小学数学 燕尾定理 专项训练

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形48C中，AD,BE,C尸相交于同一点。，那么SMBO：SMCO=BD:DC.

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为A48。和A4co的形状很象燕子的尾巴，所以这

个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何

一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点,请你说明：S,:S4=S2:S3=S£):DC

【解析】三角形与三角形同高，分别以8。、OC为底，

所以有£:$4=8。：。。；三角形与三角形同高，S,:S2=ED:EA：三角形/CE与三角形

CED同高，54:S}=ED:EA,所以鸟：S&=S?耳；综上可得百：邑=邑@=8O:OC.

【例1】如右图，三角形48。中，BD:DC=4:9,CE:EA=4:3,求AF:FB.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

［解析】根据燕尾定理得S4A0B:S&A0C=Bi):CZ)=4:9=12:27

S&AOB:SABOC=4E:CE=3:4=12:16

(都有△/OB的面积要统一，所以找最小公倍数)

所以S&AOC-^ASOC=27:16=AF:FB

【点评】本题关键是把△408的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【答案】27:16

【巩固】如右图，三角形/8C中，BD:DC=3:4,AE:CE=5:6,求/尸：用.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】根据燕尾定理得%:S△松=80:00=3:4=15:20

S&AOB;S&B0c=AE:C£=5:6=15:18

（都有△/O8的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以：5ABOr=20:18=10:9=4尸：/8

【答案】10:9

【巩固】如图，BD:DC=2:3,4E:CE=5:3,则4F:BF=

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【解析】根据燕尾定理有:S^ACC=2:3=10:15,%械；:S&BCG=5:3=10:6,所以

S&ACG：%CG=15：6=5:2=/尸:8尸

【答案】5:2

【巩固】如右图，三角形/8C中，BD:DC=2:3,EA:CE=5:4,求，F:FB.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】根据燕尾定理得：S。"=80:8=2:3=10:15

S^AOB-S^BOC=AE：C£=5:4=10:8

（都有△NOB的面积要统一,所以找最小公倍数）

所以%IOC:SABOC=15:8=/尸：尸8

【点评】本题关键是把△ZOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【答案】15:8

【例2】如图，三角形/BC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形/8C的面积是多少?

2

A

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】设由题意知8。：。。=4:3根据燕尾定理，得

33

=x

S^ABOSAACO=SMBDO-S^co。=4：3，所以S^AC0-(84+x)=63+—x,

3

再根据:Sgeo=SZOE:SMOE,列方程(84+x):(40+30)=(63+-35):35解得x=56

Sa：35=(56+84):(40+30),所以S^AOE=70

所以三角形｛8C的面积是84+40+30+35+56+70=315

【答案】315

【例31如图，三角形力8c的面积是1,E是/C的中点，点。在8C上，且8O:OC=1:2,4D与BE交

于点F.则四边形。比C的面积等于.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级,初赛

【解析】方法一：连接CF,

根据燕尾定理，口及BD1S4ABF=AE=]

S△ACFDC2SMBFEC

［殳S&BDF=1份，贝।S&DCF=2份，ABF=3份,S&AEF=SNEFC=3%,如图所标

=

所以SDCEF=正

方法二：连接DE,由题目条件可得到S△谢

Q_1Q_1_1做RBF_S「

△*DL5s&ADC_5x-S^ABC--,FE~S2

ADE1

111

。。_c_111c

S^DEF=2XS^DEB=2X寸SgEC=2X]X-xS^ABC=

12'

所以则四边形。尸EC的面积等于上.

而S&CDE=§*5*S4ABe

312

【答案】-

12

【巩固】如图，已知8。=。。，EC=2AE9三角形48。的面积是30,求阴影部分面积.

3

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它

进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

（法一）连接C尸，因为BD=DC,EC=2AE,三角形/BC的面积是30,

所以S△彳4ABC=10,S&ABD=]S&ABC=匕.

根据燕尾定理，近纥=W互=_1,殳皿=£2=1,

S4CBFEC2SMCFCD

所以S&ABF=丛ABC=7,5，=15—7.5=7.5,

所以阴影部分面积是30—10—7.5=12.5.

(法二)连接。E,由题目条件可得到SDABE=；S/=1°，

==X

­=10,所以=S板二1

4BD匕cdbtA-crZ■17LLVCI7

223FDS^BDE1

XX

S^DEF~3义SADEA=3义SMDC~]X~~^4BC=2.5,

21

而Sg：=-x—xS八­二10.所以阴影部分的面积为12.5.

【答案】12.5

【巩固】如图，三角形Z8C的面积是200cm2,E在4C上，点。在8c上，且4E:EC=3:5,8。：OC=2:3,

AD与BE交于点F.则四边形OFEC的面积等于.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【解析】连接CF,

根据燕尾定理，区处=些=2=9,2维=任=3=9

S..CFDC39S.caFEC510

5453

设S△加=6份，则=9份，&及丁=10份，S&EFc=9xqF=q册,S.zv=10x丁'=6份，

3+33Z+J

4545

所以SF£=200+(6+9+10)x(—+6)=8x(—+6)=93(cm2)

0c88

【答案】93

【巩固】如图，已知8O=3OC,EC=1AE,BE与C。相交于点。，则。被分成的4部分面积各占△RBC

面积的几分之几？

4

AA

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】连接C。,设以功=1份，则其他部分的面积如图所示，所以5八.「=1+2+9+18=30份，所以四部

分按从小到大各占面积的让竺132__3_13.5_9

303060?30-i0，^0~~20

9

【答案】—

20

【巩固】如图所示，在△/8C中，CP=；CB,CQ=^CA,8。与/P相交于点X,若△Z8C的面积为6,

则A4BX的面积等于.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】杳港圣公会数学竞赛

【解析】方法一：连接P0.

由于CP=3cB,CQ=—CA,所以S&AB2=§S“BC'S.BPQ=^^BCQ=^^ABC•

21

7

由蝴蝶定理知，AX\XP=SA.4D(7ADR/P(7)=_3SATAI,OC:-$SAABC=4:1,

所以S.ABX=3邑，"=；S“BC=|S“BC=36=2.4.

方法二：连接CX设打“x=1份，根据燕尾定理标出其他部分面积，

所以S=BX=6+(1+1+4+4)X4=2.4

【答案】2.4

【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3,7,7,

则阴影四边形的面积是多少？

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形.

设三角形为/8C,BE8CD交于F,则BF=FE,再连结。E.

5

所以三角形。E尸的面积为3.设三南形4DE的面积为x,

则巾(3+3)=/。：。8=卜+10):10,所以x=15,四边形的面积为18.

方法二：设S△的•=X,根据燕尾定理打攻：SABFC=$△.£：S&EFC，得到S/MEF=X+3,再根据向右下

飞的燕子，有(x+3+7):7=x:3,解得x=7.5四边形的面积为7.5+7.5+3=18

【答案】18

【巩固】如图，三角形/8C的面积是1,BD=2DC,CE=2AE,与8E相交于点尸，请写出这4部分

的面积各是多少？

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】连接C尸，设$△，£>=1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以

G_>C_6_2_8_2+4_2

Q4AEF~五，"ABF一天一,，°&BDF~天，»FDCE~一,

2

【答案】-

7

【巩固】如图，E在/C上，。在3c上，且NE:EC=2:3,8O:Z)C=1:2,4D与BE交于点F.四边形OFEC

的面积等于22cm。则三角形/8C的面积________.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【解析】连接CF,根据燕尾定理，=—=-,

SycFDC2S&CBFEC3

、2

设S^BDF=1份,则S&DCF=2份,S〉ABF=2份,S^AFC=4份,S4/所=4X5方=1.6

3

份，S&EFC=4x—―-=2.4份，如图所标，所以SEFDC=2+2.4=4.4份，SAABC=2+3+4=9份

2

所以SAABC=22+4.4X9=45(cm)

【答案】45

【巩固】三角形43。中，。是直角，已知4C=2,CQ=2,CB=3,AM=BM,那么三角形(阴影

部分)的面积为多少？

6

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】连接BN.

△/8C的面积为3x2+2=3

根据燕尾定理，/XACN:/\ABN=CD:BD=2-.\;

同理4CBN:△ON=BM-.AM=\.\

设A4MN面积为1份,则的面积也是1份，所以△/N8的面积是1+1=2份，而△/CN的

面积就是2x2=4份，ZkCBN也是4份，这样△NBC的面积为4+4+1+1=10份，所以AAMN的

面积为3+10x1=0.3.

【答案】0.3

【例4】如图所示，在△Z8C中，BE:EC=3:\,。是/E的中点，那么/尸：/C=.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【解析】连接CO.

由于S&ABD'=1：1，S^BED-S4sc。=3：4,所以S&ABD:=3：4

根据燕尾定理，AF:FC=SMBD：SM8=3：4.

【答案】3:4

【巩固】在A/48c中，BD:DC=3:2,ZE:EC=3:1,求08:OE=?

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】连接OC.

3

因为8。：。。=3:2,根据燕尾定理，S^OB-.S^OC=BD-.BC=3-.2,即^

4.334

又/E:EC=3:1,所以%0c=.则S1VlO.=10c=5'=25Azi,

所以08:OE=S^OB:SMOE=2:1.

【答案】2:1

【巩固】在A/i8c中，BD-.DC=2.AE:EC=\:3,^OB:OE=2

7

A

E

BDC

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积

比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比.本题的图形一看

就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接。C.

连接0c.

因为8Z):OC=2:1,根据燕尾定理，SMOB：SMOC=BD:BC=2:1，即5Am=2%^；

又AE:EC=1:3,所以0c=-则SMOB=2SM0C=2X45^0£=^SM0E,

所以08:0£=50。8：5.。£=8:1.

【答案】8:1

［例5］如图9,三角形BAC的面积是1,E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2,AD与BE交

于点F,则四边形DEFC的面积等于。

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛，第二十题，6分

【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上式比例的关系，由此我们初步可以

判断这道题不应该通过面积公式求面积。又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它

进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

方法一:连接CF,因为AE=EC,DC=2BD,三角形ASC的面积是1,

所以S.ABD='“BC=g，S“B£=g。

根据燕尾定理，=—=-,^^=—=1,

S“CFDC2S.CBFEC

8

所以S0胪=；S"BC=1，S.AFEm'

所以阴影部分的面积分面积是i-」-L=2。

3412

方法二：连接DE,由题目条件可得到妆=g,

S“DE=5sMpc=不xRXS.XXX=-X-X-XS,A8c=—,

7115

而Sc”=*xLxSABC」C所以阴影部分的面积为3。

tA-Ut.32anoC3]2

【答案】—

12

【例6】如图1,\ABC中，点E在4B上,点尸在ZC上，8斤与CE相交于点尸，如果

S四边必=S/iBEP=SACFP=4，贝!ISABPC=---------

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【解析】连接EF,4P.

根据题意，不难得出EF//8C,那么CF:FA=BE:EA;

而CF:FA=S&BPC:Sapp*；BE:EA=SABPC:SMPC;

所以，所以，4尸平分四边形/EPP，那么8£:E/=2:L

Sgpc-=BE:EA=2:1,5.0=12

【答案】12

【例7】如图4,三角形田地中有两条小路/E和C产，交叉处为O,张大伯常走这两条小路，他知道。尸=

DC,S.AD=2DE.则两块田地NC尸和CF5的面积比是.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，复赛，第十一题，5分

【解析】方法一、4CF和CF8为同高三角形，所以面积比等于底边比4尸:尸8。

过尸作8C的平行线，交AE于G,则因为。尸=QC,所以三南形CED和FGO全等，GD=DE。又因

为AD=2DE,所以。和G是/E的三等分点，所以4F:FB=4G:GE=k2。

方法一、连接8。,设5\c£o=l（份），则履“0>=$△<««='=2。

设3=x,s­=y，则有匕;L，解得｛；=：，

9

所以S〉ACF:S^CFB=(2+2):(4+3+1)=1:2。

【答案】1:2

【例8］如图，长方形488的面积是2平方厘米，EC=IDE,厂是。G的中点.阴影部分的面积是多少

平方厘米？

N

B@C

【考点】燕尾定理【；隹度】4星【题型】解答

—S^=2平方厘米.

【解析】设5谶环=1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影=BCD

12区B8］2

【答案】-

12

【例9］如图所示，在四边形中，AB=3BE,AD=3AF,四边形/£。尸的面积是12,那么平行四

边形BODC的面积为________.

BB

cC

【考点】燕尾定理【难度】4星【题型】填空

【解析】连接NO,8,根据燕尾定理S△的：S△的=AF:FD=\:2,S△AOD-S2。口=HE:BE=2:1,设SABEO=1,

则其他图形面积，如图所标，所以=2邑£8=2x12二24.

【答案】24

【例10］/8CD是边长为12厘米的正方形，E、尸分别是/8、8C边的中点，AF与CE交于G,则四边

形AGCD的面积是_________平方厘米.

DCD______________C

AEBAEB

【考点】燕尾定理【难度】4星【题型】填空

【解析】连接4C、G8,设份，根据燕尾定理得葭g=1份，另,3“=1份，则S正方形=0+14-0x2=6

2

份，S.ncc=3+1=4^,所以=12?+6x4=96(cm)

【答案】96

【例11］如图，正方形Z8C。的面积是120平方厘米，E是的中点,尸是3c的中点，四边形BGHF的

面积是_____平方厘米.

10

DD

【考点】燕尾定理【难度】4星【题型】填空

【解析】连接,根据沙漏模型得8G:GO=1:2,设与B“c=1份，根据燕尾定理工的=2份，2份,

1?77

因此S正方形=(l+2+2)x2=10份，SBFHG所以S/HG=120+10x—=14(平方厘米).

'236'6

【答案】14

【例12］如图，四边形是矩形，E、尸分别是48、8c上的点，且CF=-BC,4F与

34

CE相交于G,若矩形N8CA的面积为120,则A4EG与ACGF的面积之和为.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】清华附中，入学测试题

【解析】（法1）如图，过/做CE的平行线交于"，则EH:HB=CF:FB=1:3,

所以4E=LEB=2EH,AG:GF=AE-.EH=2,FpAG=2GF,

2

12231

所以SmEG=§*§XSMBF=-X-X-5皿D=10.

22311

SLEG=-3HF=-3x-4EC=-2EC，,故CG=GE7,则S△、[r1■“//*=Ix2-xS^y=5.

所以两三角形面积之和为10+5=15.

（法2）如上右图，连接ZC、BG.

根据燕尾定理，:SMCG=BF:CF=3:1,SABCG:SMCG=BE:AE=2:1,

而SMBCH^SDABCD=60,

3121

5X

所以S.SG上3,7，^C=T60=30,S=--S^c=，、6°=2°，

JIaIJL乙ABCGJI/IxJ

=

则S'AEG=3sA=10,S^CFG=^^ASCG5'

所以两个三角形的面积之和为15.

【答案】15

【例13】正六边形4，4，4，4，4，4的面积是2009平方厘米，q,B2,鸟，4,冬，纥分别是正

六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是

______平方厘米.

11

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，六年级，初赛

【解析】（方法一）因为空白的面积等于△AHG面积的6倍，所以关键求△44G的面积，根据燕尾定理可

33I1

得Sym=^sw=-x-x-s^,但在△444用燕尾定理时，需要知道4。,的长度比，

连接44,44，4G，过纥作44的平行线，交44于E，根据沙漏模型得4。=DE，再根据金字塔

模型得A、E=A3E，因此4。：4。=1：3，在△444中，设=1份，则必=3份,S^Afi=3

33111

份，所以S△.c==yx-x5s正六边彩=正六边形,

14

因此S阴影=（1-^x6）S正六边形=,x2009=1148（平方厘米）

（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正

Q

六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为2x2009=1148（平

14

方厘米）

【答案】1148

【例14］已知四边形"BCD,CHFG为正方形，S甲：S乙=1:8,“与人是两个正方形的边长，求a:b=?

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目

条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，

那么我们就用燕尾定理来求解

12

连接E。、AF,

根据域尾定理：S&AOE：SAAOF=a：b>SAAOF：S&EOF=。：力

所以s^A0E-s^0F=a2-h2'OM±AE.ONVEF,

"：AE=EF

：.OM:ON=a2:b2

S甲:S乙=/：/=1：8

a:b=1:2

【答案】1:2

【例15】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积

是.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的

字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个

比例关系：

2：.影=。+3）：4,解得％彭=2.

方法二：回顾下燕尾定理，有2:（S阴影+4）=1:3,解得$腾=2.

【答案】2

【例16］如右图，三角形N8C中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形/8C的面积是1,则三角

形/8E的面积为,三角形/GE的面积为,三角形GH/的面积为.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，六年级

【分析】连接、BI、CG.

222

由于CE:/E=3:2,所以NE=-5/C,故乂IS,/i柄DC=5tJ=uiDv.-一5；

根据燕尾定理，SMCG：SMBG=CD:BD=2:3，S^BCG:SMBG=CE:EA=3:2所以

49

SWG'SMBG：SA5CG=4：6：9,则S^CG=历,S&BCG=历；

ic2c=2x4=8

丹口4SMGE=1sA4Gc~~~；

9

同样分析可得几心=n，则EG:E〃=S,G：S“W=4：9,EG:EB=S^CG:SMCB=4:\9,所以

EG:GH:HB=4:5:10,同样分析可得ZG:G/:/Q=10:5:4,

的5c521。5。511

所以^/£=-5^=-X?=-,SA0W=-SzW£=-x-=-.

【答案】—

19

13

【巩固】如右图，三角形/8C中，/尸：F8=8O:DC=CE:/E=3:2,且三角形GH/的面积是1,求三角形

/8C的面积.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】连接8G,SXGC=6份

根据燕尾定理，S,rr:SARrr=AF:FB=3:2=6:4,,sr:5A.rr=BD:DC=3:2=9:6

得s△浜=4（份），S△诙=9（份），则%..=19（份），因此^^=白，

同理连接力/、得鼠也=9,二。=9,

s△诙19S：19

所亡以乙S4Z\GCHHiI=-1-9-—--6-—--6-—--6=_1

s△布1919

三角形G///的面积是1,所以三角形/8C的面积是19

【答案】19

【巩固】如图，\ABC中8。=2DA,CE=2EB,AF=2FC,那么A48C的面积是阴影三角形面积的

倍.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，初赛，六年级

【分析】如图，连接4.

根据燕尾定理，S^c/:SMC/=BD:AD=2:\S^ci:SMBI=CF:AF=\:2,

所以,SMCI:S^gCI:SMBI=1:2:4,

22

月卜么，MB

RS“ABDCVI/=-]--2---4-S^AHBDCC=­7SZViiJCC”

2

同理可知A4CG和MBH的面积也都等于A48C面积的一，所以阴影三角形的面积等于A48C面积

7

21

的l—±x3=—,所以A48C的面积是阴影三角形面积的7倍.

77

【答案】7

nr型=理=二求△G”/的面积的佶

【巩固】如图在中，——~EC"~FA~2^△力8C的面积怛

DB

14

AA

EE

BDCBDC

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】连接BG,设S^BGC=1份，根据燕尾定理S色AGC:S&BGC=AF:FB=2A,S.:S^AGC=BD:DC=2:1,

得S”;c=2（份），S=4（份），则以由=7（份），因此也，同理连接4、CH得

3AABC7

S/X.48〃_2S_2

S^ABC7S^ABC7

所以生也=2z2±2=L

S4ABe77

【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，

但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们

有对称法作辅助线.

【答案】-

7

名二2=理=1△G"/的面积的

【巩固】如图在△48C中,

DBECFA3个△48C的面积

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

［解析］连接8G,设5,优=1份，根据燕尾定理S^AGC:SABCC=AF:FB=3:\,S^ABC:SAAGC=BD:DC=3:\,

得也cc=3（份），S△用；=9（份），则S“c=13（份），因此白”=白，同理连接4、CH得

,△ABCI，

S^ABH=］3S^BIC_

S&ABCS&ABC13

所以S„=13-3-3-3=$

S&ABC1313

4

【答案】—

13

【巩固】如右图，三角形形C中，4尸：尸8=8。：。。=。£:孤=4:3,且三角形/3。的面积是74,求角形6〃/

的面积.

15

AA

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】连接BG,S/=12份

根据燕尾定理，S4-.J/.icWc-.SO.0RVCVC=AF:FB=/ID4U:3=Q/I1UL2:9,S211c:S..rr=8。：DC=4:3=16:12

得%cc=9（份），5=凶=16（份），则%9+12+16=37（份），因此考工=［，

,△ABC3/

同理连接4、CH得江皿上，屋次=在,

S4ABe37S4ABe37

所d7以S&△G.H，I/=-3--7---1--2----1--2----1--2-=一1

SAABC3737

三角形/8C的面积是74,所以三角形GH/的面积是74x±=2

【答案】2

【例17】三角形N8C的面积为15平方厘米，。为N8中点，E为/C中点，F为BC中点,求阴影部分的面

积.

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

［解析］令BE与CD的交点为M,CD与EF的交点为N,连接AM,BN.

在△48C中，根据燕尾定理，5二3：SABCM=4E:CE=1:1,S^ACM:S^BCM=AD:BD=1:1,

==

所以S^ABM=SAACMS&BCNgSMBC

由于S捻EM=；S^MC=S,所以:"E=2:1

在△E3C中，根据燕尾定理，sABEN.•SACEN=BF:CF=\:\SMEN：sMBN=ME:MB=\:2

设%c£N=l（份），则=1（份），S2BCN=?（"》）'S43C£=4（份），

=

所以S&BCN=7s>BCE=二SAABC，^BNE~~7^^BCE,因为励/:ME=2：1/为BC中点,

244o

X

所以S&BMN=5s△BN£=~~^^ABC=^ABC>S&BFN~^,BNC=^BC，

所以%=6+{K曲=3△3域x15=3.125（平方厘米）

【答案】3.125

【例18］如右图，△48C中，G是ZC的中点，D、E、厂是8c边上的四等分点，4D与BG交于M,AF

与8G交于N,已知△/B历的面积比四边形尸CGN的面积大7.2平方厘米，则△Z8C的面积是多

16

少平方厘米？

【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答

【解析】连接CM、CN.

根据燕尾定理,S&ABM-SMBM=NG：GC=1:1,SAABM-^ACM=BD：CD=1:3,所以S^ABM=《S△月BC;

再根据燕尾定理,S^ABN:S^CBN=AG:GC=1:1,所以SAABN：SAFBN=SMBN：SMBN=4：3，所以

AN:NF=4:3,那么|=；x£],所以$s=(l闻%FC=*SMC=£SA.

根据题意，有△尼-焉SMBC=7.2,可得5Ale=336(平方厘米)

J2o

【答案】336

【巩固】