2023-2024学年福建省福州二中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州二中高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,1,A.{−1,2} B.{12.已知z=1−i2A.−i B.i C.0 D.3.已知向量a=(2,1)，A.2 B.3 C.4 D.54.一圆台上、下底面的直径分别为4，12，高为10，则该圆台的侧面积为(

)A.1429π B.2029π5.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(

)A.12种 B.24种 C.36种 D.48种6.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有(

)A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种7.设函数f(x)=2x(xA.(−∞,−2] B.[8.古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高PO=2，底面半径A.2 B.3 C.3 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=A.f(x)有两个极值点

B.点(0,3)是曲线y=f(x)的对称中心10.已知直线l：ax+by−r2=0与圆A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离

C.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 D.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离11.若m，n为正整数且n>m>1A.Cn1+Cn2+⋯+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.有3名同学同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有______种不同的去法.(用数字回答)13.已知(x2+1x3)14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=39，b=2，∠A=120°．

(Ⅰ)求sinB的值；16.(本小题15分)

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S10=40．

(1)求{17.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+2ax(a∈R)．

(1)19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为23．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点P(−答案和解析1.【答案】B

【解析】解：|x−1|≤1，解得：0≤x≤2，

∴集合B={x2.【答案】A

【解析】解：z=1−i2+2i=12⋅1−i1+3.【答案】D

【解析】解：a−b=(4,−3)，

4.【答案】D

【解析】解：将圆台补形为圆锥，设上面小圆锥的高为h′，母线长为l′，

因为圆台的高为10，

所以h′h′+10=26，解得h′=5，

所以大圆锥的高为15，

所以大圆锥的母线长为152+62=35.【答案】B

【解析】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22⋅A44=48种情况，

甲站在两端的情况有33C21AA6.【答案】A

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5个新增项目的比赛项目分为3组，有C53C21C11A22+C52C32C11A22=25种分组方法，

②将分好的3组安排到A，B，C三个场地，有A33=6种安排方法，7.【答案】D

【解析】解：设t=x(x−a)=x2−ax，对称轴为x=a2，抛物线开口向上，

∵y=2t是t的增函数，

∴要使f(x)在区间(0,1)8.【答案】D

【解析】解：因为M是PB的中点，O是AB的中点，

所以AP/​/OM，|OM|=12|AP|=2，

因为截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，

根据对称性可知，抛物线的对称轴为OM，焦点在OM上，

以M为坐标原点，OM为x轴，过M点的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

设抛物线与底面交点为E，则xE=|OM|=2,yE=|O9.【答案】AB【解析】解：由f′(x)=3(x2−1)，则x<−1或x>1时，f′(x)>0，−1<x<1时，f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,−1)、(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，

所以−1，1分别是f(x10.【答案】AC【解析】解：A中，若A在圆上，则a2+b2=r2，而圆心到直线l的距离d=r2a2+b2=|r|，所以直线与圆相切，即A正确；

B中，点A在圆C外，则a2+b2>r2，而圆心到直线l的距离d=r2a2+b2<|r|，所以直线l与圆相交，所以B不正确；

C中，点A在直线l上，则a2+b2=r2，而圆心到直线l的距离d=r2a2+b2=|r|，所以直线l与圆相切，所以C正确；

D中，点A在圆C内，则a2+b2<r2，而圆心到直线l的距离d=r211.【答案】BD【解析】解：对A选项，∵2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+⋯+Cnn，又Cn0=1，

∴Cn1+Cn2+…+Cnn=2n−1，∴A选项错误；12.【答案】7

【解析】解：去一人，有3种去法，

去两人，有3种去法，

去三人，有1种去法，

故共有3+3+1=7种去法．

故答案为：13.【答案】10

【解析】解：由于二项式的系数和满足2n=32，解得n=5；

故(x2+1x3)5的展开式Tr+14.【答案】−【解析】解：由题意：设A(x1,12)，B(x2,12)，则x2−x1=π6，

由y=Asin(ωx+φ)的图象可知：

ωx2+φ−(ωx1+φ)=5π15.【答案】解：(Ⅰ)a=39，b=2，∠A=120°，

则sinB=bsinAa=2×3239=1313；

(Ⅱ)a=39，b=2【解析】(Ⅰ)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；

(Ⅱ)根据已知条件，结合余弦定理，即可求解；

(Ⅲ)根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)在等差数列中，∵a2=11，S10=40．

∴a1+d=1110a1+10×92d=40，即a1+d=11a1+92d=4，

得a1=13，【解析】(1)建立方程组求出首项和公差即可．

(2)求出|a17.【答案】解：(1)证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，

过O作OM/​/CF与BC交于点M，则OM⊥OD，

所以OM，OD，OA两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则B(0,−1,0)，C(32,12,0)，D(0,1,0)，

设A(0,0,t)(t>0)，则E(0,13,2t3)，

因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，

又BC=(32,32,0),BE=(0,43,【解析】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．

(1)利用等腰三角形中线就是高，得到AO⊥BD，然后利用面面垂直的性质，得到AO⊥平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明AO⊥CD；

(2)方法一：建立合适的空间直角坐标系，设A(0,0,t)，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t18.【答案】解(1)当a=−1时，f(x)=lnx−2x，(x>0)，

∴f′(x)=1x−2，由f′(x)>0，得0<x<12，由f′(x)<0，得x>12，

所以函数f(x)【解析】(1)根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；

(2)通过代