福建省厦门市2022-2023学年高二年级上册期末考试数学试题

2022-2023学年上学期高二年级学业水平测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

I.已知直线4：2%一砂一1二°与直线，2：x+2y+i=o垂直，则。=()

A.-1B.1C.2D.4

2.等差数列｛q｝的前"项和为S,,且满足々=2,$5=20,则。4=()

A.3B.4C.5D.6

3.已知直线/过点尸(2,0),方向向量为“=。,一1),则原点。到/距离为()

A.1B.及C.73D.3

4.已知圆G：x2+y2—2s+a2—9=(^^/C2：x2+y2—2y=(),若G与G有且仅有一条公切线，则

实数加的值为()

A.+1B.+y/2C.±百D.±2

5.在三棱锥4一BCD中，点M是BC中点，若。M=xA8+yAC+zAO,则x+y+z=()

A.0B.gC.1D.2

6.已知点P在双曲线一卡•=1(。〉0)的右支上，直线OP交曲线C于点。(异于尸)，点F为C的左

焦点，若|尸尸|=4,/尸叫为锐角，则〃的取值范围为()

A.(0,2)B.(b,3)C.(2,20)D.(2,+oo)

7.在平行六面体ABCD一4耳G。中，AB=AD=AAt,ZDAB=ZBA4,=ND4A=60°,

AQ=448(0<X<1),则直线AG与直线OQ所成角的余弦值为()

A.0B.：C.—D.1

22

v22

8.椭圆E:0+二V=l(a>0>0)的左焦点为F，右顶点为A,以尸为圆心，|E。|为半径的圆与E交于点

a"b"

P,且尸尸，B4,则E的离心率为()

BLr.-V-2-V3

-12

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

22

9.已知椭圆工+匕=1与椭圆

1,贝!J()

25925—k9-k

A.k<9B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等

10.如图，四边形为正方形，EA//BF,E4,平面43c。，AB=A£=23/=2,点〃在棱EC

上，且EM=4EC，贝1」（）

B.当2=，时，平面E4C

2

C.当为=,时;点M到平面BCE的距离为1

2

1兀

D.当4=一时，平面M6O与平面ABC。的夹角为一

44

11.2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前

向端口，并实现首次太空会师.我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨

道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点.当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物

线的轴的夹角为60。，则彗星与地球的最短距离可能为（单位：千万公里）（）

11

A.-B.-C.1D.3

32

12.大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自

然界的奥妙.譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有

关.在数学上，斐波那契数列｛q｝可以用递推的方法来定义：q=La2=l，/+2=%+i+a”（〃eN*）,则

（）

A.Q]+%+------々2021=02022

B.%+--°+々2020=々2022

a\+々2021=〃2()21々2022

111111

D.-----+------+...--------1-------=-----------

。2019〃2021。2020°2022”必2〃2021〃2022

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出双曲线一二=1的一条渐近线方程

4

14.正方体ABCO—ABCA中，E为线段的中点，则直线6后与平面所成角的正弦值为

II

15.在平面上给定相异的两点A,B,设点P与A,B在同一平面上，满足三个=之，当2>0且2工1时,

\11>\

点P的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.在.A4Z）中，1PAi=|PD|,A（-3,0）,边P£）中点为

8（3,0）,则/RW的最大值为.

16.平面上一系列点4（不凹），4（冷丁2），…，A（x,"”），…，其中A（i，2）,y“>y“+i>。，已知A“在曲线

y2=4x上，圆4：（工一天）2+（丁一丁“）2=片与了轴相切，且圆A“与圆A/I外切，则的坐标为

；记/=X,X1+I，则数列｛2｝的前6项和为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形。钻C为菱形，ZCOA=-,C(1,V3),点。为A3的中点,

3

_O4C的外接圆为圆M.

⑴求圆M的方程；

(2)求直线CD被圆M所截得的弦长.

18.已知等比数列｛凡｝的各项均为正数，且％+。2=4,94=44.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设bn=an+log3an,求数列也｝的前〃项和.

19.已知点尸(0,1)，点B为直线y=-l上的动点，过点B作直线y=-l的垂线/,且线段£8的中垂线与/

交于点P.

(1)求点P轨迹「的方程；

(2)设用与x轴交于点M,直线产尸与「交于点G(异于P),求四边形面积的最小值.

20.世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美.譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等.在.S8C中，

AB=BC=2,ZABC=120°.将。绕着8C旋转到△DBC的位置，如图所示.

⑴求证：BC1AD；

(2)当三棱锥。一43c体积最大时，求平面曲和平面8DC的夹角的余弦值.

21.甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前〃年

2.1

的总销售额为匚!■千万元，乙超市第"年的销售额比前一年的销售额多上千万元.

2⑴

(1)分别求甲、乙超市第"年销售额表达式；

(2)若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购，判断哪一

超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？

22.已知椭圆E：5+，=l(a＞人＞0)过点(血,1),且离心率今

(1)求E的方程；

(2)过T(l,0)作斜率之积为1的两条直线4与4,设乙交E于A,B两点，A交E于C,。两点，的

中点分别为M，N.探究：二OMN与△7MV的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说

明理由.

2022-2023学年上学期高二年级学业水平测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

I.已知直线4：2%-砂-1=0与直线/2：x+2y+i=0垂直，则”（）

A.-1B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用两直线垂直的条件求解.

【详解】因为直线4：2x—ay—1=0与直线/2：x+2y+l=0垂直，

所以2x1+（—a）x2=0,即a=L

故选：B.

2.等差数列｛%｝的前"项和为S“，且满足4=2,S5=20,则4=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为则4=q+4=2,55=54+101=20,解得

4=0,d=2,

所以。4=0+2X3=6.

故选：D.

3.已知直线/过点。（2,0）,方向向量为〃=（1,一1）,则原点。至I"的距离为（）

A.1B.72c.y/jD.3

【答案】B

【解析】

【分析】求出直线的解析式，即可求出原点。至U/的距离.

【详解】由题意，

在直线/中，方向向量为〃=（1,一1）,

...直线/的斜率存在，设/:丁=履+人，则直线/的斜率为：攵=匚=一1,

/.I:y=-x+b,

•・,直线/过点P（2,0）,

・・・0=—2+人，解得：b=2,

I:y=-x+2f即/:x+y-2=0,

••・原点。至ij/的距离为：j=l212zZl=V2,

Vl2+12

故选：B.

4.已知圆C]：尤2+y2-2〃a+加2-9=0与圆C2：%2+y2-2y=（）,若Q与C2有且仅有

一条公切线，则实数加的值为（）

A.+1B.+5/2C.±百D.+2

【答案】C

【解析】

【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.

【详解】圆G：%2+丫2-2〃a+加2-9=0可化为。]:口一加了+9=9,圆心为G（，"，0），

半径为4=3,

圆。2：/+产-2>=0可化为G：f+（y—1『=1,圆心为G（0，l），半径为弓=1，

又C1与G有且仅有一条公切线，

所以两圆内切，

因此,一q=|GG|，即J（加_0『+（（）_I）2=2,

解得m=，

故选：C

5.在三棱锥A-BCD中，点M是BC中点，若0M=xA8+yAC+zA£）,则x+y+z=

（）

A.0B.gC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】表达出AM和。例，得出x，>，z的值，即可求出x+y+z的值.

【详解】由题意，

在三棱锥4—3C。中，点M是3C中点，

连接AM,DM，

A

在一ABC中，

uuurizUiiiion、

AM=-^AB+ACj,

在-AMD中，

DM=AM-AD

：.DM=AM-AD=^AB+AC)-AD,

x=yz=-1,

2

x+y+z=—i---1=0,

22

故选：A.

6.已知点P在双曲线C:尤2一=IS>o)的右支上，直线OP交曲线c于点。(异于P),

b2

点尸为C的左焦点，若|PE|=4,NPPQ为锐角，则6的取值范围为()

A.(0,2)B.(6,3)C.(2,272)D.

(2,+8)

【答案】C

【解析】

【分析】设双曲线的右焦点E，根据双曲线的定义，可求得|p闾=2,根据已知条件NPFQ

为锐角，可判断/FPg为钝角，结合余弦定理即可求得人的取值范围.

【详解】如图所示：

设双曲线的右焦点为尸2,则|p月一归周=2",且a=l,贝用=2,

又|「尸|=4,则|P闾=2,又产闾=2，<归耳+俨闾=6,所以c<3，

而<?=储+从，即1+匕2<9，解得0<卜<2a，

又因为NPFQ为锐角，且根据双曲线的对称性知，RQ关于原点对称，|EQ|=|6尸|=2,

ZQFF2=ZPF2F,

所以ZPFQ=NQFF?+NP叫=ZPFF2+NP&F为锐角,

所以NFPF,为钝角，则COSNFPF,=4J2-々'=20一4（:<0①，且

22x4x216

2

—120-44c<0,又。2=1+/②，

16

由①②两式解得2<b<2V2，

所以b的取值范围为（2,2加）.

故选：C

7.在平行六面体48。一A4G2中，

AB=AD=AAl,NDAB=ZBAAt=ZDAAt=60°,A.Q=243（0<A<1）,则直线AC,

与直线OQ所成角余弦值为（）

A.OB.工C.—D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】设。二/归为;加工二的，由向量的运算得出AC「OQ=0,进而得出直线AG

与直线QQ所成角的余弦值.

【详解】设。=4?力=404=的，不妨设A8=AO=A4,=1,则

,,1

a-b=a-c=b-c=—

2

AC1=a+h+cfA^B=+AB-a—c,

DQ=DDj+%+AyQ=c—b+A(a—c)=Aa—b+(1—A)c

ACj,DQ=九2"—。•/7+(1—4)。,c+Aci•b—h"+(1—X)h,+Aa,c-Z?•W+(1—

22222222

即AC,±DQ，则直线AG与直线DQ所成角的余弦值为0.

故选：A

8.椭圆E:=+4=l（a>0〉0）的左焦点为F,右顶点为A,以F为圆心，|口。|为半径

6rb

的圆与E交于点P,且则E的离心率为（）

A.叵^B,-C.—D.—

2322

【答案】C

【解析】

【分析】由已知得cos/PE4=竺='，右焦点为中利用余弦定理列方

FAa+c

程，由齐次式可求£的离心率.

【详解】由题意，PF=c,FA^a+c,由尸cosZPFA=——=——

FAa+c

右焦点为产'，连接PF',有PF'=2a—c,

PFF,中,cosNPFF,=PF"+FF“-/+（2C）2-（2加4=上

2PFFF'4c2a+c

化简得2c2=〃，即。=瓜，

则E的离心率为e=£=变.

a2

故选：C

【点睛】思路点睛：点P在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a,

求椭圆离心率，结合其它条件构造齐次式即可得解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.

2222

9.已知椭圆工+匕=1与椭圆——+二~=1,则（）

25925-k9-k

A.k<9B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率

相等

【答案】AC

【解析】

【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.

22_______

【详解】由题意，在土+二=1中，有a=5,b=3,c=丁二§=4，

259

c4

・••短半轴为3,长半轴为5,焦距为4x2=8,离心率6=一=一,

a5

在‘一+二一=1中，有a=d25—k，=

25-k9-k

c=\Ja2—b2=J25-&-（9-A）=4,

，长半轴为后二T，短半轴为5/^二二，焦距为4x2=8,

’25-k>04

解得:&<9,离心率e=

9-k>Qy/25-k

，AC正确，BD错误.

故选：AC.

10.如图，四边形ABC。为正方形，EAIIBF,E4_L平面ABC。，AB=A£=2BE=2,

点M在棱EC上，S.EM=AEC<则（）

B.当2=’时，A7rJ_平面E4C

2

C.当;1=工时，点〃到平面BCf的距离为1

2

D.当几=，时，平面MBD与平面的夹角为:

44

【答案】BC

【解析】

【分析】以点A为坐标原点，A。、A3、AE所在直线分别为％、V、z轴建立空间直角

坐标系，利用空间向量法逐项判断可得合适的选项.

【详解】因为平面A8C。，四边形ABC。为正方形，以点A为坐标原点，

A。、AB、AE所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则4（0,0,0）、8（0,2,。）、C（2,2,0）、£>（2,0,0）,£（0,0,2）,F（0,2,1）,

对于AD选项，当4=!时，M||,

4<222）

（313、

DM易知平面BFC的一个法向量为加=（0,1,0）,

因为。M•加=,70,因此，ZW与平面BR7不平行，A错,

2

设平面MBO的法向量为g=（x,y,z）,D8=（-2,2,0）,

4•£>5=-2x+2y=0

则《313八，取兀=3，可得勺=(3,3,2%

%,DM=—xH—y-\—z=0

1222

易知平面ABC。的一个法向量为％=（0,0』），

%・%25/22

,%>=再干展=丁，

所以，平面与平面A8CO的夹角不是£,D错；

4

对于BC选项，当2时，M(1,1,1),

/^=(1,-1,0),AC=(2,2,0),A£=(O,O,2),

所以，FM-4C=2—2=0，FMAE--0'所以，FM±AC,FMLAE，

又因为ACcAE=A,AC、AEu平面E4C，,加，平面E4C，B对，

\FM-n\

LJ

点M到平面BCF的距离为d=~rT-=1.C对.

H

故选：BC.

11.2022年11月29日23时08分,我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天

和''核心舱前向端口，并实现首次太空会师.我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽

的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点.当此彗星离地球4

千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60。，则彗星与地球的最短距离

可能为(单位：千万公里)()

1I

A.-B.-C.1D.3

32

【答案】CD

【解析】

【分析】不妨假设该抛物线开口向右，可设该抛物线方程为9=2*(〃>0),彗星离地球

4千万公里时假设为A点，作ABIx轴于8,分8在F的左侧和右侧进行讨论，即可求出

最短距离

【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为V=2px(p>0),

地球即焦点坐标为,设彗星的坐标为(事,为乂天)20)，

当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A点，即|A月=4,

作ABlx轴于B,则NAFB=60°，

当8在尸的右侧时，

\AB\=2y/3,\BF\=2,所以A（2+§2百J,

代入抛物线可得12=2p（2+日），解得〃=2

则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为与=%+121，

则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里，

|羽=2内叫=2,所以Aq_2,2/J,

代入抛物线可得12=2〃]§-2]，解得p=6

IZJ

则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为玉,+券=玉）+3N3,

则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里，

故选：CD

12.大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量

化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄

金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列｛为｝可以用递推的方法来定义:

4=1，4=1,4+2=a.+i+a”(〃eN*),则()

A.Q]+%+---々2021=々2022

B.%+---々2020=。2022

C.a\+〃2021=々2021々2022

111111

D.----1-----F•••H--------1-------

。204〃2019a2021。2020。202240。2021”2022

【答案】ACD

【解析】

【分析】用累加法判断选项AB,对于C,只需证明a；+a；+a；+……+%即可,

1«„+2-an11

用数学归纳法证明;对于D,得到------=-~-=----------------,即可判断

4+2%%+回”«„+2«n+l

【详解】对于A,由a“+2=a.+i+a”，可得4+1=4+2—4，则/二%-々，%=。6-。4,

%=。8—。6，•，生021=%022-^20209

将上式累加得%+%+%…+。2021=。2022一。2，又%=Cl?=1,则有

4+a3+---+a2O2l=4022•故A正确；

对于B,由。“+2一0"+1+°”，可"T导"3=%+4，“4—03+"2，，”2022—。2021+42020，

将上式累加得％Q22=&+(《+&+%*I-----^%)2o)，又4=1,贝I

4+4+。3+…+。2020=。2022T，故B错误；

对于C,有a；+a；+a；++a：=”必用成立，用数学归纳法证明如下：

①当〃=1时,a；=1=q♦%，满足规律，

②假设当n=k时满足a；+a；+a；++a；=a4.a<+1成立

aaa=aa+a

当〃=Z+1时，则++^+«Li-kk+\+t+\k+i(kk+i)

=%+i%+2成立，满足规律，

故a：+a£+ag++=anan+i,令〃=2021,则有

a；+a；+a；+一+”短1=a2021a2022成立,故C正确；

1==J!

对于D,由an+2=4+|+an可得

a

aaaaan+2n+l

n+2n„+2n+in4,+M“区

1111

所以—+——十d----------------1--------------

%019。2021%020。2022

11111111

--------—+■~-------++-------------------=------------,故D正确

CZ]。2cz3“2（）。0。%）21。然）21。2022"["2'"2（）21。2（），0

故选：ACD

【点睛】思路点睛:涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形,

可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出双曲线C:/一匕=1的一条渐近线方程.

4

【答案】丁=2%（或丁=一21）

【解析】

【分析】由双曲线的性质求解即可.

v2

【详解】由题意可得，a=l力=2,则双曲线。：/_2_=1的渐近线方程为

4

,b,,

y=±-x=±2x.

a

故答案为：丁=2%（或丁=一2%）

14.正方体ABQD-AAGA中，E为线段8月的中点，则直线GE与平面4AB所成角

的正弦值为.

【解析】

【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.

【详解】以。为坐标原点，所在直线分别为苍yz轴，建立空间直角坐标系,

如图，设正方体的棱长为2,则3（2,2,0）,A（2,0,2）,"（0,0,2）,E（2,2,1）,G（0,2,2）；

EC,=（-2,0,1）,=（0,-2,2）,D,A=（2,0,0）；

=o♦2%=0

设平面A的一•个法向量为n=（x,y,z）,则＜

，2z-2y=0'

n.BAl=0

令y=l,则”=（0,1,1）.

\n-Ec\]71C

设直线CE与平面AtD}B所成角为0,则sin0=同同=万环=为

故答案为：叵.

IPAI

15.在平面上给定相异的两点A,B,设点户与48在同一平面上，满足上高=/1,当；1＞（）

Irti|

且241时，点P的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.在24。中，

3,0）,边PO中点为6（3,0）,则的最大值为.

【答案】y

【解析】

[分析】设P（X,y），可得D（6-x,-y）,利用|PA1=1P01可得（x-5）2+y2=16（y*0）,

结合图象即可得到与该圆相切时，NRW最大

【详解】设P（x,y）,由边PO中点为3（3,0）可得。（6-x,-y）,

因为|PA|=|PD|,所以J（x+3p+y2="6—2司，（24，整理可得

(x-5)2+y2=[6(yH0).

所以P的轨迹是圆心为。（5,0），半径为4的圆上（排除x轴上的点）,

|PQ|1

则当与该圆相切时，/BAB最大,tan/PAB=V=—,

\AQ\2

兀Tl

因为0</PA5<—,所以/PA8=—,

26

IT

故答案为：—

6

16.平面上一系列点A（%，y），4（w，%），…，A（X,”券），…，其中A（1，2）,笫>y“+i>o，

已知A”在曲线y?=4x上，圆4：（x—x“）2+（y-y“y=/与y轴相切，且圆4与圆Al+i

外切，则A3的坐标为；记々=y“y“+i，则数列｛2｝的前6项和为.

【答案】①.H②.V

【解析】

【分析】由圆4“与y轴相切得出圆A”的半径为x“，由圆儿与圆4向外切，得出

以%+1=2（%—”+J，进而由递推公式结合X=2求解即可.

【详解】因为圆A“与y轴相切，所以圆A”的半径为相，

又圆A“与圆A,+i外切，所以）（乙一七用『+（券一券+|）2=Z+七川•

结合例'=4x*'

两边平方并整理得（％—y,用了=4xflx,l+1

2%

>y„+I>°>得乂%+1=2(%-州+1),"+i

2+”

2y2?

即力=若”旷鼠以此类推

21

因为为=§,所以七=§，故4

数列｛2｝的前6项和为

2[(x-%)+(%-%)+(>3-”)+(”-%)+(%-")+("-%)]

故答案为：

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABe为菱形，NCO4=g,C（l,百），点

。为A8的中点，,C4C的外接圆为圆

⑴求圆M的方程;

（2）求直线CO被圆M所截得的弦长.

4

【答案】（l）（x—1）2+

3

【解析】

【分析】（1）由已知可得.Q4C为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M的方程；

（2）根据相应点的坐标，得到直线C£＞的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长.

【小问I详解】

⑴因为|Q4|=|0C|,NCQ4=W,所以Q4C为正三角形，

Ei3|0A|=|0C|=71+3=2,得A（2,0）,

所以一OAC外接圆圆心为Ml,乌，又半径7?=心0|=毡，

4

所以圆M的方程为（x—1尸+

3

【小问2详解】

5

由题意得8（3,百），D

6-同

直线CD的斜率k=------2-

1——T

2

直线CD方程为y—G=—、2(x—1)即x+Gy-4=0,

1+-73X^--4

例到C。的距离为73

d=--------------------=1

2

2正_/=26_］二

所以C。被圆M截得的弦长为

18.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，且6+。2=4,9d=44・

(1)求数列｛q｝的通项公式；

⑵设bn=an+log3an,求数列｛/?„｝的前n项和.

【答案】(1)%=3"T

(2)^(3n+n2-n-l)

【解析】

【分析】(1)根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案;

(2)先求出/的通项公式，利用分组求和法可求和.

【小问1详解】

设正项等比数列｛%｝的公比为q,因为6+4=4,9抬=a2a6，

n

所以Ie""it,解得H=：,所以4=axq-'=3"T.

[9a[q=a；q[q=3

【小问2详解】

由(1)可得勿=3"一+〃一1,设数列也｝前〃项和为S,,

则S“=4+仇++。“=(1+3+3~++3"।)+(0+1++〃-1)

।“(1)

1-3"=防.+〃2_〃一］).

-1-32

19.已知点尸(0,1),点B为直线y=-1上的动点,过点B作直线y=-1的垂线/,且线段FB

的中垂线与/交于点P.

(1)求点尸的轨迹「的方程；

（2）设与x轴交于点M,直线尸尸与「交于点G（异于P）,求四边形OMFG面积的最小

值.

【答案】（l）f=4y

⑵0

【解析】

【分析】（1）利用抛物线的定义求解轨迹方程；

（2）设出直线，联立方程，得出司马二-4,用玉表示出四边形。MFG的面积，结合基本不

等式求解最值.

【小问1详解】

由题意点P到直线y=-1的距离与到点尸（0,1）的距离相等,所以点P的轨迹是以尸（0,1）为

焦点，以直线y=T为准线的抛物线,

所以方程为f=4y.

【小问2详解】

设直线PG的方程为丁=去+1，。（知乂）,6区，%），则3（%,一1）.

如图，设y=-l与y轴的交点为N,则易知为&F7VB的中位线，所以

\y-kx+\

联立〈2，，得4京—4=0,斗+x,=4N%x,=-4

♦x*=4y

4

不妨设玉＞0,则％2=一一，

玉

四边形面积为

5=子。*引+/。石方

当且仅当玉=2及时，取到最小值，所以四边形OMEG面积的最小值为血.

20.世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美.譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等.在

中，AB=8C=2,NA8C=120。.将u43c绕着旋转到△O8C的位置，如

图所示.

⑴求证：BCA.AD；

（2）当三棱锥£>-ABC的体积最大时，求平面曲和平面BDC的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）做辅助线，先证明线面垂直，利用线面垂直证明线线垂直；

（2）根据三棱锥的体积最大，确定平面的垂直关系，利用空间向量求解平面的夹角.

【小问1详解】

取AO的中点E,连接CE,BE,

由题意可知AC=£）C/W=D8,所以A。；

因为CEcBE=及CE,BEu平面BCE,所以AD_L平面BCE；

因为BCu平面BCE,所以BC_LAD.

【小问2详解】

由题意可知三棱锥D-ABC的体积最大时，平面DBC±平面ABC；

在平面O3C内作出QOLBC,且与CB的延长线交于点0,连接。4；

因为平面。BC_L平面ABC,平面。8C，平面ABC=3C，DOA.BC,

所以。平面ABC；根据旋转图形的特点可知，OD,QA,OC两两垂直，

以。为坐标原点，OAOC。。所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为A8=BC=2,ZABC=120°,所以OA=0。=G,08=1；

jB（0,l,0）,A（V3,0,0）,r>（0,0,V3）,C（0,3,0）;

丽=（百,-LO）,而=（0,-1,b）,

n-BA^O6x-y

设平面的一个法向量为〃=（x,y,z）,则，

n-BD=0岛-y

令y=G，则〃=(1,6,1卜

易知平面BDC的一个法向量为=(6,0,0),

0A-N\A/3V5

设平面4®和平面3OC的夹角为6,则cos6=

OA||/?|"^XV5-5

21.甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同,

甲超市前〃年的总销售额为“工2+■1千万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多

2

(|『千万元.

(1)分别求甲、乙超市第〃年销售额表达式；

(2)若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市

收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？

=1

【答案】(1)甲超市第〃年销售额为4=,1,乙超市第"年销售额为

n—,n>2

[2

%=3一2.0

(2)乙超市将被甲超市收购，至少第6年

【解析】

【分析】(1)设甲、乙超市第"年销售额分别为％千万元、么千万元，利用勺=S“-S“T即

可求出an,利用累加法求出bn即可;

bn1(2、2/7-13

⑵先解释甲超市不可能被乙超市收购,然后利用」"<7得到c“=-H-----通----过-----

%2"⑴12

'，川一%>0得到“22,代入具体的〃值即可

【小问1详解】

设甲、乙超市第〃年销售额分别为4千万元、2千万元,

M2+1

假设甲超市前〃年总销售额为s〃，则~-

〃2

当〃22时，a=S-S+1

nnn~l22

l,n=l

易得4=1不满足上式，故4=11「

n——，n>2

2

<2Y_|

〃