2023-2024学年江苏省南京市高一年级下册期中数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南京市高一下册期中数学试题

一、单选题

1.集合A={T,O,1},8={yly=sinx,xe/?}WiJ()

A.AB=BB.A=BC.AuB=BD.dKA=B

【正确答案】C

首先求集合B,比较集合后判断选项.

【详解】由三角函数性质可知3={y|-i4y4i},又因为A={TO,1},

所以=

故选：C

2.复数z=」（i是虚数单位）的共粗复数在复平面上对应的点位于第（）象限.

1+1

A.一B.二C.三D.四

【正确答案】A

【分析】先求出z,在求出它的共加复数白找出坐标即可判断.

【详解】因为2=丄=不■号不=:一事，

14-1（1+1）（1-1）22

所以z的共规复数为1=1+与，

22

则在复平面上对应的点为（丄1）位于第一象限.

22

故选：A.

3.下列函数中，在区间号上单调递增的函数是（）

71

A.y=cos(x—y)B.y=^siax—cosxC.y=sin(xH—)D.y=|sin2x|

4

【正确答案】B

【分析】分别求出其单调区间，再分析判断即可

【详解】对于A,由则-|…告所以函数在（絹）上递增，在（资

上递减，所以A错误，

对于B,y=6sin-cosx时，y=2sin|,r——|,所以函数在

16丿6263

乃上递增，所以々名在单调增，所以B正确，

_o3J[_o3J|_42_

对于C,y=sin（x+g],由2x+fs得貸.学，所以函数在学]上递减，所

14丿2444144」

njr

以函数在区间---上单调递减，所以C错误，

冗jr

对于D,y=|sin2x|,可知函数在上递减，所以D错误，

故选：B.

九3

4.若cos（----a）=一,则sin2a=

45

7八117

A.—B.-C.—D.-----

255525

【正确答案】D

【详解】试题分析：cos2(3-aJ=2cos2((-a,l=2x[|)-1=-^,

故选D.

三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示:

（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系.

5.利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0。~90。之间角的三角函数值，而这个

范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则tanl600。

的值为（）（小数点后保留2位有效数字）

a10°20°30°40°50°60°70°80°

sina0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848

A.-0.42B.-0.36C.0.36D.0.42

【正确答案】B

【分析】利用诱导公式化简得原式=-包工即得解.

sin70

，■oo

【详解】解：tan1600=tan(4x360+160°)=tan160=-tan20=——-

cos20

sin700.9397

故选：B

6.函数/（x）=2cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值（）

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

C.奇函数，最大值为;D.偶函数，最大值为:

22

【正确答案】D

【分析】计算得到“f)=/(x),函数为偶函数，化简得至卄(力=-23。计

算最值得到答案.

【详解】/(-x)=2cos(-x)-cos2(-x)=2cosx-cos2x=/(x),函数为偶函数，

(1Y3

/(x)=2cosx-cos2x=-2cos2x+2cosx+l=-2lcosx-—I+-

所以当3$X=；时，.f(x)取最大值

故选：D

1uuuUUUI

7.已知。4,08,OC均为单位向量，且满足/04+OB+OC=O,则的值为()

A.|B-C.ZD.12

8888

【正确答案】B

【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可.

【详解】AO^2(OB+OC),AB=3OB+2OC,同理AC=2O2+3OC

AO2=4(08+OC)2,:.OBOC=~,ABAC=(3OB+2OC)(2OB+3OC)

,2，2QI5

=608+6OU+13OBOC=6+6—J—.

88

故选：B.

8.锐角ABC中-匕）（sio4+sinB）=（c、-b）sinC,若。=3,则从+/的取值范围是（）

A.(9,18]B.(15,18)C.[9,18]D.(15,18]

【正确答案】D

【分析】先利用正弦定理化角为边可得。?+c2-諸=儿,则利用余弦定理可得4=去再由正弦

定理可得"+/=12+6$吊（2吟）,根据8的范围即可求解.

【详解】由题，由正弦定理可得（。-勾（。+与=（。-整理可得从+‘2-4=秘，

b2-^c2-a2be

所以cosA=4,即

2bc2bc

丄=丄=，=2=2后

又sinAsinBsinC。3

~T

所以从+c2=（2>AsinB『+（2x/3sinC）2

=12sin2B+12sin2f1+B^

=9+3（2sin2fi+^sin2B）

=12+3（瓜in2B-cos28）

=12+6sin（2B-'）,

因为锐角三角形，所以4+B>i]t,所以717r

226

则23V心爲，所以，皿嗫卜臣,

所以庁+c2e（15/8],

故选：D.

二、多选题

9.已知复数z满足四=i,则下列结论正确的是（）

Z

A.复数z的共轨复数为-2+上B.z的虚部为:

C.在复平面内z对应的点在第二象限D.忖=等

【正确答案】AD

【分析】先由已知求出复数z,然后再逐个分析判断即可

【详解】由〜="得z+l=zi,

Z

-(1+i)_11.

所以Z=y(l)(l+i)一5弓

所以复数z的共扼复数为+复数Z的虚部为-：,复数Z在复平面内对应的点在第三

象限，|z|=

所以AD正确，BC错误，

故选：AD

10.已知〃eN,,则以3,5,〃为边长的钝角三角形的边长，则”的值可以是（）

A.3B.6C.7D.9

【正确答案】BC

【分析】分”是否为最大边进行讨论分析即可.

【详解】钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和，

当5为钝角三角形的最大边时，有：32+n2<52,

解得：0<n<4,

|3+n>5

由三角形三边关系可得。<,即2<〃<8,

[3+5>〃

所以2<”<4,

由于“eN*,此时，〃=3；由32+32>5?

不满足题意，故〃#3,

当〃为钝角三角形的最大边时，有：32+52<n2,

解得：”>>/34，

[3+n>5

由三角形三边关系可得。<，即2<〃<8,

[3+5>〃

所以后<"8,

由于“eN*,此时〃=6,7；

故BC.

11.对于非零向量“力，下列命题正确的是（）

A.若42=0，则ab

B.若a丄b，则

C.若Q.c=b・d，则。=Z?

D.若卜-司=,+.,则&石=0

【正确答案】BD

【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可.

【详解】A.若〃力=0,则“丄6,故错误；

B.若a丄b，则夕/?=0，所以。丿=（夕。）2成立，故正确；

C.当C为零向量时，满足Q.c=6d，但是推不出4=心故错误；

D.若卜叫=卜+同，则卜一d=|a+b]，可得/一24m+〃2=a2+24/+/?,

整理即可得到4包=0，故正确；

故选：BD

12.设./BC的内角A,B,C所对的边为a,h,c,则下列命题正确的是（）

A.若a+b=2c,贝!]C>^；B.若a+£>>2c,贝i]d；

33

C.若/+//=/,则c<g；D.若（/+⑹。2<2,而2,则C>（

【正确答案】BC

【分析】根据余弦定理结合基本不等式可以判断A错误；根据条件可得：

4?=4（a+b）2—8出7（l+cosC）<（a+〃?，进而判断B正确；根据条件可得：

（a2+从曰=/+2a2b2+b4=2a2b2+。4>/,结合余弦定理可以判断©正确；取4=6=2,。=1,

举例可以判断D错误.

【详解】对于A,若a+b=2c,根据余弦定理，可得:

0J29

a-+b--c~

cosC=

lab

3a2+3h2-2ah

8ab

、3x2ab-2ab1

>-----------——

Sab2

当且仅当a=b时等号成立,

结合C为三角形的内角，可得0<C«TT],故A错误;

对于B,若〃+Z?>2c,

根据余弦定理，可得/=/+匕2-2〃Z?cosC,

4c2=4(a+&)2-8o/,(l+cosC)<(a+&)2,

可得3(。+可<8而(1+cosC),

结合2J。/?Wa+b,得至1112“643(4+。)，

126f/?<86z/?(l+COsC),

解得cosC>g,

结合C为三角形的内角，

可得C<]，故B正确；

对于C,若于+/=,4,

贝ij(/+从y=/+2cl2b2+//=2a2b?+c4>c4,

.**a2+b2>c2,可得cosC=口+"———>0,

lab

TT

因为Ce(0,7t),所以C<],故C正确；

对于D,取a=6=2,c=l,可得(片+尸卜?<2a?2成立，

TT

但C为最小角，必定是锐角且小于三，所以D错误；

故选：BC.

三、填空题

13,已知向量。=(4,一3),b=(x,6),且a〃八则实数x的值为

【正确答案】-8

【分析】直接由向量共线的坐标运算得答案.

【详解】解：：量4=(4,-3),b=(X,6),且a〃b,

则4x6-(-3)x=0.

解得：X--8.

故答案为-8.

平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联

系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若〃=（卬,。2）,b=（bi,bz）,则。丄b=ma2+bib2

=0,a//b=。山2-。2历=0,是基础题.

14.若函数/（x）=sin[@x+計（。＞0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为多且该函

数图象关于点（七,（））,（%＞（））成中心对称，则%的最小值为.

57r

【正确答案】

TT

【分析】由题意可知，最小正周期7=乃，则。=2,令2%+9=版■，左eZ,求解即可.

6

【详解】设函数〃X）的最小正周期为T,由题意可知（=即7=%.

所以。=系=2,则“上河21+2）.

因为该函数图象关于点（天,0）成中心对称

所以2%+四=6■，&eZ,g|Jx0=-—+—,A:eZ

6122

又因为为e（0,+8）,

所以当e时,

砧5万

故正

本题考查正弦型三角函数的性质，属于中档题.

15.若函数〃*）="5+?]（。＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为I,且该函数

TT

图象关于点（％，0）成中心对称，xoe0,-,贝口。=.

【正确答案】

【详解】试题分析：由题意得：《=£,7=",0=至=2.又2乂+[=左双》="-3，而

22n6212

%w[o,g,则与=正

三角函数性质

四、双空题

⑹设AABC的三边，所对的角分别为A,B,。若〃+3/=-则鬻=—

tanA的最大值是.

【正确答案】-2受

4

化筒联成正余弦的关系式，再利用余弦定理与正弦定理化简求解即可.

tan5

a2+c2-b2

【详解】⑴吗2F’=^4^

tan8sinBcosC,a~「+b-ca+b-c

b---------------

2ab

a1+tr+3O1-b1_4/

/+/一,2+3/)-2/

(2)由(1)tanC=-2tanB,故tanA=tan[7r-(3+C)]=-tan(3+C)=则—+tanC

L」tanBtanC-1

tanB-2tanB_tanB_1

tanB(-2tanB)-l2tan23+12tanB1】，因为。?+3〃=c?故8为锐角.

,tan3

142

故2tanB+」一IT=-V

2,2tanB•——

tan3vtanB

故(1).-2(2).也

4

本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用，同时也考查了基本不等式的运用，需要根据题

意将正切函数化筒为正弦与余弦的表达式，进而想到边角的互化以及余弦定理的公式,属于中

等题型.

五、解答题

17.设£€（0,乃），已知向量0=（Gsina,l）,〃=（2,2cosa）,且“丄人.

（1）求sine的值;

⑵求cos（2a+斎的值.

【正确答案】（l）sina=g

⑵並

2

【分析】（1）根据向量垂直列方程，解方程即可;

（2）利用特殊角的三角函数值求解.

【详解】（1）因为a=（6sina,l）,Z?=（2,2cosa）,且〃丄/?，

贝！Jah=2&sina+2cosa=0,

即4sin（a+看）=0,

ae（O㈤，:.a+?已年

4nn54

..an—=7t,k|Ja=—,

66

所以sina=!；

2

(2)由(1)得夕=苧

6

9冗V2

则cos2a+=cos——=——

42

18.已知函数f(%)=Asin(5+0)(A>O,G>O,同<会的最小正周期为兀，且点P(；2)是该

函数图象上的一个最高点.

⑴求函数“力的解析式；

⑵把函数〃x)的图象向右平移。个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)在

兀

0,-上是增函数，求。的取值范围.

_4_

【正确答案】(l)/(x)=2sin(2x+V)；

【分析】(1)由给定周期求出。，根据最高点求得A及。的值，写出f(x)的解析式作答..

(2)由(1)及已知求出g(x)的解析式，并求出g(x)的单调递增区间，再根据给定区间列

不等式组求解作答.

【详解】(1)依题意，4=2,周期7='=*解得。=2,

(D

因为函数“X)的图象经过点呜,2),贝Ij2sin(2x/s|=2,即">—=1,而阚4，

于是得夕=三，

6

所以函数/(X)的解析式是“X)=2sin(2x+J

(2)由(1)及己知得：g(x)=f(x-0)=2sin2(x叫+,=2sin(2x-26+^),

TTTTTLTTTT

由2E——<2x-2<94--<2far+-,)leZ,解得：kn+0--<x<kii+e+-k^7.

26236yJ

于是得函数g(x)的增区间为也+。一%也+。+巳，丘Z,因函数g(x)在0彳上是增函

数，

兀

也+。一一<00<--kn

TT

于是得‘kwZ,解得〈,,kJZ,又。

kn+0+->-0>--kn

6412

--k7u>0r-1

4SI7t7T

即，解得—又2£Z,则七=0,ew—,

4，乃123123

---kn<—

1122

7TTT

所以，的取值范围是---.

19.如图，扇形。钻所在圆的半径为2,它所对的圆心角为半，C为弧AB的中点，动点P,

。分别在线段Q4,。8上运动，且总有OP=8Q,设OA=a，OB=b.

2

(1)若OP=—OA,用“，/,表示CP>CQ；

(2)求CP-C。的取值范围.

I9「3一

【正确答案】⑴CP=--a-h,CQ=-a--b-(2)--2

2

【分析】(1)由OP=§OA,结合向量的线性运算及平面向量基本定理，即可“2表示CP，CQ.

(2)设OP=x〃,则OQ=(l-x)b,即可表示出CP,CQ.结合向量数量积的运算及xe[0,l],即可

结合二次函数性质求得CP-CQ的取值范围.

【详解】(1)由题知ABOCMOC均为等边三角形，所以四边形OACB为菱形.

所以OC=OA+OB=a+6,

(2)设OP=xft4=xa,则0Q=(I_x)OB=(l—x)b,xe[0,1].

/.CP=OP-OC=xa-a-b=^x-\)a-b,

CQ=OQ-OC=(\-x)b-a-b=-a-xb,

*e-CP'CQ=\^x-\)a-l^-a-xb^-2ix1+r

Vxe[0,l],

13

.•.当x=±上式最小值为x=j；当x=0或1时,上式最大值为2.

'3'

.•.CPC。的取值范围|,2.

本题考查了平面向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，平面向量数量积的运算,由二次

函数性质求最值,属于中档题.

20.某地为响应关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此,

当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健

身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形0AB的

半径为200米，圆心角NAOB=60。，点。在。4上，点M,N在OB上，点户在弧A8上，设

APOB=0.

（1）若矩形MNPQ是正方形，求tan。的值;

（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OAOB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计）,

使PS丄。4,PTA.OB,其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最

长，试问：此时点尸应在何处？说明你的理由.

【正确答案】（1）矩形MNP。是正方形时，tane=jm（2）当尸是4B的中点时，PS+PT

2

最大

【详解】试题分析：（1）因为四边形P0MN是扇形的内接正方形，所以

OPcosO--^—=MN=PN=OPsin0,注意至ljQM=PN=OPsin®,代入前者就可以求出

tan60°

tan。.（2）由题设可由尸S+PT=200sine+200sin（60。-。），0°＜。＜60。，利用两角差的

正弦和辅助角公式把PS+PT化成PS+P7=200sin3+60。）的形式，从而求出PS+PT的最

大值.

解析：（1）在RtAPON中,PN=200sin6»,ON=200cos6,在向A。。“

,,CA/“八,ac”QM200sin0200月.g”

中，QW=PDNM=200sin夕，OM=———=---产—=...-sin0,所以

tan60°733

M7V=ON—QM=200cos。-型述sin®,因为矩形MNP。是正方形，,価=吶，所以

3

200cos0-2°^sin(9=200sin(9,所以(200+^^)sin9=200cos。，所以

八133-73

tan8------尸=----尸=-------

|+V33+V32・

+T

(2)因为NPOM=。,所以NPOQ=60。—。，

PS+PT=200sin。+200sin(600-0)=200(sin。+且cos。-丄sin6)

22

=200(-sin^+—cos^)=2OOsin(0+60°),0°<0<60°,所以。+60。=90。，即。=30°时，

22

PS+PT最大,此时P是AB的中点.

答：(1)矩形MVPQ是正方形时，tan。=三且；

2

(2)当尸是AB的中点时，PS+PT最大.

21._A5C中，内角A,B,C所对的边分别为a,匕,c,a=3啦，加山史<=亜asin/J.

22

⑴求sinA；

jr

(2)如图，点M为边AC上一点，MB=MC,AABM=-,求.ABC的面积.

4

【正确答案】（1）二

27

⑵——

8

AA

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，化简整理，可求得sin],cos]的值,

即可求得答案.

（2）根据（1）可求得cosNBMC,进而可求得sin/BMC,根据余弦定理，可求得価，进

而可求得A8,代入面积公式，即可求得答案.

【详解】(1)Vbsin+=—asinB>

22

/.2bsin"+'=45asinB,

2

/.2bsin———=>/5asinB,

2

AL

由正弦定理，PlW2sinBcos-=V5sinAsinB,

2

VsinB^O,

/.2cos—=^sinA,cos—=75sin—cos—,

2222

A

Vcos—*0,

2

・.A逐而A2石

•.sin—=——，贝Jcos—=------，

2525

.•4g・AA汽62遥4

・・smA=2sin—cos—=2x—x—.

22555

.._oA«3

(2)cosA=2cos------1=—,

25

4

又0<A<?i,sinA=g,

9：MB=MC,

：.4MBe=/MCB,

71

•?ZABM=-

2f

TTTT

：.A+2C=~,则2C二一—A,

22

JI3

/.sin2C—sin(—A)=cosA=—,

25

JT

又sin/ABC=sin(兀一C-A)=sin(C+A)=sin(-—C)=cosC,

a1572

在J1BC中，由正弦定理，可得--

sinZBACsinCsinA4

.•"=sinNABC,c=^^sinC,

44

S1sMe=丄历sinA=丄x'5立sinZ.ABCxsinCx—

22445

=&n2c3

cosCsinC

488

22.如果对于三个数“、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三

角形数”。、b、c,如果函数y=/(x)使得三个数/(a)、于(b)、/(c)仍为“三角形数”，则

称y=/。)为“保三角形函数”.

(1)对于“三角形数"a、2a、f+a,其中若/(x)=tanx,判断函数y=/(x)

484

是否是“保三角形函数”，并说明理由；

(2)对于“三角形数"a、a+三、a+1，其中<二，若g(x)=sinx,判断函数y=g(x)

63612

是否是“保三角形函数”，并说明理由.

【正确答案】(1)不是，理由见解析；(2)是，理由见解析.

【分析】⑴取a，分别求得/(a)J(2a)J(a+?｝由此可得/(a)+/(2a)</(a+?),

故函数f(x)=tanx不是“保三角形函数”；

⑵分会言<a<卷三种情况均可证得g(a),g(a+3，g(a+?)

能构成三角形的三边，故函数g(x)=sinx是“保三角形函数”.

【详解】(1)因为,取夕=^，

846

1+港

则/(a)=tan7/(2a)=tan-^=>/3,+=tan[7+?)=--^=2+>/3,