解析函数的级数表示法

关于解析函数的级数表示法12复数列收敛的条件那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证第2页,共108页，2024年2月25日，星期天3从而有所以同理反之,如果第3页,共108页，2024年2月25日，星期天4从而有定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.[证毕]第4页,共108页，2024年2月25日，星期天5例4.1

判别下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限：解：先分解，然后分别考察和的极限，再确定数列的收敛性。（1）第5页,共108页，2024年2月25日，星期天6（2）（3）故原数列收敛于零。（4）发散。第6页,共108页，2024年2月25日，星期天7例4.2

证明：证：令，有（1）时，，由夹逼定理，可得。第7页,共108页，2024年2月25日，星期天8（2）时，，因为和不同时为零，所以（3）时，，（4），，则，，因为与均不存在，所以不存在。第8页,共108页，2024年2月25日，星期天94.1.2

级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.级数最前面n

项的和称为级数的部分和.部分和第9页,共108页，2024年2月25日，星期天10收敛与发散说明:

与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:第10页,共108页，2024年2月25日，星期天11定理4.1.3（柯西收敛准则）复级数(4.1）收敛的充要条件为：对任给的，存在正整数，当且为任何正整数时第11页,共108页，2024年2月25日，星期天122.复数项级数收敛的条件证因为定理二第12页,共108页，2024年2月25日，星期天13说明复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二)第13页,共108页，2024年2月25日，星期天14解所以原级数发散.课堂练习第14页,共108页，2024年2月25日，星期天15必要条件重要结论:第15页,共108页，2024年2月25日，星期天16不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.第16页,共108页，2024年2月25日，星期天173.绝对收敛与条件收敛注意应用正项级数的审敛法则判定.定理三第17页,共108页，2024年2月25日，星期天18证由于而根据实数项级数的比较准则,知第18页,共108页，2024年2月25日，星期天19由定理二可得[证毕]第19页,共108页，2024年2月25日，星期天20非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.说明如果

收敛,那末称级数

为绝对收敛.定义第20页,共108页，2024年2月25日，星期天21所以综上:第21页,共108页，2024年2月25日，星期天22例4.3

判断下列级数是否收敛：（1）；（2）；解：将级数化为，由两个实级数的敛散性，确定的收敛性。（1）可化为，发散。（2）可化为，收敛。第22页,共108页，2024年2月25日，星期天23例4.4

下列级数是否收敛？是否绝对收敛？解：（1）可化为，发散。（2）因，故原级数绝对收敛。第23页,共108页，2024年2月25日，星期天24（3）条件收敛，而收敛，故原级数不是绝对收敛。（4）故原级数发散。第24页,共108页，2024年2月25日，星期天25（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其和。（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。定理4.4第25页,共108页，2024年2月25日，星期天264.2幂级数4.2.1复变函数项级数设为一复变函数列，其中各项在区域D内有定义.表达式

(4.2)称为复变函数项级数，记作.级数的最前面n项的和称为级数的部分和.第26页,共108页，2024年2月25日，星期天27和函数如果对于D内的某一点，极限存在，则称级数在收敛，称为它的和。如果级数在D内处处收敛，则其和是D内的一个和函数：即对任意的，以及给定的，存在正整数，使当时，有第27页,共108页，2024年2月25日，星期天28一致收敛性定义4.2.1

对于级数(4.2），如果在点集D上有一个函数，使对任意给定的，存在正整数，当时，对一切的都有则称级数(4.2）在D上一致收敛于。定理4.2.1(柯西一致收敛准则）级数(4.2)在点集D上一致收敛于某函数的充要条件是：任给存在正整数，使当时，对一切，都有第28页,共108页，2024年2月25日，星期天29一致收敛的充分条件（优级数准则）：如果有正数列，使对一切都有且正项级数收敛，则在点集D上绝对收敛且一致收敛。例4.5

级数在闭圆上一致收敛。第29页,共108页，2024年2月25日，星期天30定理4.2.2

设级数的各项在点集E上连续，并且在C上一致收敛于，则和函数也在E上连续.定理4.2.3

设级数的各项在曲线C上连续，并且在C上一致收敛于，则沿C可以逐项积分：定义4.2.2

设函数定义于区域D内，若级数在D内任意有界闭集上一致收敛，则称此级数在D内内闭一致收敛。第30页,共108页，2024年2月25日，星期天31定理4.2.4(维尔斯特拉斯定理）设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数：则（1）函数在区域D内解析；（2）。

（3）在D内内闭一致收敛于。

第31页,共108页，2024年2月25日，星期天324.2.2幂级数或称为幂级数。阿贝尔（Abel)定理如果级数在收敛，那么对满足的，级数必绝对收敛，如果在级数发散，那么满足的，级数必发散。第32页,共108页，2024年2月25日，星期天33证：第33页,共108页，2024年2月25日，星期天34第34页,共108页，2024年2月25日，星期天35收敛圆与收敛半径一个幂级数的收敛情况，可分为以下几类：第35页,共108页，2024年2月25日，星期天36（1）在全平面内处处收敛；（2）仅在原点收敛；（3）在以原点为中心的圆周内，级数绝对收敛；在外，级数发散，称为收敛圆，的半径称为收敛半径。收敛圆周上级数的敛散性，根据具体情况分析确定。例1

求幂级数的收敛范围与和函数。第36页,共108页，2024年2月25日，星期天37解：级数的部分和为当时，有；从而有当时，由于时，级数一般项不趋于零，故级数发散。由阿贝尔定理知级数的收敛范围为一单位圆域，在此圆域内，级数不仅收敛，而且绝对收敛，收敛半径为1，并有第37页,共108页，2024年2月25日，星期天38幂级数收敛半径的求法定理2（比值法）如果，则收敛半径。第38页,共108页，2024年2月25日，星期天39第39页,共108页，2024年2月25日，星期天40第40页,共108页，2024年2月25日，星期天41定理3（根值法）如果，则收敛半径。例2

求下列幂级数的收敛半径：1）（并讨论在收敛圆周上的情形）；2）（并讨论时的情形）；3）。第41页,共108页，2024年2月25日，星期天42解：1）R=1；在圆周上，级数收敛，从而原级数绝对收敛。2）R=1；当时，原级数为，收敛；当时，原级数为，发散。3）因为，所以据比值法可得收敛半径。第42页,共108页，2024年2月25日，星期天43幂级数的运算和性质1）设则其中。2）如果当时，；又在第43页,共108页，2024年2月25日，星期天44

时，解析且满足，则当时，有定理4

设幂级数的收敛半径为，那么1）它的和函数，即是收敛圆：内的解析函数。2）在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即第44页,共108页，2024年2月25日，星期天453）在收敛圆内可以逐项积分，即或。例3

设有幂级数与，求的收敛半径。第45页,共108页，2024年2月25日，星期天46解：容易验证，与的收敛半径都等于1，但级数的收敛半径。注意使成立的收敛圆域仍应为，不能扩大。例4

把函数表示成形如的幂级数，其中与是互不相等的复常数。第46页,共108页，2024年2月25日，星期天47第47页,共108页，2024年2月25日，星期天48第48页,共108页，2024年2月25日，星期天494.3解析函数的泰勒展开式本节主要内容：1.泰勒定理、泰勒级数的相关概念；2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况；3.初等函数的泰勒展开法（直接法、间接法）第49页,共108页，2024年2月25日，星期天504.3.1泰勒定理定理4.3.1（泰勒定理）设在区域D内解析，为内的一点，为到内边界上各点的最短距离，当时，成立，其中。上式称为在的泰勒展开式。等式右边称为在的泰勒级数。当时，级数称为马克劳林级数。第50页,共108页，2024年2月25日，星期天51证明要点：由柯西积分公式，有然后利用已知幂级数展开式将被积式展开成的幂级数即得。定理4.3.2

函数在区域D内解析的充要条件是在D内任一点的邻域内可展开成的幂级数，即泰勒级数。第51页,共108页，2024年2月25日，星期天524.3.2幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况定理4.3.3

如果幂级数的收敛半径，且则在收敛圆周上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在C上处处解析。由以上定理可得一确定收敛半径R的方法：第52页,共108页，2024年2月25日，星期天53如果在解析，则使在的泰勒展开式成立的圆域的半径就等于从到的距最近一个奇点之间的距离，即。任何一个解析函数在一点的泰勒级数是唯一的。4.3.3一些初等函数的泰勒展开式直接算出各阶导数后利用泰勒定理求得函数的泰勒级数的方法称为直接展开法。借助已知函数展开式，利用幂级数的运算性质和分析性质求得函数的泰勒级数的方法称为间接展开法。第53页,共108页，2024年2月25日，星期天54常用的幂级数展开式：第54页,共108页，2024年2月25日，星期天55其中是指主值，是复数。第55页,共108页，2024年2月25日，星期天56例1

求下列函数在的泰勒展开式。解：（1）因为在全平面内解析，所以又第56页,共108页，2024年2月25日，星期天57故在的泰勒展开式为（2）在从－1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的，－1是它的一个奇点，所以它在内可以展开成的幂级数。第57页,共108页，2024年2月25日，星期天58由两边积分可得（3）函数有一奇点，而在内处处解析，故可在内展开成的幂级数，由两边逐项求导，可得第58页,共108页，2024年2月25日，星期天59例2

将分别展开为和的幂级数，并求出收敛半径。解：展开为的幂级数，可得由，可得收敛半径为。展开为的幂级数，可得第59页,共108页，2024年2月25日，星期天60由，可得收敛半径为。练习：（1）将在展开为泰勒级数。（2）将展开为的泰勒级数。答案：第60页,共108页，2024年2月25日，星期天61例3

求幂函数（为复数）的主值：在处的泰勒展开式。第61页,共108页，2024年2月25日，星期天62解：法1：待定系数法。对求导可得，设代入上式，并注意到，比较两边系数可得所求展开式为第62页,共108页，2024年2月25日，星期天63法2：设，则，从而，两边求导，得继续求导，可得令，得，从而可得展开式如法1中所示。第63页,共108页，2024年2月25日，星期天64定义4.4.1

设f(z)在解析区域D内一点a的值为零,则a为解析函数f(z)的零点.4.4解析函数零点的孤立性及唯一性4.4.1解析函数零点的孤立性如果在|z-a|<R内,解析函数f(z)不恒为零,我们将它在点a展成幂级数,此时,幂级数的系数不必全为零.故必有一正数m(m≥1),使得合乎上述条件的m称为零点a的级,a成称f(z)的m级零点.特别是当m=1时,a也称为f(z)的简单零点.第64页,共108页，2024年2月25日，星期天65定理4.17

不恒为零的解析函数f(z)以a为m级零点的充要条件为:其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且上式是具有m阶零点a的解析函数的解析表达式。例4.4.1

考察函数在原点z=0的性质。例4.4.2

求的全部零点，并指出它们的阶。解：由知z=0为的三阶零点。其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且上式是具有m阶零点a的解析函数的解析表达式。例4.4.1

考察函数在原点z=0的性质。例4.4.1

考察函数解：由知z=0为的三阶零点。其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且例4.4.1

考察函数在原点z=0的性质。例4.4.1

考察函数例4.4.1

考察函数例4.4.1

考察函数在原点z=0的性质。例4.4.1

考察函数其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且上式是具有m阶零点a的解析函数的解析表达式。第65页,共108页，2024年2月25日，星期天66解：在z平面上解析，由可知为在z平面上的全部零点。又由可知都是在z平面上的二阶零点。第66页,共108页，2024年2月25日，星期天67一个实变可微函数的零点不一定是孤立的，例如：都是它的零点。因故不是的孤立零点。但在复变函数中，我们有下述定理第67页,共108页，2024年2月25日，星期天68定理4.18

如在|z-a|<R内解析的函数f(z)不恒为零,a为其零点,则必有a的一个邻域,使得f(z)在其中无异于a的零点.(简单来说就是,不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.)

证设a为f(z)的m级零点,于是,由定理(4.17)其中在点a的邻域|z-a|<R内解析,且从而在点a连续.于是由例1.28知存在一邻域|z-a|<r使得于其中恒不为零.故f(z)在其中无异于a的其它零点.第68页,共108页，2024年2月25日，星期天69推论4.19

设(1)f(z)在邻域K:|z-a|<R内解析;(2)在K内有f(z)的一列零点收敛于a,则f(z)在K内必恒为零.证：因为f(z)在点a连续,且,让n趋于无穷取极限,即得f(a)=0.故a是一个非孤立的零点.由定理4.18知f(z)在K内恒为零.定理4.20

设(1)函数与在区域D内解析;(2)D内一个收敛于a∈D的点列，在其上与等值,则和在D内恒等.证：令我们只须证明f(z)在D内恒为零就行了.4.4.2唯一性定理第69页,共108页，2024年2月25日，星期天70由假设知f(z)在D内解析,且在D内有一系列零点收敛于a∈D.如果D本身就是以a为心的圆,或D就是整个z平面,则由推论4.19,即知.定理就证明了.一般情况下,可用所谓圆链法来证明.K0a0=aa1K1a2LKt-1at-1atKtan=bD图4.2设b是D内任意固定的点(图4.2).在D内可作一折线L连接a及b,以d表示L与边界间的最短距离(见第三章定理3.3注,d>0).在L上依次取一串点,使相邻两点间的距离小于定数R(0<R<d).显然,由推论4.19,在圆内.在圆又重复推论4.19,即知内.这样继续下去,第70页,共108页，2024年2月25日，星期天71直到最后一个含有点b为止,在该圆内,特别说来,f(b)=0.因为b是D内任意的点,故证明了D内.推论4.21

设在区域D内解析的函数及在D内的某一子区域(或一小段弧)相等,则它们在D内恒等.推论4.22

一切在实轴上成立的恒等式(例如等等),在z平面上也成立,只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的.定理4.23(最大模原理)

设f(z)在区域D内解析,则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.第71页,共108页，2024年2月25日，星期天72一、问题的引入问题1:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛4.5洛朗级数第72页,共108页，2024年2月25日，星期天73收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R第73页,共108页，2024年2月25日，星期天74结论:.常见的特殊圆环域:...第74页,共108页，2024年2月25日，星期天75例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而2.问题2:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?第75页,共108页，2024年2月25日，星期天76所以即内可以展开成级数.也可以展开成级数：第76页,共108页，2024年2月25日，星期天77二、洛朗级数的概念定理C为圆环域内绕

的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.第77页,共108页，2024年2月25日，星期天78证对于第一个积分:Rr.z..第78页,共108页，2024年2月25日，星期天79对于第二个积分:第79页,共108页，2024年2月25日，星期天80其中第80页,共108页，2024年2月25日，星期天81下面证明第81页,共108页，2024年2月25日，星期天82则第82页,共108页，2024年2月25日，星期天83如果C为在圆环域内绕的任何一条正向简单闭曲线.则可用一个式子表示为:[证毕]第83页,共108页，2024年2月25日，星期天84说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.

1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是f(z)的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.第84页,共108页，2024年2月25日，星期天85定理4.5.2

洛朗级数在收敛圆环域内绝对收敛且内闭一致收敛，其和函数是收敛圆环域内的解析函数，而且可以逐项求积和逐项求导。显然，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形。第85页,共108页，2024年2月25日，星期天86三、函数的洛朗展开式常用方法:1.直接法2.间接法1.直接展开法利用定理公式计算系数然后写出缺点:计算往往很麻烦.第86页,共108页，2024年2月25日，星期天87根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法第87页,共108页，2024年2月25日，星期天88例1解由定理知:其中第88页,共108页，2024年2月25日，星期天89故由柯西–古萨基本定理知:由高阶导数公式知:第89页,共108页，2024年2月25日，星期天90另解本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,第90页,共108页，2024年2月25日，星期天91例2内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解第91页,共108页，2024年2月25日，星期天92oxy1第92页,共108页，2024年2月25日，星期天9312oxy由且仍有第93页,共108页，2024年2月25日，星期天942oxy由此时第94页,共108页，2024年2月25日，星期天95仍有第95页,共108页，2024年2月25日，星期天96注意:奇点但却不是函数的奇点.