%=15,75%分位数为丝三生=38,错误；

对选项C：这20人年龄的中位数是笠丝=32,错误；

对选项D：这20人年龄的众数是32,错误；

故选：A

4.已知函数/(x)=12-x—lgx在区间+上有唯一零点，则正整数”=()

A.8B.9C.10D.11

【正确答案】C

【分析】根据函数f(x)解析式可判断其定义域及单调性，利用零点存在性定理即可求得结

果.

【详解】函数/(x)=12-x-Igx的定义域为(0,y),且在(0,+向上是减函数；

易得=11—=/(10)=12—10—lgl0=l>0,

根据零点存在性定理及其单调性，可得函数/(x)的唯一零点所在区间为(10/1),

y

【正确答案】A

确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论.

【详解】记/(x)=手;，函数定义域为R,则〃-x)=-母一=-/(x),函数为奇函数，排

除BC,又x>0时，/(%)>0,排除D.

故选：A.

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6.设/(*)是定义在R上的偶函数，且在［0,+巧单调递增，则"x-l)</(4)的解集为()

A.(70,5)B.(-3,5)C.(-2,4)D.(0,4)

【正确答案】B

【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可得-4<x-l<4,解不等式即可.

【详解】由于“X)是偶函数，且在［。,+8)单调递增厕有Y<x—1<4,

解得-3Vx<5,即不等式的解集为(-3,5),

故选：B

7.函数/(x)=(那一是幕函数，对任意百,々€((),«»),且x产修，满足

O若“力eR,且a+6>0,ab<0,则/(")+/(》)的值()

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

【正确答案】A

【分析】确定函数在(0,+8)上单调递增，根据基函数得到”=2或％=-1,验证单调性得到

/(x)=x\代入数据计算得到答案.

【详解】对任意的不W«O,4W),且x产X2,满足/('')二」/J>0,函数是单调增函数，

/(》)=(疗—是幕函数，可得>-机_]=1,解得M=2或，〃=-1,

当,〃=2时，〃x)=V当加=T时，f(x)=x~3,不满足单调性，排除，

故，w=2,/(x)=x3.

a+b>0,ab<0,故/(a)+f伍)="+廿=(“+6)(〃-。6+〃)>0恒成立.

故选：A

8.著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所

长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠

释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%,一年后是1.01项；而把“不见其

损”量化为每天的“落后率”都是1%,一年后是0.993M.可以计算得到，一年后的“进步”是“落

后”的丄吗=1481倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%,要使“进步”是“落

0.99365

后”的10000倍，大约需要经过电2=0.301怆3。0.477()

A.17天B.19天C.21天D.23天

【正确答案】D

【分析】根据题意得210000,根据对数的运算性质即可求解.

【详解】经过x天后，“进步”与“落后”的比里210000,

0.8,

>10000,两边取以10为底的对数得『lg|24,

x(lg3-lg2)=x(0.477-0.301)=0.176%>4,

4

x>x22.73,

0.176

所以大于经过23天后，“进步”是“落后啲10000倍.

故选：D

二、多选题

9.在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的

频率分布直方图，其中分组的区间为［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］,

若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是()

B.若60分以下视为不及格，则这次知识竞赛的及格率为80%

C.分数在区间［60,70)内的频率为0.02

D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间［70,80)应抽

取30人.

【正确答案】AB

【分析】计算平均值得到A正确，计算及格率得到B正确，分数在区间［60,70)内的频率为

0.2,C错误，区间［70,80)应抽取60人，D错误，得到答案.

【详解】对选项A：平均成绩为

x=45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.2+95x0.1=72.5，正确;

对选项B：及格率为1-0.05-0.15=0.8=80%,正确；

对选项C：分数在区间［60.70)内的频率为0.()2乂10=().2,错误；

对选项D：区间［70,80)应抽取200x0.3=60人，错误.

故选：AB

10.如果实数则下列不等式中成立的为()

【正确答案】BC

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】令。=-9,b=T,则歩<6，所以A错误，

令a=-2,b=-l,则，丄>?,所以D选项错误.

由」~7~-丄=/\、,其中a_b<0,6<0,a<0,所以」~^一丄=,)、Y所以」^7■〈丄

a-ba(a-b)aa-ba(a-b)a°，a-ba

成立,B正确.

由f-i=¥，其中。一万<0,2<0,所以:一1==会>0,所以，>1成立，C正确.

bbbbb

故选：BC

11.给出下述论述，其中正确的是()

A.函数y=d=与函数y=表示同一个函数

B.若函数〃2x)的定义城为[0,2],则函数“X)的定义域为[0,4]

C.函数〃x)=ln(x2+4x-21)的单调递减区间是(《,-2)

D.若函数=则对任意不々«0,钙)，有八叱/㈤4/(

【正确答案】BD

【分析】根据定义域不同可判断A错误；由抽象函数定义域求法可得B正确；根据对数型

复合函数的单调性可得C错误；由函数f(x)=£的解析式及基本不等式即可证明得出D正

确.

【详解】对A选项，由y=J7有可得好―420,解得xN2或xW-2,

故其定义域为(e,-2]U[2,”)，

而丫=厶+24:-2需满足t一2>0'解得xN2,其定义域为[2,+oo),

定义域不同，故函数不同，所以A错误；

对B选项，函数f(2x)的定义城为[0,2],即xs[0,2],所以2x«0,4],所以函数/(x)的定

义城为[0,4],故B正确；

对C选项，要使/(x)=ln(x2+4x-21)有意义，贝U+4x—21>0,解得x<-7或x>3,

f(x)=ln(x2+4x-21)定义域为(fo,—7)u(3,4w),

设〃=V+4x-21,xe(-oo,-7)u(3,+oo),则y=ln”,

因为y=ln”在定义域上单调递增；〃=d+4x-21,XG(3,—7)=(3,一)的增区间为

(3,+8),减区间为(T»,-7),

所以根据复合函数的单调性可得"x)=ln(l+4x-21)的递减区间为(—,-7),故C错误;

对于D选项，因为“x)=f=&，要证对任意/吃目。，”)，有

即证F+%+2,xx?<&+x?

即证爲+后、

242

即证2丿用円VX1+人,即证(爲

显然成立，故D正确.

故选：BD

|lnx|,0<x<e

12.已知函数/(力=1.(其中e为自然对数的底数)，若存在实数百了2，不满足

—R+2,x>e

/(3)=/5)=〃为)，且』<々<七，则下列说法正确的有()

A.”力在(0,1)50,收)上单调递减

B.f(x)的值域为R

C.3々匕的取值范围是(e,2e)

D./(5)«0,1)

【正确答案】BCD

【分析】作岀函数f(x)的图象，即可判断出选项AB,根据函数与方程的思想可知，函数

y=机€(0,1)与函数/(x)图像有三个交点，得岀西,々,马之间的关系即可判断选项CD从而

得出结果.

|lnx|,0<x<e

【详解】作岀/(x)=1、的图象如下:

—x+2,x>e

对于选项A,由图象可知/（x）在（0,1）和（e,zo）上分别单调递减，但在其并集上不具有单调

性，故A说法错误；

对于选项B,根据图像即可得函数的值域是R,故选项B正确；

对于选项D,令/（X）=〃W）=/（£）=隕，即y=a与函数"X）图像有三个交点，由图可

知〃好（0,1）,故/（xJe（O,l）,选项D正确；

对于选项C,由斗<々<三，且/（与）=/（々），可得-ln±=lnx2,则再々=1；

令—x+2-l,解得x=e,令一丄x+2=0,解得x=2e；

ee

由图象可得/（Xj=/（W）=/（X3）,e<x3<2e,

所以中2当=工3，故中2覆的取值范围是（e,2e）,选项C正确.

故选：BCD

三、填空题

13.已知正实数X，V满足2x+y=l,则孙的最大值为一.

【正确答案】

O

【详解】由均值不等式的结论有：l=2x+y22历？，解得：孙4：，

O

当且仅当x=；,y=〈时等号成立，即外的最大值为!.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正

——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得“，若忽略

了某个条件，就会出现错误.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的

三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等

号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.

14.已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现从口袋中随机逐个

取出两球，取出的两个球是一黑一白的概率是.

【正确答案】1

【分析】将白球和黑球分别编号，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算

出所求事件的概率.

【详解】将3个白球分别记为A、B、C,1个黑球记为“，

从口袋中随机逐个取出两球，所有的基本事件有：48、AC、Aa、BA、BC、Ba、C4、

CB、CaaA>aB、aC,共12个，

其中，事件“取出的两个球是一黑一白”所包含的基本事件有：Aa.Ba、Ca、aA,aB、aC,

共6个，

因此，所求事件的概率为=

故答案为*

本题考查古典概型概率的计算，一般要求列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.

15.在平行四边形ABCD中，点E满足避=一2而，且。是边AB中点，若4E交。。于点

M.且AM+，贝lJ/+〃=.

【正确答案】y

uuuruuuiuuimLiuui/in皿uuir、uura7111nl4111r32L,Lffi

【分析】由己知可得AM=AD+OM=AO+（OE+EM）=AD+-OC+-EA=—AO+-A8

\>3777

可得答案.

uuu___

【详解】在平行四边形ABC。中，点E满足。£=-2B，且。边A3中点，

所以E是边。C离近C的三等分点，可得去=黑=，EM=；EA,

AOMA37

uuurin.iuLILILKnumAILIIIuuir、

所以AM=AO+Z）M=4O+（O£：+EM）

UUD71014

=AD+-DC+-EA

37

lIUDUUDUL

UUD74uum704/UUDuuux

=AD+-AB——AE=AD+-AB——AD+DE

3737、丿

3uuu2UUD

=-AD+-AB^AM=AAB-^^AD,

所以

故答案为弓

16.某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1

罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：

①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐；

②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：

③如果购买〃(〃GN*)罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数/(")="+甘■.(其中［x］表

示不大于x的最大整数)

则所有正确说法的序号是.

【正确答案】②③.

①10罐可乐有10个可乐空罐，第一次可换3罐可乐还剩1个空罐，第二次可换1罐可乐还剩2

个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；

②：先分析购买66罐可乐的情况，再分析购买67罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买

的可乐罐数；

③：先分析购买1到9罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分

奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出/(")的结果.

【详解】①：购买10罐可乐时，第一次可换3罐还剩1个空罐，第二次可换1罐还剩2个空罐,

所以最多可饮用10+3+1=14罐可乐，故错误；

②：购买66罐时，第一次可换22罐可乐，第二次可换7罐可乐还剩1个空罐，

第三次可换2罐可乐还剩2个空罐，第四次可换1罐可乐还剩2个空罐，所以一共可饮用

66+22+7+2+1=98罐；

购买67罐时，第一次可换22罐可乐还剩1个空罐，第二次可换7瓶可乐还剩2个空罐，

第三次可换3罐可乐，第四次可换1罐可乐还剩1个空罐，所以一共可饮用

67+22+7+3+1=100罐；

所以至少需要购买67罐可乐，故正确;

③：购买1到9罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示:

购买数饮用数剩余空罐数

111

222

341

452

571

682

7101

8112

9131

由表可知如下规律：

(1)当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为1,当购买的可乐罐数为偶数时，此

时剩余的空罐数为2；

(2)实际饮用数不是3的倍数；

(3)每多买2罐可乐，可多饮用3罐可乐，

(4)实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的1.5倍少0.5或1；

设购买了〃罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为了(〃),

372-1

〃n=GN)

3m一2(=2相一1,m€N2

所以/"(〃)=,,BP/(«)=",即

加一〃G3H-2

31(=mN=2m,mGN')

2

n-\(

〃+-----1n=2m-l,fneN

2I

77-2/

〃+-----1n=2m,msN

21

又因为F，F可看作?，即不大于?的最大整数，所以“〃)=〃+一成立，

故正确；

故②③.

关键点点睛:解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数,

另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数

的关系，从而解决问题.

四、解答题

17.已知全集0=1i,集合4=卜,-3%-4<()},B=[a-l,a+6].

(1)当”=1时，求AcB,(电力B；

⑵若“xeA”是“xe8”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【正确答案】⑴ACB={X|04X<4},(6A)UB={X|X4—1或X“}

(2)-2<«<0

【分析】(1)解不等式炉-3x-4<0可得集合A,将。=1代入解出集合5,根据集合基本运

算即可求得结果；

(2)根据题意可得集合A是集合B的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数a的取

值范围.

【详解】(1)解集合A对应的不等式V-3x-4<0可得(x+l)(x-4)<0,

即A={x|-l<x<4}；Q/A={x|xV-l或x"}

当a=l时，8=[0,7],

所以AcB={x|0Mx<4},

(4，A)UB={X|X<-1BJCX>0).

(2)由“xeA”是的充分不必要条件可得，集合A是集合8的真子集，又

A=1x|-l<x<4],B=[a-l,a+6],

所以1“一丿：7（等号不会同时成立），解得-24。40,

故实数”的取值范围为-24。40.

18.在一个文艺比赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手

打分.下面是两组评委对同一名选手的打分：

小组A4245504749535147

小组B5336714946656258

（1）做出两组评委打分的茎叶图；

（2）每一个小组内评委打分的相似程度是不同的，我们可以用方差来进行刻画.请计算每一

组数据中的方差；

（3）你能根据方差判断出小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？请说明理由.

【正确答案】（1）答案见解析

⑵5；,=453,5,j=112

（3）A组，理由见解析

【分析】（1）根据表格中数据和茎叶图特征即可做出两组评委打分的茎叶图；（2）分别求出

两个小组的平均数，再利用方差公司即可求得两小组的方差；（3）根据方差的实际意义即可

知A组更像是由专业人士组成的.

【详解】（1）利用表中数据即可做出茎叶图如下：

AB

36

79752496

130538

652

71

（2）根据平均数、方差公式计算：

小组A的平均数是丄（42+45+50+47+49+53+51+47）=48,

8

即可得方差42-48）2+（45-48）2+（50-48）2+（47-48）2+（49-48）2+（53-48）2

小组B的平均数是丄(53+36+71+49+46+65+62+58)=55,

8

即可得方差="[(53-55)2+(36-55)2+(71-55)2+(49-55)2+(46-55)2+(65-55)2

+(62-55)2+(58-55)2]=112

即小组A的方差=弓，小组B的方差啜=112.

(3)由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，由(2)可知小组4的方差,

小组8的方差用=112,因而5；<喘，

根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的.

19.平面内三个向量。=(7,5)出=(-3,4),*=(1,2)

(1)求k+26—3c|

(2)求满足〃=的实数〃冬"

(3)若(版+c)〃仅-c),求实数%

【正确答案】(1)-^53；(2)==(3)%=-，.

【分析】(1)利用向量加法的坐标运算得到。+2〃-3c=(-2,7),再求模长即可；

(2)先写成,+的坐标，再根据a="必+松使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结

果；

(3)利用向量平行的关系，坐标运算列关系求出参数即可.

【详解】(1)因为，+%-3c=(7,5)+2(-3,4)-3(1,2)=(-2,7)

所以1+2Z>-3c|=1(-2)+72=屈

(2)由4=7汕+〃<?,得(7,5)=(—3/n+〃,4zn+2〃)

(-3隕+〃=7

所以,。.

[46+2〃=5

解得加二—三9,〃=4一3

(3)hi+c=(7Z+l,5Z+2)

b-c=(-A,2)

因为(ka+c)//仅-c)

所以2(7A+l)=-4(5Z+2)

解得k=$

20.已知函数/(同=2/―4x+a,g(x)=log“x(a＞0且awl),且/⑴=g⑴.

(1)求实数a的值；

⑵设”;/(x),f2=g(x)，G=gT(x)(，3=g(x)的反函数)，当X€(0,l)时，试比较乙，

G，4大小.

【正确答案】(1)2

⑵4＜4＜厶

【分析】(1)利用〃l)=g⑴代入计算可得。=2；(2)由(1)写出小厶，G的表达式，

分别利用函数单调性即可求得其在x«0,l)上的取值，即可比较出大小.

【详解】⑴由/⑴=g⑴可得-2+a=log“l,即-2+a=0,

解得a=2

所以实数。的值为2.

(2)由4=2可得=gf(x)=x2-2x+l=(x-l)2,Z2=^(x)=log2x,

由厶=g(x)的反函数可得G=2*,

当x«0,l)时，根据一元二次函数单调性可知，y=(x-庁在xe(O,l)上单调递减，故其值域

为％e(O,l),

由对数函数y=log?x在xe(O,l)上单调递增，可知与«-8,0),

由指数函数y=2'在xs(O,l)上单调递增，可得与《1,2),

所以，可得，2＜力＜’3・

21.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互

独立.在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累

加并用X表示，如果X的值高于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮,

直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：

23

都在B处投篮.己知甲同学在A处投篮的命中率为在B处投篮的命中率为

（1）若甲同学选择方案1,求他测试结束后所得总分X的所有可能的取值以及相应的概率;

（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.

【正确答案】（1）答案见解析；（2）甲同学选择方案2通过测试的可能性更大，理由见解析.

【分析】（1）确定甲同学在4处投中为事件A,在8处第，次投中为事件月（i=l,2）,根据

题意知P（A）=:,尸（砲=：,总分X的取值为0,2,3,4,利用概率知识求解相应的概率;

（2）设甲同学选择方案1通过测试的概率为《，选择方案2通过测试的概率为6，利用概

率公式得出4，尸2，比较即可.

【详解】解：（1）设甲同学在A处投中为事件A,在B处第i次投中为事件耳［=1,2）,

由已知P（A）=y,P（A）=1,

P⑻=；（E，2）,尸闾=；（i=l,2）,

X的取值为0,2,3,4,

贝I］尸（X=0）=P（.K瓦）=P（W）P（瓦）P（瓦）=|x；x；=

P（X=2）=P（WB也）+P（碗j=|x泊+|x鸿噌嗚

/------\21121

尸（X=3）=P（4与8,）=—x—x-=——二——，

'）\「丿5448040

尸（X=4）=尸（.B也而，

P（X=5）=尸（A8J+P（随约）=泻+|义衿嗡4

（2）甲同学选择方案1通过测试的概率为4,

27357

则匕=P（X=4）+P（X=5）=正+&=诟，

oUoov

选择方案2通过测试的概率为乙，在B处第i次投中为事件耳（i=l,2）,由己知

P（B,）=%』，2,3）,P（瓦）=；（』,2,3）,

2=P(4BJ+P(旦河Bj+P(瓦B/J

333131335427

=—X——|——X—X——|——X—X—=——=,

444444446432

因为鸟>4,所以甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.

22.一般地，设函数>=/(力的定义城为。，如果对。内的任意一个爲都有-xwO,且

/(x),/(-力=1，则称为倒函数.请根据上述定义回答下列问题：

1_1_V*

⑴已知〃x)=2，，g(x)=产,判断y=/