江苏省苏州市新区一中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

江苏省苏州市新区一中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分，共30分）

4

1.如图，A,B是反比例函数y=一在第一象限内的图象上的两点，且A,B两点的横坐标分别是2和4,则AOAB的

A.4B.3C.2D.1

2.在AABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,贝（Isin5的值是（）

4

3.下列说法不正确的是（）

A.一组同旁内角相等的平行四边形是矩形

B.一组邻边相等的菱形是正方形

C.有三个角是直角的四边形是矩形

D.对角线相等的菱形是正方形

4.已知△ABCS/^A，B，C,AB=8,A'B'=6,则AABC与△AITC的周长之比为（）

93八416

A.—B.-C.—D.—

16439

5.如图，在AABC中，AC=2,BC=4,。为边上的一点，且=.若A4DC的面积为。，则AABO

的面积为（）

22

6.如图方格纸中每个小正方形的边长均为1,点P、A、C都在小正方形的顶点上.某人从点P出发，沿过A、C、P

三点的圆走一周，则这个人所走的路程是（）

C.2亚兀D.不确定

7.如图，AB为。O的直径，PD切。O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,贝!|NPCA=（）

C.60°D.67.5°

3

C.D.以上都不对

4

9.已知一元二次方程-百“—3=0,岛一3=0,则〃+4的值为（）

A.-V3B.73C.-3D.3

10.下列二次根式中，与3也是同类二次根式的是

A.7|B.73C.瓜D.V12

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图,tanNl=.

12.已知一个扇形的半径为5cm,面积是20cm2,则它的弧长为.

万

13.在△ABC中，已知(sinA--)2+|tanB-5/3I=1.那么NC=_______度.

2

14.若一尤一i=o,贝!|2x2-2x-l=.

15.小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为.

16.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴,

建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是.

17.关于x的一元二次方程(m-3)f+%+m2-9=0有一根为0,则m的值为

18.如图所示，在平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,2),AC由A8绕点A顺时针旋转90。而得，则4c所在直线

的解析式是.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图①抛物线)=4必+加c+4(存0)与x轴，y轴分别交于点A(-1,0),B(4,0),点C三点.

(2)点。(3,,〃)在第一象限的抛物线上，连接BC,BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足NPBC

=NDBC?如果存在，请求出点尸点的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、8、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出

点M的坐标.

20.(6分)解方程:x2-2x-3=0

21.(6分)如图①，在平行四边形Q46c中，以。为圆心，04为半径的圆与8C相切于点8,与。。相交于点D

(1)求NAOC的度数.

(2)如图②，点E在。上，连结CE与。，。交于点F，若EF=AB,求NOCE的度数.

22.(8分)计算:

2

(1)(-1)239+Sin30°+cos450+tan60°

(2)解方程：2/-3X=2

23.(8分)平面直角坐标系X0V中，矩形O48C的顶点A,C的坐标分别为(2,0),(0,3),点。是经过点8,C的

抛物线y=-％2+bx+c的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是(1)中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB的周长最小时点E的坐标；

(3)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD上移动，若平移后的抛物线与射线5。只有一个公共点，直接写出

平移后抛物线顶点的横坐标加的值或取值范围.

24.（8分）⑴计算：2sin30°+cos30°«tan60°.

（2）已知］=g,且a+b=20,求a,b的值.

25.（10分）解方程：X2-6X-1=0.

26.（10分）如图①在AABC中，AB=AC=3,N84C=100'，D是BC的中点.

小明对图磷行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB,将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对

应点是点E,连接BE,得到小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可

能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线AD上时，如图G所示.

®ZBEP=;接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

(2)请在图斯画出使点E在直线AD的右侧，连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明

理由.

(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1,B

【解析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A,B两点的横坐标，求出A(1,1),B(4,1).再过A,B两

点分别作ACJ_x轴于C,BD_Lx轴于D,根据反比例函数系数k的几何意义得出SAAOC=SABOD=；x4=L根据S四边形

AODB=SAAOB+SABOD=SAAOC+S梯形ABDC,得出SAAOB=S梯形ABDC,利用梯形面积公式求出S桃形

ABDC=—(BD+AC)»CD=—x(1+1)xl=2,从而得出SAAOB=2.

22

4

【详解】..2，B是反比例函数y=一在第一象限内的图象上的两点，

x

且A,B两点的横坐标分别是1和4,

.,.当x=l时，y=l,即A(1,1),

当x=4时，y=l,即B(4,1),

如图，过A,B两点分别作AC_Lx轴于C,BD_Lx轴于D,

则SAAOC=SABOD=_x4=L

,•*Sns®AODB=SAAOB+SABOD=SAAOC+SABDC»

:.SAAOB=S横影ABDC,

VSWABDC=^-(BD+AC)・CD=gx(1+1)xl=2,

••SAAOB=2>

故选B.

k

【点睛】本题考查了反比例函数y=7(A¥O)中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知

反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积s与k的关系为s=；|k|

是解题的关键.

2、A

【分析】先根据勾股定理计算出斜边A3的长，然后根据正弦的定义求解.

【详解】如图,

,."ZC=90°,408,BC=6,

4比y/BC2+AC2=«2+82=10,

,AC84

••sin5=-----=—=—

AB105

故选:A.

【点睛】

本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值.也考查了勾股定理.

3、B

【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：4、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确;

5、一组邻边相等的矩形是正方形，错误;

C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确;

。、对角线相等的菱形是正方形，正确.

故选民

【点睛】

本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键.

4、C

【分析】直接利用相似三角形的性质周长比等于相似比，进而得出答案.

【详解】解：VAABC^AAB'C,AB=8,A'B'=6,

.♦.△ABC与AA,Bt的周长之比为：8：6=4：1.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键.

5、C

【分析】根据相似三角形的判定定理得到AAC£>ABCA,再由相似三角形的性质得到答案.

【详解】•••NC4D=N5,ZACD=/BCA,

：.AACDA5C4,

宝一用广工4,

解得，&BC4的面积为4a,

；・A43Z）的面积为：4a-a=3a,

故选C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.

6、C

【分析】根据题意作△ACP的外接圆，根据网格的特点确定圆心与半径，求出其周长即可求解.

【详解】如图，△ACP的外接圆是以点O为圆心，OA为半径的圆，

■:AC=“2+22=2石,AP=J32+『=而,CP=7?7F=M，

.,.AC2=AP2+CP2

...AACP是等腰直角三角形

点是AC的中点，

：•AO=CO=OP=712+22=石

这个人所走的路程是2冗丫=2x4x石=28兀

故选C.

【点睛】

此题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是熟知外接圆的作法与网格的特点.

7、D

【分析】利用圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质即可得出.

【详解】解：：PD切OO于点C,.•.OC_LCD,

在RtAOCD中，又CD=OC,/.ZCOD=45°.

VOC=OA,:.ZOCA=-x45°=22.5°.

2

，ZPCA=90°-22.5°=67.5°.

故选：D.

【点睛】

本题考查切线的性质定理，熟练掌握圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键.

8、A

4

【分析】根据3x=4y得出x=§y,再代入要求的式子进行计算即可.

【详解】•••3x=4y,

4

."•x=­y,

故选：A.

【点睛】

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质即两内项之积等于两外项之积是解题的关键.

9、B

【分析】根据题干可以明确得到P，q是方程/—A—3=0的两根，再利用韦达定理即可求解.

【详解】解：由题可知p,q是方程V——3=0的两根，

."•p+q=73,

故选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.

10、C

【分析】根据同类二次根式的定义即可判断.

【详解】A.，口=勺5,不符合题意；

V22

B.>/3>不符合题意;

C.y/s=2V2»符合题意；

D.亚=26，不符合题意；

故选C.

【点睛】

此题主要考查同类二次根式的识别，解题的关键是熟知二次根式的性质进行化简.

二、填空题(每小题3分，共24分)

1

11、-

3

【分析】由圆周角定理可知N1=N2,再根据锐角三角函数的定义即可得出结论.

【详解】解：与N2是同弧所对的圆周角，

故答案为:

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角相等是解答此题的关键.

12、1

【分析】利用扇形的面积公式SM='X弧长X半径，代入可求得弧长.

2

【详解】设弧长为L,则20=；LX5,解得：L=l.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积等于弧长和半径乘积的一半是解答本题的关键.

13、2

【分析】直接利用非负数的性质和特殊角的三角函数值求出NA,N8的度数，进而根据三角形内角和定理得出答案.

【详解】V(sinA----)2+|tanB一6|=1,

2

sinA-----=1,tanB—G-1>

2

sinA=—―,tanB=-73，

2

：.ZA=45°,ZB=61°,

.,.ZC=181--ZA-ZB=181--45--61°=2°.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解答本题的关键.

14、1

【分析】由％2—x—1=()得到X=1,由2d-2%-1变形得至位一划一匕再将/一旧整体代入2^—,

计算即可得到答案.

【详解】由f一%—1=0得到f一％=1,由2%2_2x—l变形得到2*一月一1,再将f一％=i整体代入2/一2%一1

得到2x1-1=1.

【点睛】

本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入法.

151

、2

【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可.

【详解】解：•••抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，

...正面向上的概率为!.

2

故答案为7.

2

【点睛】

本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关.

16、y--^(x-6)2+4

【分析】以A为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式即可.

【详解】解：以A为原点建立坐标系，则A(0,0),B(12,0),C(6,4)

设y=a(x-h)2+k,

・・・c为顶点,

/.y=a(x-6)2+4,

把A(0,0)代入上式，

36a+4=0,

解得：ci=——,

・，・y=_"(1_6)2+4；

故答案为：y=——(x—6)~+4.

9

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，恰当的选取坐标原点，求出各点的坐标是解决问题的关键.

17、m=-l

【解析】把x=0代入方程(m-1)x2+x+m2-9=0得m2-9=0,解得mi=l,m2=-l,然后根据一元二次方程的定义确定m

的值.

【详解】把x=0代入方程(m-1)x2+x+m2-9=0m2-9=0,解得mi=Lm2=-l,

而m-中)，

所以m的值为-1.

故答案是：-1.

【点睛】

考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了一元二次方

程的定义.

18、y=2x-1

【分析】过点C作CD_Lx轴于点。，易知△ACDgaBAO(A4S),已知A(4,0),B(0,2),从而求得点C坐标,

设直线4C的解析式为将点4,点C坐标代入求得4和心从而得解.

【详解】解：(4,0),B(0,2),

/.04=4,OB=2,

过点C作CD_Lx轴于点。,

VNABO+NBAO=NBAO+NCAD,

：.ZABO=ZCAD,

在A4。9和4BAO中

ZABO=ZCAD

<NAOB=ZCDA,

AB^AC

：./^ACD^/\BAO(AAS)

：.AD=OB=2,CD=OA=4,

：.C(6,4)

设直线AC的解析式为y=kx+b,

将点A,点C坐标代入得

‘4%+8=0

〈八，，

6k+b-4

[k=2

b=—8

直线AC的解析式为y=2x-L

故答案为：y=2x-1.

【点睛】

本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，求得C的坐标是解题的关键，难度中等.

三、解答题(共66分)

c小、，，八七*’319、，、0/539、”39、“，521、

19、(2)y=-x2+3x+2；(2)存在.P(——，一).(3)陷(一一,——)M,(—,——))

416,24224324

【分析】(2)将A,B,C三点代入y=ax2+bx+2求出a,b,c值，即可确定表达式；

(2)在y轴上取点G,使CG=CD=3,构建ADCB咨△GCB,求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐

标即为P点，

(3)根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.

【详解】解：如图：

x轴，y轴分别交于点A(-2,0),B(2,0),点C三点.

Q-〃+4=0a=-\

16a+4%+4=0解得'

b=3

抛物线的解析式为y=-X2+3X+2.

(2)存在.理由如下：

325

y=-x2+3x+2=-(x-----尸+——.

24

•.•点D(3,m)在第一象限的抛物线上，

：.m=2,AD(3,2),VC(0,2)

VOC=OB,.*.ZOBC=ZOCB=25°.

连接CD,.\CD〃x轴，

.,.ZDCB=ZOBC=25°,

.,.ZDCB=ZOCB,

在y轴上取点G,使CG=CD=3,

再延长BG交抛物线于点P,在ADCB和AGCB中，CB=CB,ZDCB=ZOCB,CG=CD,

/.△DCB^AGCB(SAS)

.\ZDBC=ZGBC.

设直线BP解析式为yBP=kx+b(k/)),把G(0,2),B(2,0)代入，得

1

k=-----,b=2,

4

J.BP解析式为yBP=--x+2.

4

1--,

yBP=-----x+2,y=-x2+3x+2

4

当y=yBP时，---x+2=-x2+3x+2,

4

3

解得片2i=2(舍去)，

12,.p(.3,").

16416

5391139521

(3))M,(=-亍)Mg,丁)理由如下，如图

242424

3

B(2,0),C(0,2),抛物线对称轴为直线x=二，

2

3

设N(一,n),M(m,-m2+3m+2)

2

第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN#BC,MN=BC,

35

2--=0-m，m=-----

22

,39

..-m-+3m+2=-----

4

，539、

/(—耳,-1)5

-3

或工0--=2-m,

2

11

..ni=一

2

39

-m2+3m+2=-----

4

…川39、

••加2(万，一-鼠)；

第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2),

3

.—+m

=2

2

5

m=—

2

/.-m2+3m+2=—

4

24

5391139

综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为例/-e,—二)M?(—)

24■24

根(|浸)

【点睛】

本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分

类讨论思想是解答此题的关键.

20、&=一1,—3

【解析】试题分析：用因式分解法解一元二次方程即可.

试题解析：

(x+l)(x-3)=O,

x+l=0或x-3=O,

%=-1,9=3.

点睛：解一元二次方程的常用方法：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.

21、(1)ZAOC=135°,(2)ZOCE=30°.

【分析】(1)根据题意连接08,利用圆的切线定理和平行四边形性质以及等腰直角三角形性质进行综合分析求解；

(2)根据题意连接OE,OF,过点O作O”_LEC于点H,证明△EO尸是等腰直角三角形，利用三角函数值进

行分析求解即可.

【详解】解：(1)连接如下图，

•••是圆的切线，

：.OB±BC,NOBC=90。,

'：四边形043。是平行四边形，

：.OAIIBC,ZAOC=ZABC,

：.OB±OA,又。4_LOB,

，AQ3是等腰直角三角形,

二ZABO=45°,

二ZABC=ZABO+ZOBC=450+90°=135°,

二NAOC=135。；

(2)连接OE,OF,过点O作O//LEC于点H,如下图,

•:EF=AB,

：.ZEOF=ZAOB=90°,

'：OE=OF,

...AEOF也是等腰直角三角形,

'：OH±EC,

二HE=HF,

:.OH^-EF=-AB=-OC,

222

..OH1

..sinZOCE==—,

OC2

：.NOCE=30°.

【点睛】

本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线和平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质是解题的关键.

22、(1)仆；(2)%,=2,%2———

【分析】(1)由题意利用乘方运算法则并代入特殊三角函数值进行计算即可；

(2)根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可.

【详解】解：(1)(一1)2°"+sin300+cos?45°+tan60°

=(-l)+|+l+V3

=6

(2)2X2-3X=2

2x2-3x-2=0>

(x-2)(2%+1)=0

解得％=2,/=-?.

【点睛】

本题考查实数的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握乘方运算法则和特殊三角函数值以及利用因式分解法解方程

是解题的关键.

37

23、(1)y=-x2+2x+3;(2)(1,-)；(3)或，”=一

28

【分析】(1)根据题意可得出点B的坐标，将点B、C的坐标分别代入二次函数解析式，求出从c的值即可.

(2)在对称轴上取一点E,连接EC、EB、EA,要使得EAB的周长最小，即要使EB+EA的值最小，即要使EA+EC

的值最小，当点C、E、A三点共线时，EA+EC最小，求出直线AC的解析式，最后求出直线AC与对称轴的交点坐

标即可.

(3)求出直线CD以及射线BD的解析式，即可得出平移后顶点的坐标，写出二次函数顶点式解析式，分类讨论，如

图：①当抛物线经过点B时，将点B的坐标代入二次函数解析式，求出m的值，写出m的范围即可；②当抛物线与

射线恰好只有一个公共点H时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x的一元二次方程，要使平移后的抛物线

与射线80只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，即A=0,列式求出机的值即可.

【详解】(1)矩形OABC,

OC=AB,

A(2,0),C(0,3),

•OA=2,OC=3,

•B(2,3),

将点B,C的坐标分别代入二次函数解析式，

-4+26+c=3

c=31

b=2

c=3

二抛物线解析式为：y=—f+2x+3.

(2)如图，在对称轴上取一点E,连接EC、EB、EA,当点C、E、A三点共线时，EA+EC最小，即EAB的周长

最小，

设直线解析式为：尸fcr+方，

将点A、C的坐标代入可得:

2%+匕=0

'b=3

k=—3

解得：<2,

b=3

3

・•・一次函数解析式为：y=--x+3.

y=-x2+2犬+3=-(%—I)2+4,

/.D(l,4),

33

令x=Ly=----1-3=-.

22

C(0,3),D(l,4),

k+b=4r

<b=3.

k=\

，直线CD解析式为：y=x+3,

同理求出射线BD的解析式为：y=-x+5(烂2),

设平移后的顶点坐标为机+3),

则抛物线解析式为：y=—(x—m)2+m+3,

①如图，当抛物线经过点B时，

—(2—m)2+m+3=3,

解得m=1或4,

当kma时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点;

②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H时，

将抛物线解析式与射线解析式联立可得：一(x—/n)2+,"+3=—x+5,

即X2—(2/n+l)x+/n2—zn+2=0,

要使平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点，

即要使一元二次方程有两个相等的实数根，

A=[—(2m+1)]2—4x(加2—m+2)=0,

7

解得＞n=—.

O

-7

综上所述，1＜机＜4或机=工时，平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点.

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本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对