2023-2024学年山东省青岛七中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省青岛七中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、

第B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或者选出

的标号超过一个的不得分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+2y=1B.尤2-2=0C.尤=2x3-3D.3x+^=l

x

2.根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c=0（aWO）的一个解x的范围是

()

X3.243.253.26

ax1+bx+c-0.020.010.03

A.尤＜3.24B.3.24cx＜3.25

C.3.25c尤＜3.26D.尤＞3.26

3.”宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1,2,3,5,6）,是采用

“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A

处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现

有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是

（）

4.一元二次方程7-3尤-1=0与7-x+3=0的所有实数根的和等于（）

A.2B.-4C.4D.3

5.2021年以来，某厂生产的电子产品处于高速增长上升期，该厂生产一件产品起初的成本

为125元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了19.2元.设每

次技术改进产品的成本下降率均为x,则下列方程正确的是（）

A.125（1-2%）=125-19.2B.19.2（1+无）2=125

C.125(1-x)219.2D.125(1-x)2125-19.2

6.已知点C是线段AB的黄金分割点，且CB>AC,则下列等式中成立的是（）

A.AB2^AC-CBB.

C.AC^^CB-ABD.AC2=2BC-AB

7.如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，AABC的位似图形可以是（）

A.丛DEFB.ADHFC.AGEHD.AGDH

8.如图，点。为正方形ABC。的中心，AD=1,BE平分/DBC交DC于点、E,延长BC到

点F,使BD=BF,连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连接HC.则

以下五个结论中：©OH//BF-,②OG：GH=2：1；③GH=立";④NCHF=2/EBC；

2

⑤CH2=HE，HB.正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（每题3分，共6小题，满分18分）

a则上的值为

9.若=4,

3a+b5a

10.如图，矩形A2CD的对角线AC、BD交于点。，ZAOD=60°,AB=2^,AE±BD

于点E,则AE长_________________

11.一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干

和小分支的总数是57,每个支干长出个小分支.

12.如图，在△ABC中，E在2C边上，BE：EC=1：3,。是3。的中点，连接3。并延长

交AC于。，则A。：AC=.

13.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组

做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复,

实验数据如表：

摸球的次数n1001502005008001000

摸到白球的次数机5896116295484601

摸到白球的频率巨0.580.640.580.590.6050.601

n

根据数据，估计袋中黑球有个.

14.如图，Ai，A2,A3,A4,-An,4+i是直线y=/x+2上的点，分别过点4，A2,A3,

,'An,A”+l作X轴的垂线，垂足分别为8],B»B3,B4>Bn>Bn+l已知OB\—B\B2

=B2B3=B3B4=-=BnBn+i=1,连接BjA,A2B3,22A3，…4瓦+1依次相交于

点P1，尸2，P3,…PN,AA1B1P1，282P2，383P3，…，△ANBNPN的面积依次为

三.作图题（本题满分4分）用圆直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.（4分）已知：矩形

求作：菱形AECF,使点E,尸分别在边BC,上.

AD

BC

四、解答题（本大题满分74分，共有9道小题）

16.（8分）（1）X2-8X-9=0.

⑵■^-X2-6X-7=0-

17.（6分）已知关于x的一元二次方程无2-（人1）无-6=0的一个根为2,求人的值及另

一个根.

18.（6分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育

办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通

知》为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛.现在小雪和小英想通过设计一个

游戏来决定谁去参赛.游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相

同的扇形，分别标有数字2,3,4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5

的三个完全相同的小球.先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分

界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字.若得到的两数字

之和大于6,则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6,则小英参赛.

（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

（2）此游戏公平吗？请说明理由.

19.（6分）如图，在平行四边形A8C。中，过点A作垂足为E,连接。E,F

为线段。石上一点，且NAFE=NB.

（1）求证：AADFsADEC；

（2）若AB=4,AD=373'AE=3,求AF的长.

D

REC

20.（8分）如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图

中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的星■.

80

（1）求配色条纹的宽度；

（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地

21.（8分）已知：如图，在四边形ABC。中，AB±AC,DC±AC,ZB=ZD,点E,F

分别是BC,A。的中点.

（1）求证：AABE出△CDF；

（2）当A2与AC满足什么数量关系时，四边形AEb是正方形？请证明.

22.第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物“江南忆”为

一组机器人，这组机器人分别命名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.而由它们组成的

“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款.

某商场经销这种玩具套件，每套成本为55元.经市场调研发现，该套件平均每月的销售

量y（件）与销售单价X（元）满足一次函数关系，其中部分对应值如下表所示：

销售单价X（元）6066707286

月销售量y（件）300276260252196

（1）求y与X的关系式;

(2)物价部门规定该种玩具套件的销售单价不能超过95元，该商场要想使这种商品的

销售利润平均每月达到6300元，套件的销售单价应定为多少元？

(3)该套件平均每月的销售利润可能是6500元吗？请说阴理由.

23.如图1,正方形ABC。和正方形AEFG,连接。G.

(1)［发现］：当正方形AEEG绕点A旋转，如图2,线段。G与BE之间有怎样的关系？

请说明理由;

(2)［探究］:如图3,若四边形A3C。与四边形AEFG都为矩形，且AG=2AE,

猜想。G与BE的关系，并说明理由；

(3)［应用］:在(2)情况下，连接GE(点E在上方)，若GE〃AB,且AB=收，

AE=1,求DG的长.

24.(12分)已知：如图1,在四边形A8C。中，AB=10cm,AD=8cm,对角线AC的长

为6cm,将△ABC沿射线C2方向以2cm/s的速度运动，经平移得到(如图2)；

同时，点P从点E以2cm/s的速度向点8运动，点。从点C以1cm/s的速度向点。运动.过

点P作PG±BC交BC于点G,连接PQ,交EF于点O,设运动时间为“s)(0</<5).解

答下列问题：

图1图2

(1)当尸。平分NEPG时，求f的值；

(2)连接AP、AQ,设△APQ的面积为S(cm2),求S与/的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻，使2、。、。三点共线？若存在，请求出f值；若不存在，请

说明理由.

2023-2024学年山东省青岛七中九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、

第B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或者选出

的标号超过一个的不得分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+2y=1B.x2-2=0C.x=2x3-3D.3x-+^=l

x

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

解：A.方程x+2y=l是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B.方程d-2=0是一元二次方程，故本选项符合题意；

C.方程兀=2%3-3是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D.方程3x4二l是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

x

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键,

只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程.

2.根据下面表格中的对应值判断关于x的方程以2+"+°=（）（〃wo）的一个解x的范围是

()

X3.243.253.26

ax1+bx+c-0.020.010.03

A.x<3.24B.3.24<x<3.25

C.3.25<x<3.26D.1>3.26

【分析】根据表中数据得至!j光=3.24时，ax1+bx+c=-0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01,

则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c=0,于是可判断关于x的方程a^+bx+c

=0（aWO）的一个解工的范围是3.24<xV3.25.

12

解：•「％=3.24时，ax+bx+c=-0.02；x=3.25时，ax+bx+c=0.01f

；・关于x的方程〃%2+区+。=（）（〃#0）的一个解x的范围是3.24VxV3.25.

故选：B.

【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，

具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未

知数的值愈接近方程的根.

3.”宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1,2,3,5,6）,是采用

“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A

处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现

有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是

（）

【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的

结果有1种，再由概率公式求解即可.

解：根据题意画图如下：

开始

1235612356123561235612356

共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，

则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是3.

25

故选：A.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

4.一元二次方程3x-1=0与7-x+3=0的所有实数根的和等于（）

A.2B.-4C.4D.3

【分析】此题不能只利用两根之和公式进行简单的求和计算，还要考虑一下△与0的关

系，判断方程是否有解.

解：方程x2-3x-1=。中△=(-3)2-4X(-1)=13>0,

该方程有两个不相等的实数根，

根据两根之和公式求出两根之和为3.

方程尤2-了+3=0中A=(-1)2-4X3=-11<0,所以该方程无解.

方程尤2-3尤-1=0与x2-x+3=0一共只有两个实数根，

即所有实数根的和3.

故选：D.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.

易错易混点：很多学生不考虑A与。的关系，而直接利用两根之和公式进行计算，求出

3+1=4.

5.2021年以来，某厂生产的电子产品处于高速增长上升期，该厂生产一件产品起初的成本

为125元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了19.2元.设每

次技术改进产品的成本下降率均为x,则下列方程正确的是()

A.125(1-2%)=125-19.2B.19.2(1+无)2=125

C.125(l-x)2=19.2D.125(l-x)2=125-19.2

【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格X(1-降低的百分

率)=125-19.2,把相应数值代入即可列出方程.

解：根据题意得：125(l-x)2=125-19.2.

故选：D.

【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法，若设变化前

的量为。，变化后的量为6,平均变化率为了,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)

2=b.

6.已知点C是线段A8的黄金分割点，且CB>AC,则下列等式中成立的是()

A.AB2=AC'CBB.CB2=AC-AB

C.AC2=CB，ABD.AC2^2BC'AB

【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与

较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值(近二1)叫做黄金

2

比，从而得出答案.

解：是线段48的黄金分割点，且CB>AC,

.AC=BC

：.CB2^AC'AB.

故选：B.

【点评】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问

题的关键，难度适中.

7.如图，在正方形网格中，以点。为位似中心，△ABC的位似图形可以是（）

A.B.ADHFC.丛GEHD.AGDH

【分析】根据位似变换的概念判断即可.

解：:△ABC与△GE”是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行,

/.AABC与△GEH是位似图形,

【点评】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线

相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.

8.如图，点。为正方形ABC。的中心，AD=\,BE平分/DBC交DC于点E,延长BC到

点F,使BD=BF,连接DF交BE的延长线于点H,连接0H交DC于点G,连接HC.则

以下五个结论中：©OH//BF；②。G：GH=2：1；③GH=返二④NCHF=2NEBC；

2

⑤CH?=HE・HB.正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】①只要证明0〃是AOB厂的中位线即可得出结论；

②③根据OH是△BED的中位线，得出OH=^BD可得出结论；

④证明由直角三角形的性质可得。H=CH,则结论得证；

⑤证明△HECs/v/CB,则HC：HB=HE：HC,BPH(^=HE'HB,即可得到⑤正确.

解：®"：BD=BF,BE平分/DBC,

：.DH=HF,BH±DF,

：OD=OB,

OH是△OB尸的中位线，

C.OH//BF-,故①正确；

②③：点。为正方形ABC。的中心，4。=1,BD=BF,

：.BD=BF=yf2-

由三角形中位线定理知，0G=《2C=g,GH二CF=g(&T),

2222v

：.OG：GH=1：(我-1),

故②错误，③正确；

@VZBCE=ZBHD=90°,ZBEC=ZDEH,

：.NEBC=ZEDH,

：OH是△OB尸的中位线，CD±BF,

:.DH=CH,

：.ZCDH=ZDCH,

：.ZCHF=ZDCH+ZCDH=2ZEBC.

故④正确；

⑤,/ZECH=ZCBH,ZCHE=CHB,

:.丛HECs丛HCB,

:.CH：HB=HE：CH,即CH2=HE-HB,

故⑤正确.

故选：D.

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形

的判定与性质以及正方形的性质.利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步

解答.

二、填空题（每题3分，共6小题，满分18分）

9.若则2的值为2.

3a+b5a

【分析】利用比例的基本性质进行计算，即可解答.

.\5a=3a+b,

.\5a-3a=b,

2a=b,

・b_2a

aa

故答案为：2.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

10.如图，矩形A8CD的对角线AC、BD交于点、O,ZAOD=60°,A8=2«,AE1BD

于点E,则AE长—百

【分析】根据矩形的性质得NOA8=90°,OA^OD,则可判断△AO。为等边三角形，

所以/&。。=60°,OA^AD,接着计算出和AB,然后利用等面积法计算AE即可.

解：•••四边形A8CO为矩形，

：.ZDAB=90°,OA^AD,

VZAOD=6Q°,

...△AO。为等边三角形,

AZADO=6Q°,

ZABD=30°,

在RtaADB中，AD=9=2q=2,

V3V3

：.BD=4,

焉"AD*AB=^-BD*AE>

即/X2X2F-|X4XAE，

解得AE=J^.

故答案为：-^3,

【点评】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有，矩形的四个角都是直

角；邻边垂直；矩形的对角线相等.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.

11.一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干

和小分支的总数是57,每个支干长出7个小分支.

【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是尤个，每个小分支又长出x个分支，

则又长出x2个分支，则共有无2+x+l个分支，即可列方程求得x的值.

解：设每个支干长出的小分支的数目是尤个，

根据题意列方程得：/+/1=57,

解得：尤=7或x=-8（不合题意，应舍去）；

.'.x=7.

故答案为：7.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，注意能够熟练运用因式分解法解方程.

12.如图，在△ABC中，E在BC边上，BE：EC=1：3,。是BO的中点，连接3。并延长

交AC于。，则4。：AC=1：3.

【分析】（方法一）过点E作EF//AC交AB于点忆EF交BD于点P,过点0作MN

//AC,MN交BC于点、M,交AB于点N,由跖〃AC,利用平行线分线段成比例，可得

出尸E=LC,BF=ZA,由MN〃AC,利用平行线分线段成比例，可得出NO=《Ar>,

442

BN*BA,由EF//AC,MN//AC,可得出EF//MN,利用平行线分线段成比例，可得

711

出NOJFE,再代入NO=±AD及尸E=±4C,即可求出A。：AC的值；

324

（方法二）过点。作。/〃BC,交AE于点孔由。F〃BE,利用平行线分线段成比例，

可得出。尸=8£,结合BE：EC=1：3,可得出。氏CE=1：3,再由。尸〃CE,利用平

行线分线段成比例，即可求出A。：AC的值.

解：（方法一）过点E作EF//AC交AB于点F,EF交BD于点P,过点0作MN//AC,

MN交BC于点,M,交AB于点N,如图1所示.

'."EF//AC,

.FE_BF_BE_1_1

,•而一前一而一而1

：.FE^—AC,BF^—BA；

44

'：MN//AC,

.NO=BN=BO=1

,•瓦一威一丽—T

：.NO=—AD,BN=—BA；

22

\'EF//AC,MN//AC,

：.EF//MN,

RA—^-RA

.NO_AN_BA-BN_2_2

••丽―市―BA-即一1“一5'

BA-vBDA

4

2

：.NO=—FE,

3

191

：.—AD=—X—AC,

234

：.AD^—AC,

3

：.AD：AC=1：3.

（方法二）过点。作。F〃BC,交AE于点凡如图2所示.

'JDF//BE,

.DF0D1

..——=——=1,

BEOB

：.DF=BE,

•：BE：EC=1：3,

：.DF-.C£=l：3.

'：DF//CE,

,AD=DF=2

"AC-CE-T

即A。：AC=1：3.

故答案为：1：3.

BEMC

图1

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边

（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键.

13.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组

做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，

实验数据如表:

摸球的次数n1001502005008001000

摸到白球的次数相5896116295484601

摸到白球的频率巨0.580.640.580.590.6050.601

n

根据数据，估计袋中黑球有8个.

【分析】根据统计数据，当〃很大时，摸到白球的频率接近06然后列式计算即可.

解：当力很大时，摸到白球的概率约是06

，袋中黑球有20-20X0.6=8(个)；

故答案为：8.

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定

位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集

中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

14.如图，A1，&2，43，^4，■■­An,4+1是直线y=/x+2上的点，分别过点4，儿,&，

44,…4”4+1作x轴的垂线，垂足分别为为，&,BT,,B4,…B",已知。8]=3/2

=B2B3=B3B4=・“=BnBn+i=l,连接A2B3,82A3，…A"6”+l依次相交于

点尸1，尸2，尸3，…PN,△A1SP1，△A282尸2，333P3，…，△ANBNPN的面积依次为

【分析】因为OB1=B1B?=B?B3=B3B4=…=B"B"+1=1,把x=l代入直线解析式中得出

4、42、A3、…、A"、An+1的纵坐标，从而得出底边的长，再根据相似三角形的高比等

于它们的相似比得出高，从而求出三角形的面积，找出高和底边的变化规律.

解：:OB1=B1B2=B2B3=2384=…=BnBn+1=1,

・・・根据题意得，Ai(1,2.5)、A2(2,3)、A3(3,3.5)、…、An(小会?+2)

TA向〃人2&

:.ZkAi51Pls2Pl9

AB

.112.55>

A2B236

/.△AiBiPi与△A2&P1据题意对应高之比之比为三

0

・・・5岛=1

AjBi边上的为

•••5AAIBIPI=^X2.5义三=岩

21144

同理可得，边上的高为电;，A383边上的高为

…片“X导翁

177

SA3C3=-X-X-49

A3B60

:.S尸工.生生回鱼=金让_

222n+94(2n+9)

故答案为(n+4)2

4(2n+9)

【点评】本题考查了图象上点的坐标与距离的关系，相似三角形的性质和判定，规律型

问题，解题的关键是学会探究规律的方法，学会利用规律解决问题.

三.作图题（本题满分4分）用圆直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.（4分）已知：矩形ABC，

求作：菱形AECF使点区厂分别在边BC,AD±.

【分析】连接AC,作AC的垂直平分线交BC于E,交AD于F,通过证明AE=AF可证

明四边形AECF为菱形.

解：如图，四边形AEC尸为所作.

B

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

四、解答题（本大题满分74分，共有9道小题）

16.（8分）（1）x2-8x-9=0.

⑵■^•X2-6X-7=0-

【分析】（1）先把方程转化为x-9=0或x+l=0,然后解两个一次方程即可；

（2）先把方程的二次项系数化为整系数，然后利用配方法解方程.

解：（1）X2-8X-9=0,

（x-9）（无+1）=0,

x-9=0或x+1=0,

所以无1=9,X2=-1；

（2）方程化为「-12x-14=0,

x2-12x—14,

x2-12元+36=50,

（x-6）2=50,

x-6=+5-^21

所以无］=6+5&，X2=6-5圾.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方

法.

17.（6分）已知关于尤的一元二次方程/-（叶1）x-6=0的一个根为2,求上的值及另

一个根.

【分析】由于一根为2,把x=2代入方程即可求得上的值.然后根据两根之积即可求得

另一根.

解：•.•方程x2-（Z+1）x-6=0的一个根为2,

.♦.22-2（左+1）-6=0,

解得k=-2,

设另一根为x,

*/2x=-6,

-3,

：.k=-2,另一根为-3.

【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，

难度不大.

18.（6分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育

办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通

知》为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛.现在小雪和小英想通过设计一个

游戏来决定谁去参赛.游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相

同的扇形，分别标有数字2,3,4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5

的三个完全相同的小球.先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分

界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字.若得到的两数字

之和大于6,则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6,则小英参赛.

（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

（2）此游戏公平吗？请说明理由.

【分析】（1）画树状图即可；

（2）共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结

果有4种，求出小雪参赛和小英参赛的概率，即可得出结论.

解：（1）画树状图如下：

ZN/4\/T\

135135135

和357468579

共有9种等可能的结果；

（2）此游戏公平，理由如下：

共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4

种,

...小雪参赛的概率为4■，小英参赛的概率为&

此游戏公平.

【点评】本题考查了游戏公平性、树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每

个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

19.（6分）如图，在平行四边形ABC。中，过点A作AELBC,垂足为E,连接。E,F

为线段Z5E上一点，且

（1）求证：△ADFs^DEC；

（2）若AB=4,4。=3如，AE=3,求AF的长.

【分析】（1）根据四边形A8CQ是平行四边形，得出AB〃CD,AD//BC,再根据平行

线的性质得出NB+NC=180°,NADF=/DEC,然后根据/4阳+/&小=180°,Z

AFE=ZB,得出从而得出AADFsADEC；

（2）根据已知和勾股定理得出£>£=VAD2+AE2J再根据△AQFS/KDEC,得出瞿=

祟，即可求出的长.

DE

解：（1）•..四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//CD,AD//BC,

.\ZB+ZC=180°,ZADF=ZDECf

VZAF£）+ZAFE=180°,ZAFE=ZB,

：.ZAFD=ZCf

：.△ADFS/\DEC；

（2）VAEXBC,AD=3M，AE=3,

・••在Rt^OAE中，^=VAD2+AE2=V（373）2+32=6>

由（1）知△AO/S/XOEC,得空=胆，

DCDE

.•”=DeAD=4X3E=2%.

DE6

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理.此题

难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

20.（8分）如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图

中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的名.

（1）求配色条纹的宽度；

（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地

5米

【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积

的8，列出方程求解即可；

（2）根据总价=单价义数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可

求解.

解：（1）设条纹的宽度为x米.依题意得

2xX5+2xX4-4102=-1-7-X5X4,

80

解得：无1=¥（不符合，舍去），无2=].

44

答：配色条纹宽度为4■米.

4

17

（2）条纹造价：—X5X4X200=850（元）

80

其余部分造价：（1-£）X4X5X100=1575（元）

80

总造价为:850+1575=2425（元）

答：地毯的总造价是2425元.

【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的

条件，找出合适的等量关系，列出方程.

21.(8分)已知：如图，在四边形A8CD中，ABLAC,DC±AC,/B=/D,点、E,F

分别是BC,的中点.

(1)求证：AABE^^CDF；

(2)当A2与AC满足什么数量关系时，四边形AEb是正方形？请证明.

【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质解答即可;

(2)根据正方形的判定解答即可.

【解答】证明：(1)DCLAC,

：.ZBAC^ZACD^9Q0,

•：NB=4D,AC=CA,

.二△ABC名△CZM(A4S),

：.AB=CD,AD=BC,

；点E,1分别是BC,A。的中点，

BE-^BC-DF-j-AD-

：.BE=DF,

在△ABE与△(?£)尸中，

'AB=CD

<NB=/D，

BE=DF

/.AABE^ACDF(SAS)；

(2)当48=AC时，四边形AEC尸是正方形,

理由：\"AB=CD,AD=BC,

四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

:点E,F分别是8C,AD的中点,

EC-^BC-AF-^AD，

：.EC=AF,

四边形AECF是平行四边形.

•.•N3AC=90°,点E是8C的中点，

•••AE-|BC=EC-

平行四边形AEb是菱形，

：AB=AC,点E是8C的中点，

：.AE±BC,

即/AEC=90°,

菱形AEC尸是正方形.

【点评】此题考查正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判

定解答.

22.第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物“江南忆”为

一组机器人，这组机器人分别命名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.而由它们组成的

“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款.

某商场经销这种玩具套件，每套成本为55元.经市场调研发现，该套件平均每月的销售

量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其中部分对应值如下表所示：

销售单价x（元）6066707286

月销售量y（件）300276260252196

（1）求y与x的关系式；

（2）物价部门规定该种玩具套件的销售单价不能超过95元，该商场要想使这种商品的

销售利润平均每月达到6300元，套件的销售单价应定为多少元？

（3）该套件平均每月的销售利润可能是6500元吗？请说阴理由.

【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法可求出y与x的关系式即可；

（2）利用总利润=每件的销售利润X月销售量，列出一元二次方程，解方程即可；

（3）利用总利润=每件的销售利润X月销售量，列出一元二次方程，由根的判别式△=

-100<0,可得出原方程没有实数根，即该商品平均每月的销售利润不可能是6500元.

解：（1）设y与％的关系式为>=丘+。（4W0）,

则［60k+b=300,

166k+b=276

解得：（k=-4,

lb=540

Ay与x关系式为：y=-4x+540；

(2)由题意得：(x-55)(-4A+540)=6300,

整理得：x2-190x+9000=0,

解得：无1=90,无2=1。。（不合题意，舍去），

答：套件的销售单价应定为90元；

（3）该套件平均每月的销售利润不可能是6500元，理由如下：

由题意得：（%-55）（-4x+540）=6500,

整理得：x2-190A+9050=0,

A=（-190）2-4XlX9050=-100<0,

..•原方程没有实数根，

•••该套件平均每月的销售利润不可能是6500元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及根的判别式，解题的关

键是：（1）利用待定系数法，求出y与x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列

出一元二次方程；（3）牢记“当△<（）时，方程无实数根”.

23.如图1,正方形ABC。和正方形AEFG,连接。G.

（1）［发现］:当正方形AEFG绕点A旋转，如图2,线段。G与BE之间有怎样的关系？

请说明理由；

（2）［探究］:如图3,若四边形A8CD与四边形AEFG都为矩形，且A£）=2AB,AG=2AE,

猜想。G与BE的关系，并说明理由；

（3）［应用］:在（2）情况下，连接GE（点E在上方），若GE〃AB,且虹=收，

AE=1,求。G的长.

【分析】（1）先判断出aABE之△AOG,进而得出8E=OG,/ABE=NADG,再利用

等角的余角相等即可得出结论；

（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出得出DG=2BE,ZABE

=/ADG,再利用等角的余角相等即可得出结论；

（3）先求出BE,进而得出即可得出四边形A3EG是平行四边形，进而得出N

AEB=90°,求出BE的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论.

解：（1）DG=BE,DGLBE,理由如下：

•・•四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

：.AE=AG,AB=AD,ZBAD=ZEAG=90°,

ZBAE=ZDAG,

：.AABE^^ADG(SAS),

：.BE=DG；

如图2,延长BE交AO于。，交DG于H,

・・•Z\ABE^ADAGf

：.ZABE=NADG,

VZAQB+ZABE=90°,

ZAQB+ZADG=90°,

・・・ZAQB=ZDQH,

：.ZDQH+ZADG=90°,

：.ZDHB=90°,

：.BELDG,

:・DG=BE,DG工BE；

(2)DG=2BE,BE_LDG,理由如下：

如图3,延长BE交AZ)于K,交DG于H,

・・・四边形A3CD与四边形AEFG都为矩形,

：.ZBAD=ZEAG,

：.ZBAE=/DAG,

,.・AO=2AB,AG=2AE,

,AB=AE=1

**AD-AG-T

・•・AABE^AADG,

:・DG=2BE,

VZAKB+ZABE=90°,

AZAKB+ZADG=90°,

・・・NAKB=NDKH,

：.ZDKH+ZADG=90°,

：.ZDHB=90°,

：.BE.LDG,

:.DG=2BE,BE.LDG；

(3)如图4,设EG与AO的交点为“，

9：EG//AB,

：.ZDME=ZDAB=90°,

在RtZvlEG中，AE=l,

.\AG=2AE=2,

22

根据勾股定理得：£G=1y2+i=V5-

VAB=V5，

：.EG=AB,

,:EG〃AB,

...四边形ABEG是平行四边形，

J.AG//BE,

\'AG//EF,

...点B,E,尸在同一条直线上，如图5,

/.ZAEB=90°,

在Rt^ABE中，根据勾股定理得，B£=VAB2-AE2=V571=2,

由(2)知，AABE^AADG,

,BE=AB=2

,•而一而一E，

•.•2_-1~■，

DG2

・・・QG=4.

AB