正弦定理与余弦定理

关于正弦定理与余弦定理

1.问题的引入:

.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？第2页,共44页，2024年2月25日，星期天(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.第3页,共44页，2024年2月25日，星期天正弦定理正弦定理正弦定理第4页,共44页，2024年2月25日，星期天回忆一下直角三角形的边角关系?

ABCcba两等式间有联系吗？思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导1.1.1正弦定理第5页,共44页，2024年2月25日，星期天(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?D如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到1.1.1正弦定理BACabcE第6页,共44页，2024年2月25日，星期天(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?BACbca1.1.1正弦定理D第7页,共44页，2024年2月25日，星期天

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即1.1.1正弦定理解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程含三角形的三边及三内角,由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征:第8页,共44页，2024年2月25日，星期天二、外接三角形中OB/cbaCBA第9页,共44页，2024年2月25日，星期天1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即能否用向量法来证明正弦定理？第10页,共44页，2024年2月25日，星期天我们选择单位向量→j

并让与垂直.→jAC→j与ABACCB的夹角分别为即:→jAB·→j(AC+CB)·ABC=bac第11页,共44页，2024年2月25日，星期天c·sinA=a·sinC同理:a·sinB=b·sinA→BCbacA即即第12页,共44页，2024年2月25日，星期天正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即第13页,共44页，2024年2月25日，星期天（四）定理的应用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求b(保留两位有效数字）。解：∵

且∴b=19=已知两角和任意边，求其他两边和一角第14页,共44页，2024年2月25日，星期天变式训练：（1）在△ABC中，已知b=，A=，B=，求a。（2）在△ABC中，已知c=，A=，B=，求b。解：∵∴==解：∵=又∵∴第15页,共44页，2024年2月25日，星期天例2证明：∵用正弦定理证明三角形面积BACDabc而∴又∴第16页,共44页，2024年2月25日，星期天例3、在△ABC中，已知a=28，b=20，A=120º，求B（精确到1º）和c（保留两个有效数字）。baCBA120º小结：2、已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解或一解。如图第17页,共44页，2024年2月25日，星期天（1）A为锐角a=bsinA(一解）AbaBCAB2baB1CabsinA<a<b(两解）AbaBCa≥b(一解）第18页,共44页，2024年2月25日，星期天（2）A为直角或钝角a>b(一解）baABCbaCBAa>b(一解）第19页,共44页，2024年2月25日，星期天（五）总结提炼（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。正弦定理：第20页,共44页，2024年2月25日，星期天基础练习题1.1.1正弦定理B=300无解第21页,共44页，2024年2月25日，星期天（3）在△ABC中，B=30°，AB=，AC=2，则△ABC的面积是解：根据正弦定理，有所以则C有两解：1)当C为锐角时，C=60°A=90°∴S=当C为钝角时，C=120°A=30°2)∴S=ABCC第22页,共44页，2024年2月25日，星期天余弦定理第23页,共44页，2024年2月25日，星期天千岛湖ABC110.8°700m1338m第24页,共44页，2024年2月25日，星期天千岛湖

ABC110.8°700m1338m用正弦定理能否直接求出A,B两处的距离？这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.?第25页,共44页，2024年2月25日，星期天角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理天啊！该怎么办呢？？第26页,共44页，2024年2月25日，星期天ABCcba已知三角形两边分别为a和b,这两边的夹角为C，角C满足什么条件时较易求出第三边c？勾股定理你能用向量证明勾股定理吗？即证第27页,共44页，2024年2月25日，星期天CBAbca第28页,共44页，2024年2月25日，星期天CBAbca第29页,共44页，2024年2月25日，星期天CBAbca第30页,共44页，2024年2月25日，星期天

余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。勾股定理令C＝900勾股定理与余弦定理有何关系？适用于任何三角形第31页,共44页，2024年2月25日，星期天ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？B(c,0)第32页,共44页，2024年2月25日，星期天ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？B(c,0)第33页,共44页，2024年2月25日，星期天

余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。勾股定理令C＝900勾股定理与余弦定理有何关系？这个定理有什么作用？若已知b=8,c=3,A=,能求a吗？适用于任何三角形第34页,共44页，2024年2月25日，星期天它还有别的用途吗？若已知a,b,c,可以求什么？利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。归纳：第35页,共44页，2024年2月25日，星期天角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理第36页,共44页，2024年2月25日，星期天千岛湖

ABC110.8°700m1338m?答：A,B两处的距离约为1716米。引题（精确到1米）第37页,共44页，2024年2月25日，星期天例3、在△ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41，解三角形（角度精确到1º，边长精确到1cm）解：根据余弦定理所以第38页,共44页，2024年2月25日，星期天例4、在△ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精确到1

）解：由余弦定理的推论得第39页,共44页，2024年2月25日，星期天练习：解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=，求BC的长第40页,共44页，2024年2月25日，星期天例5：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（）

分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中：，所以C是钝角D中：，所以C是锐角，

因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形A、C显然不满足BA、1，2，3B、2，3，4C、3，4，5D、4，5，6第41页,共44页，2024年2月25日，星期天例6：在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边