苏教版五下数学难点复习梳理图

天平与方程的共性：左边=右边，指针指向中间，平衡100克苹果重量未知，设苹果重量为X克天平中的数量关系表示为：X=100X克根据天平中存在的数量关系，可以列出：不等式（表示不相等关系）等式（表示等量关系）X+50=2X=200或

X+X=200>X+50<200我们以前写过的算式很多都是等式，例：4+2=830÷0.1=300但它们不是方程。这些含有未知数的等式是方程等式的性质:等式两边同时＋同一个数，所得结果仍然是等式。－×

÷（不是0的数）x+10－10=50－10x+10+100=50+100x+10－20=50－20（x+10）×0.8=50×0.8（x+10）÷99=50÷99根据等式的性质，方程可以做如下变化，结果仍然是等式X+10=50……其中，使方程左边只剩下X：x+10－10=50－10x=40（正好得出未知数的值，即X=4是方程的解）x+10－10=50－10检验：把X=4代入原方程，原方程左边为40+10=50，左边=右边，所以X=4是原方程的解。完整的解方程过程如下：解方程的两个依据：加减乘除各部分之间的关系：加法：一个加数=和－另一个加数减法：被减数=减数＋差减数=被减数－差乘法：一个因数=积÷另一个因数除法：被除数=商×除数除数=被除数÷商X÷0.2=0.8解：X÷0.2×0.2=0.8×0.2X=0.16（1）依据等式的性质解方程（2）依据加减乘除各部分之间的关系解方程X÷0.2=0.8解：X=0.8×0.2X=0.16等式两边同时×0.2X是被除数，被除数=商×除数以上两种解方程的过程，等式右边都含有，所以两种解法在本质上是相同的。列方程解决实际问题例：大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米，小雁塔高多少米？方程法：1.找等量关系（列方程的依据）（往往不止一个等量关系）2.列方程+解方程3.检验4.答句小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=222X-22=642X-22+22=64+222X=862X÷2=86÷2X=43

2X-64=222X-64+64=22+642X=862X÷2=86÷2X=43检验：43×2-22=64（米）检验：43×2-22=64（米）答：小雁塔高43米。（64+22）÷2=86÷2=43（米）答：小雁塔高43米。算术法需要逆向思维，因此容易出错，往往错成：64÷2+22=54或者（64-22）÷2=21。方程解答的优势在于：顺向思维。以上两个等量关系可以看出，它们都是根据关键句“比小雁塔高度的2倍少22米”顺向梳理出来的。算术法：解：设小雁塔的高度为X米解：设小雁塔的高度为X米答：小雁塔高43米。列方程解决问题的检验，是检验答案是否符合题中已知条件，其检验步骤与解方程不同陆地面积+水面面积=面积总和和倍问题与差倍问题差倍问题海洋面积－水面面积=相差面积和倍问题解：设陆地面积大约X公顷，则水面面积大约3X公顷。X+3X=2904X=290

X=72.53X=3×72.5=217.5解：设陆地面积大约X公顷，则海洋面积大约2.4X公顷。2.4X－X=2.11.4X=2.1

X=1.5

2.4X=2.4×1.5=3.6和：占地面积290公顷倍：3倍差：多2.1亿平方千米倍：2.4倍检验：72.5+217.5=290(公顷)217.5÷72.5=3答：……检验：3.6－1.5=2.1(公顷)3.6÷1.5=2.4答：……追及问题在封闭的跑道上，甲要追上乙，甲一定会比乙多跑一圈情况1:甲跑一圈多时追上乙，甲比乙多跑一圈。情况2:甲跑三圈多时追上乙，甲比乙多跑一圈。黑色为甲跑路程红色为乙跑路程当甲追上乙时，甲比乙多跑400米。甲的速度与乙的速度相比，甲每分钟均多跑280-240=40米甲经过多少分钟能比乙多跑400米？即400米中有几个40米？400÷（280-240）=400÷40=10（分钟）答：经过10分钟甲第一次追上乙。（为什么题中说“第一次追上”？因为封闭环形跑道上接着跑下去，将出现甲第二、三……次追上乙。）方法三：因数中找质数

30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30

其中30的质因数有：2、3、5

30=2×3×5方法一：逐步分解法30=2×15=2×（3×5）=2×3×530=3×10=3×(2×5)=2×3×530=5×6=5×(2×3)=2×3×5把合数30分解质因数：“真相只有一个”，不管采用哪个乘法算式来分解，最后都分解成2、3、5这三个质数相乘的形式。所以你在完成此任务时，只要任意选择其中一个乘法算式来逐步分解。方法二：短除法参见教材38页“你知道吗”思路：用质数不断地去除30，直到结果也为质数为止。所以30=2×3×5但会遇到如下现象：

8的因数：1、2、4、8

其中8的质因数只有：2

8=2×2×2请在括号中填出合适的质数：10=（2）×（5）

24=（2）×（2）×（2）×（3）

18=（2）×（3）×（3）右边两个质数相加的算式，即著名的哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都是两个素数之和。

10=（3）＋（7）

24=（5）＋（19）

=（7）＋（17）

=（11）＋（13）

18=（7）＋（11）

=（5）＋（13）

左边几个质数相乘的算式，是把一个合数分解质因数。以上，是两种不同类型的练习题。第二单元《因数与倍数》的对比题11、把长24厘米、宽16厘米的长方形分成大小完全相同的正方形且没有剩余，如果正方形要尽可能大，能分成多少个正方形？思路

：正方形四边相等。这个正方形的边长即是24的因数，又是16的因数。

24和16的公因数有：1、2、4、8

问题要求正方形要尽可能，所以取24和16的最大公因数8。24÷8=3（个）长里能分出3个正方形16÷8=2（个），宽里能分出2个正方形3×2=6（个）答：能分成6个正方形。或者：正方形面积=8×8=64平方厘米原来长方形面积=24×16=384平方厘米384÷64=6（个）答：能分成6个正方形。2、把若干个长30厘米、宽20厘米的长方形拼成一个正方形，至少需要多少个这样的长方形？思路

：因为是用小长方形拼出大正方形，这个大正方形的边长既是长30厘米的倍数，也是宽20厘米的倍数。即大正方形的边长是30和20的公倍数。因为提问“至少……”，所以取30和20的最小公倍数。20和30的最小公倍数是：60第二单元《因数与倍数》的对比题1或者：以60cm为边长的大正方形面积=60×60=3600平方厘米原来小长方形面积=20×30=600平方厘米3600÷600=6个答：至少需要6个这样的长方形。60÷30=2（个）60÷20=3（个）3×2=6（个）答：至少需要6个这样的长方形。3、把20厘米、16厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？

思路

：每根剪出的彩带长度是20的因数，也是16的因数。20和16的公因数有：1，2，4

因为问题要求每根彩带最长多少，所以取20和16的最大公因数4。第二单元《因数与倍数》的对比题14、王叔叔家三个儿子都在城里工作，大哥每6天回家一次，二哥每8天回家一次，小弟每12天回家一次。（1）兄弟三人同时在3月31日回家，下一次三人同时回家是哪一天？（2）兄弟三人同时在4月20日回家，下一次三人同时回家是哪一天？

思路

：大哥、二哥、小弟回家天数分别是6、8和12的倍数。思路

：三人同时回家天数，应为6、8和12的公倍数。因为问题要求最近的下一次同时回家时间，所以取6、8和12的最小公倍数。6、8和12的最小公倍数是：24。因为三人在3月31日号已回家，所以下一次是从4月1日起，再过24天即为三人同时回家。答：4月24日三人同时回家。思路同上：因为三人在4月20日号已回家，所以下一次是从4月21日起，再过24天即为三人同时回家。推算下去，4月还剩10天，5月再过14天。答：5月14日三人同时回家。第二单元《因数与倍数》的对比题2第二单元《因数与倍数》的对比题25、现有2路、3路公共汽车早晨7时从起点站出发，2路汽车每隔4分钟发一辆车，3路汽车每隔5分钟发一辆车，它们第二次同时发车是什么时候？思路

：两车的发车时间，分别为4和5的倍数。它们第二次同时发车时间，即4和5的最小公倍数。4和5的最小公倍数是：20

所以当7时，两车同时发车后，再过20分钟即为两车第二次发车。答：7:20两车第二次同时发车。6、把53块水果糖和49块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩3块，巧克力剩4块，这个组最多有几位同学？7、有一个筐中装有香蕉24只和橘子35只，现在将它们分给小朋友，最后正好把香蕉分完，而橘子还少1个，最多分给多少位小朋友？思路

：水果糖剩3块，即分出了53-3=50块水果糖；

巧克力剩4块，即分出了49-4=45块巧克力。

50块水果糖和45块巧克力，平均分给同学们，同学人数应为50和45的公因数。问题要求“最多”，即取50和45的最大公因数：5。答：这个组最多有5位同学。思路：香蕉正好分完，即小朋友人数是24的因数。橘子少1个，即平均分35只橘子时发现缺了1个，即35+1=36只橘子才够。即小朋友人数应该是36的因数。小朋友人数应该是24和36的公因数。问题要求“最多分给多少位小朋友”，所以小朋友人数应该是24和36的最大公因数：12。答：这个组最多有12个同学。第二单元《因数与倍数》的对比题39、用51朵红花和34朵白花做成花束，如果每束里的红花朵数相同，白花朵数也相同，最多可以做成多少束？每束花里最少有多少朵？思路：解答本题必须在理解了“植树问题”的基础上进行。原来栽树位置，是8的倍数。现在栽树位置，是6的倍数。那么不需要移栽的位置，是6和8的公倍数。

因大路总长72米，所以72以内6和8的公倍数有：24、48、72。如果路的两端也栽树的话，那么起点位置不需要移栽。

所以一共有：0、24、48、72四个位置上的树不需要移栽。答：共有4棵树不需移栽。思路

：从51朵红花和34朵白花中取若干做成小花束，即将51和34都平均分成若干份，最多可以做成多少束？即51和34的公因数。

51和34的公因数有：1，17。可做成的小花束越多，则每一束中包含的花越少。所以取51和34的最大公因数17，最多可做成17束。

51÷17=3（朵），每一束中有红花3朵。34÷17=2（朵），每一束中有白花2朵。3+2=5（朵）。答：每束里最少有5朵花。

第二单元《因数与倍数》的对比题48、在一条长72米的大路一边每隔8米栽树（首尾都栽），现在改为每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的树有多少棵？(1)(2)把6个球看作单位“1”，平均分成3份，分数单位是把6个球看作单位“1”，平均分成6份，分数单位是把6个球看作单位“1”，平均分成3份，取其中的一份，用分数表示是共3个分数单位。每个分数单位表示2个球。共6个分数单位。每个分数单位表示1个球。把6个球看作单位“1”，平均分成6份，取其中的二份，用分数表示是表示2个球。表示2个球。分数单位不同分数大小相同=分数的意义：把

看作一个整体即单位“1”，把它平均分成

份，取

份，用分数

表示。(1)(2)(3)排除学习中的干扰因素：有6个球把6个球看作一个整体，可以用一个框框起来把6个球看作一个整体，也可以用一个椭圆框起来。这是数学上的常用方法(1)(2)都是把6个球看作一个整体，平均分成3份。但是，椭圆容易给人一个错觉，好像三份形状不相同。事实上，我们要关注的是这个整体中球的个数，排除图形带来的干扰。分数与除法的关系：被除数÷除数＝a÷b＝两数相除的结果（商），如果不能用整数表示，可以用分数表示。被除数除数怎么思考：

7分米=米？方法一：分米与米的进率是10，从低单位换算到高单位用除法算。7÷10=米。（7÷10的结果，不能用整数表示，就用分数表示。）方法二：把1米看作单位“1”平均分成10份，取其中的1份，即1分米。取其中的7份，即7分米，用分数表示，例如：8÷4=2，但3÷4=分数的作用：（2）表达两数相除的计算结果（1）表达平均分的结果（3）表达两者的数量关系计算题1÷3=数量关系可以从不同角度表达：已知：红球有1个，黄球有3个（2）用除法求得倍数关系：3÷1=3，黄球个数是红球的3倍（3）用除法求得分数关系：1÷3=，红球个数是黄球的（1）用减法求得相差关系：3－1=2个，红球个数比黄球少2个

或黄球个数比红球多2个）小明今天做了1道题，小红做了3道题，小明的题数是小红的红球有1个，黄球有3个，红球的数量相当于黄球的把6个球看作一个整体即单位“1”，平均分成3份，其中的一份可用用分数表达两者的数量关系P55/试一试和练一练将红彩带平均分成4份，每份是1米，那么，蓝彩带的3米相当于这样的3份，这样4份中的3份用分数表示。1个图形看作1份，那么红球有5份，三角形有11份。红球与三角形比，一一对应于它11份中的5份，用分数表示。三角形与红球比，显然原来5个红球不足以一一对应，相当于5份外要补足11个红球来一一对应，用分数表示。11551151111534342根绳的133231根绳即1米的23包含的每一小段，相当于1米的两个合成1米的1323132515易错题P56/6、7、12题11212每人取得糖果是多少千克？即是将2千克平均分成5份，求一份是多少？2÷5=千克。（用分数表示两数相除的商）5个小朋友共5份，每人取其中的1份。（用分数表示平均分的结果）25每支铅笔看作1份，12支铅笔共12份，每支铅笔相当于12份中的1份。（用分数表示平均分的结果）2个同学共2份，每人分得相当于2份中的1份。（用分数表示平均分的结果）思路：这个分数提示我们，先将每个单位“1”平均分成3份，再从中取2份涂色发现：在不同的单位“1”中，分数所代表的桃子数量是不同的。第三图的单位“1”，是12个桃子，是将12个桃子平均分成3份。其分数单位代表4个桃子。取2份即8个桃子。第一图的单位“1”，是3个桃子，是将3个桃子平均分成3份。其分数单位代表1个桃子。取2份即2个桃子。第二图的单位“1”，是6个桃子，是将6个桃子平均分成3份。其分数单位代表2个桃子。取2份即4个桃子。（1）一个圆形花坛的周长是251.2米。花坛的直径是多少米？方法一：方程法