河北省衡水市武邑中学2023-2024学年高二年级上册第一次月考数学试题（解析版）

河北武邑中学2023-2024学年高二上学期第一次月考

数学试题

命题人白露

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和H卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.

3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答

无效.

第I卷选择题(共60分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1已知5(2,0,-1),C(-1,3,-2),则A3+8c=()

A.(4,-4,0)B.(-4,4,0)C.(-2,2,0)D.(-2,2,-2)

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的坐标运算即可求解.

【详解】因为A(l,l,0),8(2,0,-1),C(-l,3,-2),

所以AB=(1,—1,—1),BC-(―3,3,—1),

所以A8+BC=(1+(-3),-l+3,(-1)+(-l))=(-2,2,-2).

故选：D.

2.直线3x+2y—1=0的一个方向向量是()

A.(2,-3)B,(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线3x+2y-1=0的斜率为-1,所以直线的一个方向向量为卜，一g),

又因为（2,-3）与。，-共线，所以3x+2y-1=0的一个方向向量可以是（2,-3）,

故选：A.

3.已知向量。=（6,-2,6）,。=（一3,1,幻，则使。〃。成立的》为（）

A.-2B.3C.-3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由向量共线的充要条件结合向量的坐标运算即可求解.

【详解】当a〃b时，则存在唯一的实数/I使得。=4a，

-3=62

2=--

即《1=-22,解得♦2,

x=6Ax=-3

所以使a〃人成立的x为一3.

故选：C.

4.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=A,OC=c,点M在OA上，且满足OM=2MA，点N为8C

的中点，则MN=（）

221

A.B.—ClH—b—C

232332

11,1211

C.—ciH—h—cD.——d+—fb+—c

222322

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

【详解】由于N为8c的中点，OM=2MA，所以CW=：（OB+OC）,0M='。4,

MN=ON-OM=-(0B+0C]--0A=--0A+-0B+-0C=--a+-b+-c,

2、>3322322

故选：D

5.两条平行直线3x+4y-12=0与依-8y-11=0之间的距离()

23237

A.—B.—C.—D.7

5102

【答案】C

【解析】

【分析】先根据两条直线平行求参，再根据平行线间距离公式计算求解.

34

【详解】由已知两条直线平行，得之=—,所以。=-6,

a-8

1-24-1117

所以直线3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,则两平行线间的距离。=~

<62+822

故选：C.

6.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABC。-AAGA中，A4,=2AB=2,则异面直线

48与AR所成角的余弦值为()

【答案】D

【解析】

【分析】以点。为坐标原点，D4、DC、。，所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空

间向量法可求得异面直线A3与AD,所成角的余弦值.

【详解】在直四棱柱A6CD—AAG2中，四边形ABCO为正方形,

以点。为坐标原点，D4、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则A（1,O,O）、8（1,1,0）、4（1，0,2）、。（0,0,2）,

所以，4月=（0,1，-2）,AD,=（-1,0,2）,

/..八\A。-44

所以，C0^B,DADt）=^^=-^=--,

4

因此，异面直线A3与A2所成角的余弦值为二.

故选：D.

7.若第一象限内的点（〃?,〃）关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上，则—+?的最小值

mn

是（）

2517

A.25B.一C.17D.—

99

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用对称点的求法，表示出对称点坐标，再代入2x+y+3=0中，得到2〃+加=9,再利用

基本不等式中的乘“1”法，即可求得.

【详解】设（〃?,〃）关于直线%+了-2=0的对称点为（为，匕），依据题意可得：

但+显,°，解方程组得｛普二〉又对称点在直线2x+y+3=0上，代入可得

[2+-2—-

2n+m=9,且（〃?,"）在第一象限，则加>0,〃>0,则

/8、,2〃〃八2n8〃？116、。仅1725出口内由2〃8m.an918

（-+-）（一+—）=—+—+-+—>2.一+—=一，当且仅当一=——时，即机=一，n=—

mn999m9/199V81999m9n55

时，等号成立.

故选：B

8.阅读材料：空间直角坐标系O一型中，过点。(%,为/。)且一个法向量为〃的平面。的方程

为a(x—%))+/?(y-%)+c(z-Zo)=()；过点。(%),M)*(1)且一个方向向量为1=(〃,匕卬)(〃丫孙芳0)的

直线/的方程为二二殳="&=三二2■.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面〃的方程为

UVW

3x-5y+z—7=0,直线/的方向向量为〃z=(3,l,—2),则直线/与平面。所成角的正弦值为()

A晒Bec出D

3551555

【答案】A

【解析】

【分析】利用给定信息，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得.

【详解】因为平面。的方程为3x—5y+z—7=0,则平面。的法向量可取3=(3,—5,1),

而直线/的方向向量为m=(3,1,-2),

所以直线/与平面。所成角的正弦值为

.八।.一\m'n\|3x3-5xl-lx2|V10

sin0=1cosQ%,n)\=------=/——/==----

l^llnl心+12+(—2)2x732+(-5)2+1235

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中正确的是()

A.若是空间任意四点，则有A8+8C+C£)+D4=0

B.忖一忖=,+。|是共线的充要条件

C.若AB,CD共线，则AB//CD

D.对空间任意一点。与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,zeR,且

x+y+z=l),则P,A,B,C四点共面

【答案】AD

【解析】

【分析】由空间向量的概念与运算对选项逐一判断.

【详解】对于A,AB+BC+CO+D4=0，故A正确，

对于B,当同向时，卜d-卜卜=,一〃卜当a,b反向时，卜。卜卜卜=卜+囚，故B错误，

对于C,若共线，则A8〃CD或A5,C。四点共线，故C错误，

对于D,由空间向量基本定理得若OP=xO4+yO8+zOC,

则OP=(x+y+z)OA+y{OB-QA)+z(OC-OA),化简得AP=yAB+zAC,

故P,A,B,。四点共面，故D正确，

故选：AD

10.已知直线4：ax-y+2=0,直线“：x-ay+2-O,则()

A.当a=0时，两直线的交点为(一2,2)B.直线《恒过点(0,2)

C.若4-L12,则a=0D.若“〃2，贝！la=l或。=一1

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出两直线的交点判断A,求出直线4过定点坐标即可判断B,根据两直线垂直、平行求出参数,

即可判断C、D.

—y+2=0

【详解】对于A：当Q=()时直线4：-y+2=0,直线二x+2=0,由《，八，

x+2=0

解得J_2，所以两直线的交点为(一2,2),故A正确；

x=0x—0

对于B：直线4：ax-y+2=0,令《°八，解得4，即直线4恒过点(0，2),故B正确；

—y+2-O[>=2

对于C：若/j,则axl+(-l)x(-a)=0,解得a=0,故C正确；

对于D：若“〃2,贝i」ax(-a)—lx(-l)=0,解得a=l或a=—1,

当a=l时直线4：x—y+2=(),直线4：%-丁+2=0两直线重合，故舍去，

当。=一1时直线4：x+y-2=0,直线4：x+y+2=(),两直线平行，

所以。=一1,故D错误;

故选：ABC

II.下列说法正确的是（）

兀兀、/兀3兀

A.直线/的方程为x-ysin6+2=0,则直线/的倾斜角&的范围是u

B.直线3x-y-l=0在y轴上的截距为1

C.如果AB<0,8C<0,那么直线Ar-8），-C=0不经过第三象限

D.经过平面内任意相异两点（为，%）,（々，〃2）的直线都可以用方程

（%一百）（3一乂）=（%—。）（%—石）表示・

【答案】CD

【解析】

【分析】对A,利用直线方程互化及斜率公式，结合三角函数的性质即可，对B,利用截距的定义即可求解;

对C,直线方程互化及已知条件即可求解；对D,利用直线的两点式方程即可求解.

【详解】对A：直线/的方程为x-ysin8+2=0,

TT

当sin6=（）时直线方程为x=—2,倾斜角a=—,

2

171

当sin。，。时，直线方程化为y=——x+——，斜率女=——，

sin0sin0sin0

因为sinOe[-1,0）（0,1],所以《n（-oo,—1][1,-Ko）,即tana?（?,1][1,+?）,

兀37r

又因为ae[0,兀），所以aw,综上可得aG，故A错误；

_44_

对于B,将x=0代入直线方程3x一丁一1=0,可得一y-1=0,解得丁=一1,故B错误；

对于C,因AB<0,BC<0,所以8/0,

ArAr

所以Ax—协—C=0可化为y=—x--,所以直线的斜率一<0,纵截距——>0,

BBBB

所以该直线经过一、二、四象限，故C正确；

对对D：经过任意两个不同的点尸（3，y）,。（％2，%）的直线：

当斜率等于o时，%=%，方程为）'=y，能用方程（w_xj・（y_y）=（y2_y>（x_xj表

示；

当斜率不存在时，%=Z，X#%，方程为％=玉，能用方程（9一百>（丁一乂）=（%一乂>（工一玉）表

示；

当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为之二二=忙五也能用此方程表示，故D正确.

故选：CD.

12.如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设

4A=44=1,A5=2,有以下四个结论：其中正确的结论是()

A.8c上平面例4；

B.明〃平面8层。2。；

C.直线与CC2成角的余弦值为f

6

D.直线4G与平面A4,81所成角的正弦值为Y5.

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】证明8。，械得到A正确，建立如图所示的空间直角坐标系，确定各点的坐标，平

c五、

面8&GC的法向量为〃?=V3J,--，根据加・朋/0得到B错误，利用向量的夹角公式计算得到

<2)

CD正确，得到答案.

【详解】对选项A：如图所示，连接A4,取BC中点。，取BG中点E.连接AE,AD，DE.

由等边三角形的性质得BC1AD,由等腰梯形的性质得BC1DE.

又ADcDE=D，AO,OEu平面ADE4,所以平面AOE4).

44<=平面4。£41,故8C_LA4，同理BCJ.",

又A4tA4,=A,惧，械u平面例&,所以5C1平面"出，正确;

取AB中点。，建立如图所示的空间直角坐标系,

设Oi是△AgG的中心，O?是_ABC的中心.过A作AG,AO,过£作EHJ_AD.

nncnCH上16也即『后⑻戈

DH=O^D-O^H=--------x——=——，HE=J——-——=——•

2233262J6J3

所以几何体ABC-ABC1的高为".

3、

所以A(-1,0,0),A,5(1,0,0),C(0,V3,0),B2

263

7

2走叵,BC=(-1,73,0),QV3

所以44,BB=「不'一

263J25’

设平面BB2C2C的法向量为〃?=（玉,y,zJ,

m-BC=一玉+百%=0

则《，取彳=百得到m=6』，一

皿1an

‘〃.叫=-5芯+不弘一7寸。

+近xl+"x]—也，苴H0,

所以〃

26323

所以A4与平面B4GC不平行，错误;

_

6（用6_

----X-------——_

613^9_5

确

_正

所以直线与成角的余弦值为-=-

AA,CC266

9-

2

对选项D：C,0,-73,,AG=冬0,Afi=（2,0,0）,

3

ri73V6

BB

2「了丁一彳

n-AB=2X9=0

设平面械层8的法向量为“=（/，当，Z2），＜

RR_I,6瓜_（、

nBB2=--x2+—y2---z2=0

取Z2=l得到〃=（0,2夜,1）,

2x6、号

逅.正确.

所以直线4G与平面AA.B.B所成角的正弦值为

3

故选：ACD

【点睛】关键点睛：本题考查了空间中的线面位关系及夹角，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和

综合应用能力，其中建立空间直角坐标系，将线面关系和夹角转化为向量的关系是解题的关键.

第II卷非选择题（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置.

13.已知直线/的一个方向向量为d=(1,-2,()),平面a的一个法向量为〃=(m,3,6),且〃/e,则机=

【答案】6

【解析】

【分析】依题意可得即可得到［.〃=(),根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解之即可.

【详解】IIIa,且直线/的一个方向向量为d=(l,-2,0),平面。的一个法向量为"=(m,3,6),

二.dJ_〃，

d-n-0,即lx〃?+(—2)x3+°x6=°，解得机=6.

故答案为：6

14.已知直线/过定点A(3,2,1),且〃=(1,0,1)为其一个方向向量，则点P(3,3,2)到直线/的距离为

【答案】2^##176

22

【解析】

【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可.

......n

【详解】设〃=AP=(OJ1),^=—=

1〃1

则点P到直线I的距离(1=

故答案为：立.

2

15.点P(-2,-l)到直线/：(l+3A)x+(l+2)y-2-42=0(丸为任意实数)的距离的最大值为

【答案】713.

【解析】

【分析】将直线方程变形为(x+y—2)+(3x+y-4)4=0,得直线系恒过点A(l』)，由此得到尸到直线

/的最远距离为|P4|,再利用两点间的距离公式计算可得.

【详解】•.•直线/:(l+3/l)x+(l+/l)y—2-44=0,

可将直线方程变形（x+y—2）+（3x+y—4）2=0,

y-2=0fx=l

・•・C,4八，解得《」

3x+y_4=0[y=l

由此可得直线系恒过点A（U）,

P到直线/的最远距离为|尸山，此时直线垂直于以，

・"a=|PA|=7（-2-1）2+（-1-1）2=V13.

故答案为：y[l3■

16.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边员C3上有1。个不同的点6,

UUUUUU1

鸟，…，《0,记例,=45二4月（i=l,2,L,10）,则叫+用2++Mo=.

【答案】180

【解析】

【分析】以A为坐标原点，AG所在直线为x轴建立直角坐标系，可得4（3,6）,8式5,6）,C/6,0）,

求出直线员G的方程，可设《5，»），可得行匕+乃=66，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可

得到所求和.

【详解】解：以A为坐标原点，AG所在直线为工轴建立平面直角坐标系，

可得4（1,6）,层（3,6）,4（5,6），G（6,0）,

直线B3c3的方程为＞•=-V3U-6），

可设匕(七,)7),(z=l,2,L,10),可得6玉+%=6>/5,所以ABZ=(3,G),A《=(Xj,y),

即有M：=AB-,-AP:=3七+\!?>yi=-V3(>/3xl+^.)=18,

则M+%++Mlo=18xlO=18O.

故答案为：180.

当B2By

五、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知等腰三角形ABC,底边上两顶点坐标为6（1,4）,C（3,8）,顶点A在直线上x+y-6=0,

（1）求BC边垂直平分线的方程；

（2）求点A的坐标.

【答案】（1）x+2y-14=0

（2）A（-2,8）

【解析】

【分析】（1）根据中垂线过线段的中点且与线段垂直求解；

（2）联立点A所在的两条直线方程可求解.

【小问1详解】

限=?工=2,且BC的中点M（2,6）,

3—1

所以BC边的垂直平分线的斜率为-1，

2

且经过点M（2,6）,所求方程为y—6=—2）,

整理得x+2y—14=0.

【小问2详解】

由题可得，等腰三角形A2C的顶点在3c边的垂直平分线x+2），-14=0上,

且在直线x+y-6=0上，联立得x=-2,y=8,即A（-2,8）

18.如图，在底面为菱形的四棱锥E-ABCD中，底面ABC。，F为CD的中点，且

AB=BE=2,ZABC=\20°,以3为坐标原点，朋的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系.

（1）写出4民。,£四点的坐标；

（2）求cos〈AB,函.

【答案】⑴A（2,0,0）,6（0,0,0）,D（l,V3,0）,E（0,0,2）

（2）显

4

【解析】

【分析】（1）根据△BCD为正三角形，由A5=2,结合空间直角坐标系中坐标的写法，即可求解;

（2）利用空间向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，可得△BCD为正三角形，因为A3=2,所以8尸=百，

以8为坐标原点，所在的直线分别为的方向为x轴、V轴和z轴建立的空间直角坐标系，可得

A（2,0,0）,fi（0,0,0）,D（l,V3,0）,£（0,0,2）.

【小问2详解】

解：由（1）可得48=（-2,0,0）,0石=（一1,一6,2b

ABDE_2

所以cos〈A8,£)E〉=

网。2x2忘-4-

19.已知空间三点4（0,2,3）,8（—2,1,6）,C（l,-1,5）.

（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；

（2）若向量〃分别与AB，AC垂直，且何=3,求向量°的坐标.

【答案】（1）773

（2）4=（百,6,6）或a=卜6,一6,_6）

【解析】

【分析】（1）利用向量的坐标运算及夹角公式，结合向量的模公式及平行四边形的面积公式即可求解;

（2）利用向量垂直的条件及向量的模公式即可求解.

【小问1详解】

因为A（0,2,3）,3（—2,1,6）,C（l,-1,5）,

所以钻=(一2,-1,3),AC=(l,-3,2),

ABAC-2+3+671

所以cosABAC=

MMV4+1+9-V1+9+4-14-2

因为0°WN84CW18()°,

所以/R4C=60。,

所以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为

AB||AC|sinABAC=44+1+9-Jl+9+4sin60°=14x=7收

【小问2详解】

设a=（x,y,z）,因为向量a分别与A8，AC垂直,

a-AB=Q-2x-y+3z=0

所以《，即《

a-AC=0x—3y+2z-0

所以消去X得：-7y+7z=0,

不妨令y=,"，则z=»7,x=m

因为忖=3,

所以f+y2+z2=9,得3m2=9，

m—±百，解得x=y=z=y/3或x=y=z=—V3>

所以a=(G,6,6)或a=卜内,—G,—G).

20.如图，在直三棱柱ABC-中，AB=BBi=2,BC=3,三棱柱ABC-45G的侧面积为

10+2V13.

（1）求证：平面AfCJ.平面AB与4；

（2）求直线Cq与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明详见解析

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面ABC平面AB44；

（2）利用向量法求得直线C4与平面4BC所成角的正弦值.

【小问1详解】

依题意，（2+3+AC）x2=10+2旧,AC=V5,

所以AB2+BC2=AC2,所以AB15C,

根据直三棱柱的性质可知BB1，平面ABC,

而AB,BCu平面A8C,所以_L6C,

由此以5为原点建立如图所示空间直角坐标系,

则A（2,0,2）,C（0,3,0）,设平面A.BC的法向量为n=（x,y,z）,

n-BA=2x+2z=0

则〈故可得〃=(l,O,—l).

〃・8C=3y=0

平面的一个法向量是加=（O/,O）,

由于=所以

所以平面AtBC±平面.

【小问2详解】

由（1）得平面ABC的法向量〃=（1,0,—1）,

4（0,0,2）,C（0,3,0），4C=（0,3,-2）,

设直线C4与平面AfC所成角为。，

B[C•〃2726

则sin0=

MHV13xV2-13

21.在平面直角坐标系中，已知射线。4：瓜一y=0（xN0）,射线OB：JIr+3y=0（x20）,过点

P（l,0）作直线分别交射线。4、。3于A、B点.

（1）当A6的中点为P时.，求直线A8的一般式方程；

（2）当线段AB的中点在直线）=立*上时，求直线AB的一般式方程.

一3

【答案】（1）&+y-百=0

（2）x=l

【解析】

【分析】（1）根据条件设坐标，利用中点坐标公式计算可得A坐标，再利用点斜式求直线方程即可;

（2）根据条件设A3坐标，利用中点坐标公式计算可得%=4，结合过点P（1,O）得直线方程.

【小问1详解】

设A（尤］,Bx2,——x2-

<>

...线段A8的中点为P（1,O）时，内=1，&।_0,

--0

，直线AB的方程为y-0=W——（x-1），化为也x+y-后=0.

--1

2

【小问2详解】

设Bx2,——x2-

y/3xf---X2rr

线段AB的中点为M三上,-----在直线y=上，

223

RA/3

"罚一"6%+/，化为

2-VX2

又直线AB过点P（l,0），

•*（X]=%2=1•

.••直线AB方程为x=l.

22.如图，在三棱柱ABC-A4G中，底面是边长为2的等边三角形，Cq=2,D,E分别是线段

AC,CG的中点，C在平面A8C内的射影为O.

（1）求证：ACJ■平面比）E；

（2）若点/为棱SG的中点，求点F到平面8DE的距离；

（3）若点F为线段8。上的动点（不包括端点），求锐二面角口一6D—E的余弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

（2）—

4

（1⑸

（3）”2；

【解析】

【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；

法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0,可证BD_LAC,DE_LA。，从而得证；

法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面8DE的一个法向量，证明其与AC平行，从而得证;

（2）利用空间向量法求点到面的距离；

（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.

【小问1详解】

法一：连结AC-因为j