弹性力学教材习题及解答

1-1.选择题

a.以下材料中，_DJS于各向同性材料。

A.竹材；

B.纤维增强复合材料；

C.玻璃钢；

D.沥青。

b.关于弹性力学的正确认识是_A_。

A,计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；

B.弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；

C.任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；

D.弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c.弹性力学与材料力学的主要不同之处在于_B_。

A.任务；

B.研究对象；

C.研究方法；

D.根本假设。

d.所谓“完全弹性体〃是指_B_。

A.材料应力应变关系满足胡克定律；

B.材料的应力应变关系与加载时间历史无关；

C.本构关系为非线性弹性关系；

D.应力应变关系满足线性弹性关系。

2-1.选择题

a.所谓“应力状态〃是指_B_。

A.斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；

B.一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；

C.3个主应力作用平面相互垂直；

D.不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2-2.梯形横截面墙体完全置于水中，如下图。水的比重为丫，试写出墙体横截面边界A4，，AB,BB，的

面力边界条件。

在44'上，%=一""砂=0.

在45上，2■砂=0,b>=一饮。

o■/+=-jysina,

在3夕上,

+dym=jycosa,

2—3.作用均匀分布载荷g的矩形横截面简支梁，如下图。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力

但

分量为

试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

q

得%=-州*-2箭

N女力

由此，只有当确定.材料力学中所得到的解答才能满足平衡方程和边界

条件，即为满足弹性力学基本方程的解。

2-4.单位厚度的楔形体，材料比重为丫，楔形体左侧作用比重为丫1的液体，如下图。试写出楔形体的边

界条件。

一cosa一汇砂sina=/ltycosa,

-ytana,

-7桂cosa-crysina=yyysina.

(JxCOSB-%,sin尸=0,

丁@cos?一与sin尸=0.

2—5.球体的半径为厂，材料的密度为0,球体在密度为.的液体中漂浮，如下图。试写出球

体的面力边界条件。

沉入液体部分(z<)面力F=-p2g(z0-z)，边界条件为

X®_尸)+yr产+(z_r)4=0,

尤丁砂+Mb,-F)+(z-r)丁郎=0,

x%+y%+(z-r)(az-F)=0o

未沉入液体中的部分(z0<z<2r),边界条件为

X%+y%+(z-r)4=0,

x%+yay+(z-r)Tzy=0,

XT=声+(z-r)ay=0。

2-6.矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如下图。试根据材料力学应力解答

推导挤压应力0的表达式。

a.切应力互等定理根据条件_B_成立。

A.纯剪切；

B.任意应力状态；

C.三向应力状态；

D.平面应力状态；

b,应力不变量说明_口._。

A.应力状态特征方程的根是不确定的；

B.一点的应力分量不变；

C.主应力的方向不变；

D.应力随着截面方位改变，但是应力状态不变。

3-2.弹性体内部某点的应力分量分别为

a.(5y=-a,Gz=a,t„=0,Tyz=0,Tzx=-a；

b.O%=50Q,Oz=-30〃，T^=50,“=-75",Q；=80Q；

c.o%=100〃，Gy=50a,oz=-10a,1=40。，“=30。，Tzx=-20a；

试求主应力和最大切应力。

a.(Jl=2a,(52=0,O3=-〃Cmax=1.5。

b.6=99.6〃，02=58.6。，O3=-138.2〃/Umax=118.9〃

C.01=122.2。，02=49.5〃，03=31.74,Tmax=77.0。

3-3.物体内某点的应力分量为

=t孙=0,<y=200a,T=T=100a

zyzzx5=27弘,％=0,0-3=-73a

试求该点的主应力和主平面方位角。

3—4.试根据弹性体内某点的主应力和主平面方位写出最大切应力，以及作用面的表达式。

3-5.弹性体内部某点的应力分量为

ox=500a,(yy=0,(yz=~300a,T孙=500〃，Tyz=—750«,Tzx=800a

/=一=-,〃=—=

试求通过该点，法线方向为22‘2平面的正应力和切应力。

3-4.3-5

pn=1117.7a,crM=260.3a,TK=1087.0。。

方向余弦如下表所示.

+J_+_L

00±10"72-72

0±10+_L0+_L

"72■72

A

±100+工+0

"72"72

主切应力为q=±_(q_o-3),r2=±-(与-CFj),TZ=±—(cfj-cr2)

4-1.选择题

a.关于应力状态分析，_D_是正确的。

A.应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同;

B.应力不变量表示主应力不变；

C.主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的；

D.应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的。

b.应力状态分析是建立在静力学根底上的，这是因为一D_。

A.没有考虑面力边界条件；

B.没有讨论多连域的变形；

C.没有涉及材料本构关系；

D.没有考虑材料的变形对于应力状态的影响。

4-2.弹性体内部某点的应力张量为

(a01.5o、

5产02a-1.5a

J.5a-1.5a0)

试将上述应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，并求解应力偏张量的第二不变量。

(a00、，001.5a、

%=0a0+0a-1.5a

0%J5a-1.5a~a；

4=-5.5/

4-3.物体内某点的主应力分别为

a.6=50〃，O2=-50Q,6=75〃；

b.6=70.7〃，02=0,03=70.74

试求八面体单元的正应力和切应力。a08=25〃,1；8=54〃;b08=0,T8=70.7«;

4-4.物体内某点的应力分量

(5x=50a,Oy=80。,GZ=-70Q,Txy=-20a,Tyz=60a,Tzx=a

试求主应力和主平面方位角。

应力不变量为

A=%+吗+q=60a,

2222

Z42=anxaJyr+(jyV<Js+nnnjr一丁J宣S-z"«品n=-9100a,

k=叫叫4+期-外丁-一叫丁一-J=-432000a3o

4-5.物体内某点的应力分量

0,^=1OOtz,0y=200。，OZ=300Q,5=-50Q,Tyz=Tzx=0

试求该点的主应力、主切应力、八面体切应力和主平面方位角。

cr1=300.0a,a2=220.7a,a3=-79.3a;

q=70,7a,r2=110,4a,r3=39.7a;

r0=91.3a,

(0,0,1),(0.383,0,924,0),(0.924,0,383,0)

5-1.选择题

a.以下关于几何方程的表达，没有错误的选项是一C_。

A.由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移；

B.几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移。

C.几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量。

D.几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系。

5-2.弹性体的位移为

“=10x1O'J+().lx1OF+0.05xlO

v=5xl0"，-0.05xlO^x+O.lxlO"5yz

1

M，=10x10'-0.1x10.vyz试求A(w)和g(0.5-1,0)点的主应变为。

火点主应变

si=0.1264X10-3且=0.0767X"3与=0.1031X10型

最大伸长的绝对值为0.1264X103.

B点主应变“

£1=0.0832X10-30.0287XI0-323—0.1045X10-3

最大伸长的绝对值为0.1045X1。3P:。

u=+C2z+%

v=-CjX+CyZ+v0

w=-C2x-C3y+叫

或写成

M=叼y一"+劭

v=唳一叫z+4

w=%1y-叼x+铀

式中如、%、此为物体的刚性移动分量；03,叼、吗为刚性转动分量.

5-4.两组位移分量分别为

:

«1=«1+a2x+ayyu2=bt+bzx+b}y+bAx+b5xy+b6yz

22

%=4+/x+a（yi，2=4+b,x+b9y+biOx+拓孙+bl2y

叫=0iv,=0

其中a,•和功为常数，试求应变分量，并且指出上述位移是否满足变形协调条件。

应变分量为

”的，'=&，4=0

了中=%+白5，%%=0

J=%+2&x+b5y,£y=bg+4F+2自少，辱=0

2ax

%=+。8）+&+w）+（2%+2au）y,心=及=0

所得应变分量为常数或者为x、1y的线性函数，显然能够满足变形协调条件.

5-5.弹性体的位移为

u=/；（v,y）+Az2+Dzy+ay-fiz+a

v=f2（v.p）+Bz~-Dxz-ax-yz+b

n-=后（》,y）-（2/x+2By+C）z+fix+yy+C

其中A,B,C,a,b,c,a,13,7为常数，试求应变分量。

=皿+笠

Jax'

dxdy

道

一组-Dx

dy

"-(24+26+c),%=骞+出

ax

6-1.选择题

a.以下关于“刚体转动”的描述，认识正确的选项是一A_。

A.刚性转动描述了微分单元体的方位变化，与变形位移一起构成弹性体的变形；

B.刚性转动分量描述的是一点的刚体转动位移，因此与弹性体的变形无关；

C.刚性转动位移也是位移的导数，因此它描述了一点的变形；

D.刚性转动分量可以确定弹性体的刚体位移。

b.以下关于应变状态的描述，错误的选项是

A.坐标系的选取不同，应变分量不同，因此一点的应变是不可确定的。

B.不同坐标系下，应变分量的值不同，但是描述的一点变形的应变状态是确定的。

C.应变分量在不同坐标系中是变化的，但是其内在关系是确定的。

D.一点主应变的数值和方位是不变的。

6-2.物体内部某点的应变分量为

-4

&=10汽或=5x10"，岳=1（）-4,%=8x10"，加=6x10"，^.z=-4xl0

试求该点的主应变和最大主应变曲的方位角。

可=0.00122,与=0.000495=-0.000317

4=0.862,㈣=0.5034=0.058

6-3.平面应变状态下，如果0。，60。和120。方向的正应变，试求主应变的大小和方向。

外=与+软+42。±与-维0)2+(与0-Kao)2+(52。一日丫

修4

2%)-050一%如

6-4.圆截面杆件两端作用扭矩，如下图，其位移分量为

u=-(pzy+ay+bz+c

v=cpzx+ez-dx+f

w=-bx-ey+k

设坐标原点O位移固定，试按照以下转动位移边界条件分别确定待定系数a^cM和葭

a.微分线段dz在xOz和yOz平面内不能转动；

c.微分线段dx和dy在xOz平面内不能转动。

6-5.等截面柱体，材料比重为/,在自重作用下的应变分量为

…f'一万'-j=0

其中为材料弹性常数，试检验上述应变分量是否满足变形协调条件和边界条件。

应变分量满足变形协调条件，位移分量为

3=三夕+y(/+/)_/

6—6.

解：首先计算应变不变量，并解三次方程，求得主应变值为

司=0.15x10-3,邑=0.0433x10-3,=-0.0833X1Q-3

为求解主应变方向，利用下列方程组：

('一£1+：7声也+：7"冏=。

；%/+(£,一£卜+；/即冏=0

冏+(%一£»=0

将£=可代入上式，第一式自然满足，其余两个方程式为

-0.19%+0.06%=0

0.06%-0.15%=0

以上两式的唯一解为的=均=0.为满足+短=1,则有4=1.即司的方向

余弦为(1,0,0).

将£=勺代入前面方程式，得

0.1067/2=0

-0.0833m2+0,06«2=0

O.Q6m-0.043犯=0

由第一式得？2=0。由第二、三式可得附2=L388的。再由疗+司+/=1得

^+1.3882^=1,由该式求得%=0.585,而巧=1.388啊=0.811.即J的方向余统

为(0,0,585,0.811).

同样可求得%的方向余弦为(0,-0.811,0,585).

7-1.选择题

a.变形协调方程说明.B_。

A.几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的；

B.微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束；

C.变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件；

D.变形是由应变分量和转动分量共同组成的。

7-2.如果物体处于平面应变状态，几何方程为

试证明对于单连域物体，位移的单值条件为应变分量满足变形协调方程

uE：由所给出的几何方程可求得

a、_d3ud2Sy_93Va%_a%+生

砂2加尸卡a/砂‘痴/dx2dydxdy2

由此得到

常,展一九

8/产dxdy

上式即为变形协调条件,由此可知，几何方程的成立心较可导出协调方程(必要性.)

为证明其充分性，应协调条件成立，则必定存在“、v,而且在域内是单值连续函数.

在求曲需先求上和色,而上可由几何方程得到.为求竺浩通过坐标原点。与点P(xj)的某一曲线进行积分,

dxdyoxdy

并应用几何方程，则得

dupd厂/d加、.d.du...与

-77=+（［r三（=）而+二（右）矽］+c］

aydyacaydyay

_/aduq叭dSi

=「｛工（=）念+I-5-一工（木）@D+G

F中欧ayoxay

7噜叱等-鲁网+G

dyayQc

这使上式的积分在单连域内与路径无关，必须满足

色（四）=2（以.当

方如dydy&

即

――一a、_a%

dx2dy2dxdy

上式即为协调条件，亦即满足协调条件时”可以唯一地被确定.因此，可以计算〃，即

dy

同样，为由F、上唯一地确定N,即与积分路径无关，必须满足

dxdy

dydxdxdy

对于连续函数，求导数时与微分顺序无关，故上式是满足的。因此，可以唯一地确定〃.

用同样的方法可以证明，只要满足变形协调条件，可以唯一地确定v（充分性）.

由以上证明可知，变形协调条件是确定口（xj）、v（x,y）有解的必要与充分条件.

7-3.物体某点的正应变分量&,£丫和&,试求其体积应变。

7-4.物体某点的主应变分量以，鱼和曲，试求其八面体单元切应力表达式。

后=|［（邑-用?+（另一生3了+&-

7-5.物体变形时的应变分量为

4

^^Ao+AiC^+^+x%G=4

为密+81(f+y2)+%4+y4

4+用—2c2=o

Yxy=Co+Cixy(x2+y2+C2)

&=%z=加=0而系数4、稣、c0可为任意常数

试求上述待定系数之间的关系。

7-6.椭圆截面柱体在扭矩作用下产生的应变分量为

2T

r-=~^Gy

2MT

八=----；——x

na3bG

4=%,=0

试证明上述应变分量满足变形协调方程。

8-1.选择题

a.各向异性材料的弹性常数为_D_。

A.9个;

B.21个；

C.3个;

D.13个;

b.正交各向异性材料性质与以下无关的是一B_。

A.拉压与剪切、以及不同平面的剪切变形之间没有耦合作用；

B.具有3个弹性对称面；

C.弹性常数有9个；

D.正交各向异性材料不是均匀材料。

8-2.试推导轴对称平面应力［也=0）和轴对称平面应变问题［&=0）的胡克定律。

8-3.试求体积应力®与体积应变e得关系。

8-4.试证明对于均匀材料，独立的弹性常数只有21个。

8-5.试利用正方体单元证明，对于不可压缩材料，泊松比片0.5。

8-2

轴对称平面应力问题的胡克定律为

1，、

%一叫）

1,、

%%）

1

轴对称平面应变问题的胡克定律为

%--（'+%）］

1

咨=不了声

yCJ

8-3

E

9—1.也抨题

a.对于各向同性材料，与以下性质无关的是_D_。

A.具有2个弹性常数;

B.材料性质与坐标轴的选择无关；

C.应力主轴与应变主轴重合；

D.弹性常数为3个。

9-2.试利用拉梅弹性常数九和G表示弹性模量E,泊松比侪口体积弹性模量K。

9-3.试利用应力转轴公式和胡克定律推导轴对称问题的胡克定律。

9—4.钢制圆柱体直径为d=100mm,外套一个厚度B=5mm的钢制圆筒，如下图。圆柱体受轴向压力尸=

250kN作用，钢的弹性模量E=210GPa,泊松比y0.3,试求圆筒应力。

9-5.弹性体某点x和y方向的正应力为o、=35MPa,by=25MPa,而z方向的应变&=0,试求该点的

其它应力分量

9-2

2

K=2+-G

3

G(32+2G)

a---------------

1+G

A

V-2(q+0

9-3

2

cyy=8.9227/ww律为

2*_仪5+4)]

可[%+%)]

7=3%—(%+%)]

1

9-4

9-5

q=18N/^/,&=110.3x104、45.5x10^

7

10-1.半无限弹性体外表作用集中力R试用应力函数

—(4-\2-7

2=

价=CjZInp+C7(p+z?)2+C3zln-----~j——-

(p2+z2)2+z

求解应力和位移分量。

「ri5

%+z2)2-3Q2Z(，+Z?)2>,

Kpp

、Lj

%=f«(1-2/)-+-^-(p2+z2)2+z(p2+z2)2>,

2冗pp

a=--z3(p2+z2)-^

2房

3F2/22、J

%="-(P+Z?)2.

2几

(1-2川(1+")尸_113

/+/）一+中心（筋+小2

2nEp

(1+2z2.2X-2a.9/1\/2.2、

v-FT"p+Z)2+2(1Y)(Q+Z)

10-2.圆柱体的侧面作用均匀压力，两个端面作用均匀压力，如下图。试用应力函数

0f=C92z+C2z3求解圆柱体的应力分量，并且计算圆柱体的体积改变。

10-3.半无限空间物体，材料的比重为/,在水平外表作用均匀分布的压力q,如下图。试用位移法求

解半无限体的应力和位移。cC

u=0,v=0,

,7产侬-z?)+2依-z)]

4GQ-*)J

?•='=——9+瑕),

1-〃

%=_(0+囱)，

了砂=汇产=汇昂=0・

10-4.设函数9f=ox/+＞力⑴+及(%)可以作为求解平面问题的应力函数，试求待定函数力(%)和我(%)。

3

工=arx+3/2+qx，

A=a^x3+82三。

10-5.单J压力p,在产士用的边界为刚性平面约束，如下图。杆件的位移为

试求其应力分量。

应力分量为

4=~P

叫=W

CFZ=0

丁中=丁声=丁期

应力分量在边界上应满足边界条件，即

4=9x)x7=­P，

=9)一=一p,

%=(T/1=0

11-1.选择题

a.弹性力学解的唯一性定理在_D_条件成立。

A.具有相同体力和面力边界条件；

B.具有相同位移约束；

C.相同材料；

D.上述3条同时成立。

b.对于弹性力学的根本解法，不要求条件一D_。

A.根本未知量必须能够表达其它未知量；

B.必须有根本未知量表达的根本方程；

C.边界条件必须用根本未知量表达；

D.根本未知量必须包括所有未知函数。

C.以下关于弹性力学根本方程描述正确的选项是一A_。

A.几何方程适用小变形条件；

B.物理方程与材料性质无关；

C.平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件；

D.变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件；

d.关于弹性力学的叠加原理，应用的根本条件不包括一D_。

A.小变形条件；

B.材料变形满足完全弹性条件；

C.材料本构关系满足线性弹性条件；

D,应力应变关系是线性完全弹性体。

e.以下关于应力解法的说法正确的选项是一A_。

A.必须以应力分量作为根本未知量；

B.不能用于位移边界条件；

C.应力表达的变形协调方程是唯一的根本方程；

D.必须使用应力表达的位移边界条件。

f.弹性力学的根本未知量没有_C_。

A.应变分量；

B.位移分量；

C.面力；

D.应力。

g.以下关于圣维南原理的正确表达是_C_。

A.边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布；

B.等效力系替换将不影响弹性体的变形；

C.等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小；

D.圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。

11-2.设有半空间弹性体，在边界平面的一个半径为。的圆面积上作用均匀分布压力q,如下图。试求

圆心下方距边界为h处的铅直正应力，并计算圆心处的沉陷。

一(7+"/)%

12—1.悬挂板，在。点固定，假设板的厚度为1,宽度为2a,长度为/,材料的比重为丫，如下图。试求

该板在自重作用下的应力分量和位移分量。

12-2.等厚度板沿周边作生n=(m)z0=

12-3.直角六面体的长度〃比宽度和高度6大的多，将它放置在绝对刚性和光滑的根底上，在六面体的

上外表作用均匀压力q,试求应力分量与位移分量。

u=0,v=0,

W=二2"[侬〃_z?)+2q(h-Z)]

4G(1-*)

u/、

%=b=--——(g+瑕)，

-A

q=%+瑕)，

12-4.单位厚度的矩形截面梁,在AC处作用着集中载荷P=l,如下图。试写出该梁上下两个面上的

边界条件。

应力分量为

%=~P

%=­vp

CFZ=0

T?=丁M=丁期

应力分量在边界上应满足边界条件，即

4=⑸人=-P，

X=1处,

%=(%)/，=0

Fx=(crj1=~p,

X=—1处，

Fy=(%「=0

7=土力处，（v）A±&=0

13-1.选择题

a.以下关于应力函数的说法，正确的选项是_C_。

A.应力函数与弹性体的边界条件性质相关，因此应用应力函数，自然满足边界条件;

B.多项式函数自然可以作为平面问题的应力函数；

C.一次多项式应力函数不产生应力，因此可以不计。

D.相同边界条件和作用载荷的平面应力和平面应变问题的应力函数不同。

13-2.简支梁仅承受自身重量，材料的比重为片试检验函数

（Pf=Ax2y3+By5+Cy3+Dx2y

当月时可做为应力函数.

是否可以作为应力函数，并且求各个待定系数。

"叁c=亲—家=%

7_

1

2

13-3.建筑在水下的墙体受水压，轴向压力/和侧向力尸作用，如下图。墙体的端部与水平面等高,

水的比重为六侧向力与水平面距离为2心设应力函数为

(Pf=Ayi+Bx2+Cxy+Dxiy+Ex5根据边界条件

试求y=3h墙体截面的应力分量。hY

在x=±一处，=-vy-4=--o

296

L§

在x=±—处，汇到=0,C=--Dh2

284a

士F

在1y=0处，P<Jydx=~F,5=.

弓2我

*4尸

在1y=0处，^cfyxdx=2Fh,E=.

在y=0处，隹“加=尸，ACh+=-AF.

所以D=1，C_3F_

~2h

应力分量为

3P6F2

%=-一_T-x•

▽2hh3

墙体轴线在r方向的位移表达式为

M卜3+6如2_63/丁+108/3).

Sh

13-4.如下图单位厚度的矩形薄柩.其

…喑妙,2v

w=——az。

E

应力分量〔不计体力)。

44

13-5.函数^f=A(x-y)试检查它能否做为应力函数？如果可以，试用上述应力函数求解图示矩形

薄板的边界面力。

14-1.矩形截面柱侧面受均布载荷q的作用，如下图。试求应力函数及应力分量〔不计体力)。

14-2.如下图悬臂梁，承受均布载荷q的作用，试检验函数0fdA&y+cy+Df+Ex2y

当8=-5月时可做为应力函数.

|^2+6x2-4y2K,

£

24-豹

3丫

~2

能否做为应力函数。如果可以，求各个待定系数及悬臂梁应力分量。

14-3.矩形截面柱体承受偏心载荷作用，如果不计柱体自身重量，那么假设应力函数为

(Pf=Ax3+Bx1试求：

a,应力分量和应变分量；

b.假设。点不动，且该点截面内的任意微分线段不能转动，求其位移分量；

a.轴线的位移一挠曲线方程。

v(3PP1(3PP1

下14a22a>E{4a22%

vf3PP}13户21f3PP1

u=----+—2x\+---------y，v=-----+——y

队8a22a]T以4/Ty2力

(/以\。女3市P八2

14-4.悬臂梁如下图，如果悬臂梁的弯曲正应力g由材料力学公式给出，试由平衡方程式求出③及力,

并检验计算所得的应力分量能否满足应力表示的变形协调方程。

3%工2%)3

-----y~~5-Av

2lh----及3/2/

V2(?+%)=-察9，即应力分量不满足协调方程式.

14-5.三角形悬臂梁，承受自重作用，如下图。材料的比重为7,试确定应力函数及应力分量。

O.

a

14-1

14-2.

设应力函数为

队=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy30

2

ax=yxcota-2yycotcc>(yy=-yy>%=-0cota.

15—1.选择题

a.以下关于轴对称问题的表达，正确的选项是_B_。

A.轴对称应力必然是轴对称位移；

B.轴对称位移必然是轴对称应力；

C.只有轴对称结构，才会导致轴对称应力；

D.对于轴对称位移，最多只有两个边界条件。

b.关于弹性力学平面问题的极坐标解，以下说法正确的选项是一B_。

A.坐标系的选取，从根本上改变了弹性力学问题的性质。

B.坐标系的选取，改变了问题的根本方程和边界条件描述;

C.对于极坐标解，平面应力和平面应变问题没有任何差异;

D.对于极坐标解，切应力互等定理不再成立。

15-2.厚壁圆筒内径为a,外径为b,厚壁圆筒内承受内压P，作用，外面施加绝对刚性的约束，如下图,

试求厚壁筒的应力和位移。

边界条件为(?)…==0.

位移为+V22

U=J22[(1-2v)(Pia~pb)p~(p-Pi)]

E(b-a)p

厚壁筒应力为

-1----2-v-+-1-1-----2--v---_1

15-3.曲杆的截面为狭长矩形，其内侧面与外侧面均不受载荷作用，仅在两端面上作用力矩如下

图。试求曲杆应力。

设

@(Q)=Ap^+Bp2Inp+Clnp+D.

的应力分量为

C

%=2J4+5(21np+1),

P

15-4.厚壁圆筒的内径为“，外径为b,厚壁圆筒只承受内压p,作用，求厚壁圆筒在内压作用下内径的

增加量。如果厚壁圆筒只承受外压口作用，求厚壁圆筒在外压作用下外径的减小增加量。

曲杆中的应力为

/一筹('1n221nH/吟,

22a

4Af.ab.b,2.p21,22

-------(——r-In—+bIn—+aIn—+b-a

Nabp

7=0

乌作用时，内半径的增大量为:

外作用时，外半径的减小量为

16-1,厚壁圆筒在夕=a的内边界上被固定，在夕=b的厚壁圆筒的外壁圆周上作用着分布剪力4，如下

图。试用应力函数°f=C。，求解厚壁圆筒的应力和位移。

设

W(Q)=J4P2+即21no+cino+D

的应力分量为

C

a=22+8(2Inp+1)+—,

P

C

a=22+3(21np+3)-不，

P

」=0.

pp

根据边界条件

工崂白2+2(/In3-—In叨

_2JWO2\

N

C=----a2bIn—.

Na

式中"=(b2-a2)2-4a2Z)2(ln-)2.

16-2.矩形横截面的曲梁，一端固定，自由端处承受集中力厂和力矩M的作用，如下图。设应力函数9f

（p，9）=/（p）cos9可以求解该问题，试求出M与厂之间的关系，并求曲梁应力。

曲杆中的应力为

AM,a2b2.b.,pa.

=-----(———In—+i22In—+(222lln-

1

「Npabp

AM.a2b2.b,2pa.?、

cr„=---(—7—In—+62l1n—+^22lln—2-ex2),

「Np2abp

16—3.应力函数0f（p，9）=〃oln/升。od+mi/Az炉+/?Dcos20试求相应当应力分量和位移分量。

根据0f=C（p

r*

所以(TP=0(JF=0TPF=-2-

P

根据边界条件C=b2To

位移

〃=0卫普匚工）

PP4人力/2^

16-4.圆环的内半径为a,外半径为"套在刚性轴上，轴与环之间的套合压力为p。设圆环的变形是弹

性的，其材料的比重为/。试求当轴旋转时，使得轴与圆环之间压力变为零的角速度。。

16-5.将内半径为a,外半径为b的圆环套