2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题76 抛物线的几何性质-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题76抛物线的几何性质题型一抛物线的范围1．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为|AP|2=x2+（y﹣a）2=x2+y2﹣2ay+a2，∵x2=2y，∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0）=y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0），∴对称轴为a﹣1，∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，∴a﹣1≤0解得a≤1，又a＞0，∴0＜a≤1，故答案为：．2．已知为抛物线上的动弦，且（是常数且），为抛物线的焦点，求弦的中点到轴的距离的最小值．【答案】．【解析】设点，，的纵坐标分别为，，，F为抛物线的焦点，，，三点在抛物线准线上的射影分别为，，，分别连接，，，，，如图所示，由抛物线的定义，知，，所以，，又是线段的中点，所以，当且仅当过焦点时，等号成立，即当定长为的弦过焦点时，点到轴的距离最小，最小距离为．3．已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．【答案】（1）见解析；（2）2＋4.【解析】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2或m＝－2.所以A(3,2)，B(3，－2)．所以|OA|＝|OB|＝.所以△OAB的周长为2＋4.题型二判断抛物线的开口方向及开口大小4．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，方程表示焦点在轴上的椭圆，得表示焦点在轴上开口向左的抛物线.故选：D.5．下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为【答案】A【解析】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.6．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】图象如图，x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.【解析】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.题型三抛物线对称性的应用7．已知双曲线与抛物线（其中）交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根据对称性，设A在第一象限，B在第四象限，由，知，代入到抛物线方程中，即，解得，则将代入双曲线方程得，化简得，解得离心率为或（舍）故选：D8．一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号)（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；（2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；（4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.【答案】（1）（2）（4）【解析】解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误；取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：（1）（2）（4）9．在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线有公共焦点，抛物线Ｍ与双曲线交于，两点，，，三点共线，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】解：由抛物线和双曲线的对称性可知，两点关于轴对称，且，因为，所以，代入双曲线方程有，所以，即，解得．故答案为：.10．若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________.【答案】【解析】由抛物线的对称性知：在上，∴，可得，即抛物线的方程为.故答案为：.题型四根据抛物线的对称性求相关参数11．抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设，∵的面积为，∴，而，∴由上整理得：，解得，则.故选：B.12．已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（）A．4 B．8 C．10 D．16【答案】B【解析】以为圆心，半径为5的圆的方程为,由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，∴它们的交点A,B关于x轴对称，因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,又∵A在圆上，∴,解得,故选：B.13．已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________.【答案】【解析】因为抛物线的准线方程为，所以由对称性得点，代入圆的方程得，解得.故答案为：14．汽车前照灯主要由光源､反射镜､配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线C，已知C的焦点为，焦距为，对称轴为l.（1）证明：当光源位于时，此时发出的一束不与l重合的光线经C反射后与l平行；（2）设P=2，当光源位于l上由向C的开口方向平移1个焦距长度的点时，此时发出的一束不与l重合的光线经C上点M反射后又经过l上的点N，若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）以抛物线C的顶点O为坐标原点，对称轴l为x轴，开口方向为x轴正方向建立坐标系，则，设点为x轴上方抛物线C上任意一点，当y>0时，，所以点处切线的斜率为，所以点处法线的斜率为，所以过点A的法线方程为，与x轴交于点，所以，所以，由对称性可知，当光源位于时，此时发出的一束不与l重合的光线经C反射后与l平行.（2）设分别由，发出的两束不与l重合的光线均经C上点M反射，反射后的光线分别为MP，MN，则由（1）可知MP//x轴，所以∠PMN=∠MNO，又由光线反射后的反射角等于入射角可知，，所以，所以，当P=2，时，，所以轴，为直角三角形又，由勾股定理可知，.15．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知，.（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点(在之间)，直线交直线于点.是否存在这样的直线，使得(为的焦点)？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为或.【解析】解：（1